В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Аналитическая геометрия (1152752), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Более того, какова бы ни бьгла наперед заданная проходящая через точку Б прямая, она определяется уравнением (5.24) при некоторых а и )3. До ка з а т ель с т во. Прежде всего установим, что при любых гх и )), не равных одновременно нулю, равенство (5.24) представляет собой уравнение первого порядка (т.е. в этом равенстве хотя бы один из коэффициентов при х или при у не равен нулю). Собирая в равенстве (5.24) коэффициенты при х и у, перепишем это равенство в виде (сгА1 ж ))Аз) х ч- (аВ1 + )зВВ) у ч- (гхС1 ж ))С) = О.
(524) Если бы имели место равенства сгА, + ДАаг = 0 и ЕАВг+)зВВ = О, то из этих равенств, предполагая, например, что гх ~ 0 '), мы получили бы АгггА — — — ))гга, В,(ВЕ= — )),ггх, т.е. Лг/Ла — — Вг,)В . ) По условию одно ив чисел а и () отлично ог нуля. линвйныя оьгхзы 122 ~гл з Последнее равенство (см. п. 6) есть условие параллельности прямых, определяемых уравнениями А,х+ В,у+ С, = О и Азх+ Вту+ Са — — О, и противоречит предположению о том, что эти прямые пересекаются и не совпадают.
Итак, (5.24) при любых а и )з, не равных одновременно нулю, представляет собой уравнение первой степени, определяющее (в силу результатов п. 1) некоторую прямую. Эта прямая заведомо проходит через точку В (х„, уо) пересечения двух прямых, определяемых уравнениями А,х+ В,у+ С, =О и Лз+ Вяу+ Се=О. В самом деле, так как В(хо, уо) принадлежит каждой из двух указанных прямых, то справедливы равенства А,хо+В,у„+С, =О и Ляха-ьВзуоч-С,=О, из которых вытекает, что при любых а и 1) а(А1хо+ В1уо+ С1) + (3(Азха+ Взуо+ Са) = О, т.е.
координаты хо и уо точки 5 удовлетворяют уравнению (5.24). Остается доказать, что, какова бы ни была н а п е р е д з ад а н н а я проходящая через точку В прямая, она определяется уравнением (5.24) при некоторых а и (). Наперед заданная проходящая через точку 5 (хо, уо) прямая однозначно определяется заданием еще одной отличной от 5 точки М*(х, у*), ей принадлежащей. Таким образом, достаточно доказать, что не равные одновременно нулю а и )) можно выбрать так, что координатых*, у* напередзаданной точкиМ ' будутудовлетворятьуравнению (5.24) при этих а и )). Подставляя в (5.24) на место х и у координаты х* и у' точки М.", получим равенство а (А,х' ж В,у'" + С,) -ь ~) (Азх* -ь Взу*+ Са) = О. (5.25) Прежде всего заметим, что (5.25) представляет собой уравнение относительно а и 1з.
В самом деле, оба выражения в круглых скобках, являющиеся коэффициентами при а и )з, обратиться в нуль не могут, ибо это означало бы, что две прямые, определяемые уравнениями А,х+ В,у+ С, = О и Л,х + В,у + Са = О, проходят через точку М '. (Последнее невозможно в силу того, что эти прямые не совпадают и проходят через точку 5, отличную от М '.) Итак, хотя бы одна из круглых скобок в (5.25) отлична от нуля. Пусть, например, А,х*+ В,у" + С, ~О.
Тогда, задав произвольно )з ~ О, мы определим из уравнения (5.25) коэффициент а: А, х' ж В„у' ж С. а=— А,х -';В,у" э С, 4 з1 нккотОРык зАЛАчи нА ИРямукэ линию ИА плоскости 123 При указанных а и )) прямая, определяемая уравнением (5.24), проходит через точку М*(х', у*). Случай, когда отлична от нуля вторая из круглых скобок в (5.25), рассматривается аналогично. Теорема доказана. 3 а м е ч а ни е. Так как в уравнении пучка (5.24) хотя бы одно из чисел а и )) отлично от нуля, то можно записывать уравнение пучка не с двумя коэффициентами а и 1з, и с однилг коэффициентом )., равным их отношению. Так, если отлично от нуля а, то, поделив (5.24) на а н положив ) = 1)/а, мы получим уравнение пучка в виде (А1х + В, у ч- С1) ч- Х (А ах ч- В ау + С,) = О. (5.26) Следует, однако, отметить, что уравнение (5.26) содержит все прямые, проходящие через точку пересечения прямых, определяемых уравнениями Л,х+ В,у+ С, = 0 и Л,х+ В,у+ С, = О, зи исключением однои прямой — прямой, определяемой уравнением А,х+ В,у+С,=О (она не получится из(5.26) ни при каком )).
й 2. Некоторые задачи на прямую линию на плоскости Выше уже был рассмотрен ряд задач на прямую линию на плоскости (нахождение угла между двумя прямыми, установление условий параллельности и перпендикулярности двух прямых, вычисление отклонения и расстояния точки от прямой, нахождение уравнения прямой, проходящей через точку пересечения двух данных прямых). В этом параграфе мы рассмотрим ряд задач, развивающих н углубляющих материал предыдущего параграфа. 1.
Нахождение прямой, проходящей через данную точку М,(хн у,) и составляющей заданный угол д с данной прямой у = й,х + Ь,. Вудем искать уравнение прямой, проходящей через точку М,(хн у,) и составляющей заданный угол гр с прямой, определяемой уравнением у = й,х+ Ьп в форме (5.10): у — у, = й(х — х,). Прямая (5.10) проходит через точку М,(хн у,), и нам остается выбрать ее угловой коэффициент й так, чтобы она составляла угол 1р с прямой у = й,х+ ЬО Заметим, что, взяв уравнение искомой прямой в виде (5.10), мы исключаем из рассмотрения прямую х = хп проходящую через точку М1(хн у,) и перпендикулярную оси Ох.
Так как искомая прямая у = йх + (у, — йх,) и прямая у = й,х + Ь, составляют угол 1р, то в силу формулы (5.12") линвйггьп:. овяхзы 124 ~гл з Из последнего уравнения определяем угловой коэффициент )г искомой прямои: )г — )г, =+1пгр+)гггг1пгр, и, стало быть, при 11+)г, 1пгр) мО получим гг — + 1в гР 15.27) 1КД,.1яе В случае, если знаменатель в формуле 15.27) обращается в нуль, угловой коэффициент не существует, и искомую прямую, очевидно, следует определить уравнением х = хь Итак, окончательно, получаем уравнения двух искомых прямых: а, +гагр Н, -1яд 1) у-у, = ' 1х — х ) и у — у, = ' 1х — х ) при/г 1агрм+1; 1-гг,гид ' 1+/г,1я<р гг, г- 1е г1г 2) у — у, = ' (х — х,) их=х, при)гг1пгр= — 1; 2 Ьг-1Я Р 3) х=х, и у — у, = ' (х — х) при)гг 1дгр=1. 2 2.
Нахождение биссектрис углов, образованных данными прямыми. Запишем уравнения двух прямых в нормированном виде. Пусть это будут х сов О+у з1п Π— р=О и х сов О, +уэйн О, — р, =О. Левые части этих уравнений равны отклонениям Ь, и Ь, точки М 1х, у) соответственно от первой и от второй прямых.
На одной из биссектрис готвечающей тому углу, в котором лежит начало координат) эти отклонения равны и по модулю, и по знаку; на другой биссектрисе отклонения Ь, и Ь, равны по модулю и противоположны по знаку. Таким образом, уравнения искомых биссектрис имеют вид (х соз О+ у гйп Π— р) — гх соз О, + у гйп О, — р,) = О, 1х соз О+ у гйп Π— р) + (х соз О, + у гйп О, — р,) = О. 3.
Условия, при которых данная прямая пересекает данный отрезок АВ. Запишем уравнение прямой в нормированном виде: х соз О+ у гйп Π— р = О и, подставив в левую часть последнего уравнения сначала координаты точки А, а затем координаты точки В, найдем отклонения Ьл и Ьв соответственно точек А и В от данной прямой. Для того чтобы данная прямая пересекала отрезок АВ, необходимо и достаточно, чтобы точки А и В лежали по разные стороны от этой прямой, т.е.
необходимо и достаточно, чтобы отклонения Ьл и Ьв имели разные знаки. 4. Определение местоположения данной точки М и начала координат 0 относительно углов, образованных двумя данными прямыми. Пусть заданы две пересекаюгдиеся прямые и требуется оп- нвкотОРыР зАЛАчи нА пРямукз линию ИА плоскости 125 ределитгс в одном, в смежных или в вертикальных углах, образованных этими прямыми, лежат данная точка М и начало координат О.
Запишем уравнения данных прямых в нормированном виде и, подставив в левые части указанных уравнений координаты точки М, вычислим отклонения Ь, и Ь, точки М от первой и второй прямых соответственно. По определению отклонения точка М и начало координат О лежат в одном углу, если оба отклонения Ь, и Ьз отрицательны, в вертикальных углах, если отклонения Ь, и Ьз оба положительны, и в смежных углах, если Ь, и Ьз имеют разные знаки.
5. Условие пересечения трех прямых в одной точке. Найдем условие, необходимое и достаточное для того, чтобы три прямые, определяемые уравнениями А,х -Р В у -Р С, = О, Аах ж Взу -Р Сз — — О и Азх е В у -Р Сз = О, пересекались в одной и только в одной точке. Так как мы ищем условия, при которых точка пересечения т о л ь к о о д н а, то необходимо предполагать, что из трех данных прямых какие-нибудь две прямьзе пересекаются в одной точке (ибо в противном случае у трех прямых либо вовсе не будет точек пересечения, либо будет их бесконечно много).
Таким образом, необходимо требовать, чтобы из трех определителей второго порядка А, В, А В, А. Вз и Аз Вз ' Аз Вз Аз Вз (5.28) хотя бы один был отличен от нуля. Ради определенности предположим, что первьз е две из указанных трех прямых пересекаются в одной точке (т.е. предположим, что отличен от нуля первый из определителей (5.28)). Тогда, для того чтобы три прямые пересекались в одной точке, необходимо и достаточно, чтобы третья прямая Азх+ Взу+ С, = О принадлежала пучку, образованному первыми двумя прямыми а (А, х -Р В, у + С,) + !) (А эх + Вау ~- Са) = О. А,- ()Ае= — уА,, А,- !)А,+ уА,=О, аВ, э!зВа= — уВз, или аВ, +()ВзэуВз — — О, аС1 -Р )АССР— — -'уСз, аС, +))СзжуС, = О. В силу замечания в конце п, 1 ~ ! найдется некоторое число (обозна- чим его — у) такое, что все коэффициенты последнего уравнения рав- ны соответствующим коэффициентам уравнения Азх+Взу+Сз=О, умноженным на это число, т.е.
линвйнык овгхзы ~гл з )26 Последние равенства представляют собой однородную систему трех уравнений относительно трех неизвестных а, )) и у. Так как образующие пучок коэффициенты а и )) не равны нулю одновременно, то указанная система обязана иметь нетривиальное решение. для чего необходимо и достаточно (см. Дополнение к гл. 1, п. 8), чтобы определитель этой системы А, А, А, в, в в с, с с А, В, С, А, В, С, А В С (5.29) был равен нулю.
Итак, для того чтобы три прямые, определяемые уравнениями А,х+В,у+С, =О, Аах+Вау+ С =0 и Азх+В,у+ С,=О, пересекались в одной и только в одной точке, необходимо и достаточно, чтобы обращался в нуль определитель (5.29) и был отличен от нуля хотя бвя один из определителей (5.28). Мы пришли к этому утверждению, предположив, что первые две из указанных трех прямых пересекаются в одной точке. К этому же результату приводит и предположение о том, что пересекаются в одной точке любые другие две из указанных трех прямых (впрочем, последнее ясно нз соображений симметрии). 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
