В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Аналитическая геометрия (1152752), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Если полученная система не имеет решений, то точек пересечения нет. Так, например, если заданы две линии, первая из которых определяется уравнениями Фйх, у, г) = О и Фа(х, у, г) = О, а вторая — уравнениями Фз(х, у, г) = О и Ф4(х, у, г) = О, то координаты точек пересечения этих двух линий (в случае, если точки пересечения существуют) обязаны быть решением системы ч е т ы р е х уравнений с тремя неизвестными: Ф,(х, у, г) = О, Фз(х, у, г) = О, Фз(х, у, г) = О, Ф4(х, у, г) = О.
Так как число неизвестных меньше числа уравнений, то последняя система, вообще говоря, не имеет решений, т.е. две линии в пространстве, вообще говоря, не пересекаются. УРАВНГПИЯ ПОВГРХ1ЮСТИ И ЛИНИИ 11О 1ГЛ.4 7. Заключительные замечания. Линии и поверхности выше второго порядка не входят в учебные курсы аналитической геометрии (им посвящены специальные курсы). В нашем курсе мы ограничимся изучением плоских линий и поверхностей первого и второго порядков.
В гл. 5 будут рассмотрены линии и поверхности первого порядка (их называют также линейными образами ')). В гл. б изучаются плоские линии второго порядка, в гл. 7 — поверхности второго порядка. ) Термин «линейный» объясняется тем, что в левой части уравнения первого порядка стоит линейная функция ГЛАВА 5 ЛИНЕЙНЫЕ ОБРАЗЫ Эта глава посвящена всестороннему изучению прямых линий на плоскости и плоскостей и прямых линий в пространстве.
Убедившись в том, что этими обьектами исчерпываются все линейные образы (т.е. геометрические объекты, определяемые линейными уравнениями), мы вводим в рассмотрение различные виды уравнений прямой и плоскости и останавливаемся на их использовании для решения важнейших задач. й 1. Различные виды уравнения прямой на плоскости 1. Общее уравнение прямой. Докажем сначала, что если на плоскости я задана произвольная прямая линия В и фиксирована произвольная декартова прямоугольная система Оху, то прямая В определяется в этои системе уравнением первой степени. Достаточно доказать, что прямая В определяется уравнением первой степени при каком-то одном спедиальном вгяборе декартовой прямоугольной системы на плоскости я, ибо тогда она будет определяться уравнением первой степени и при любом выборе декартовой прямоугольной системы на плоскости и (в силу теоремы 4.1).
Направим ось Ох вдоль прямой Ь, а ось Оу перпендикулярно к ней. Тогда уравнением прямой будет уравнение первой степени у = О. В самом деле, этому уравнению будут удовлетворять координаты любой точки, лежащей на прямой ь, и не будут удовлетворять координаты ни одной точки, не лежащей на прямой ь. Утверждение доказано. Докажем теперь, что если на плоскости и фиксирована произвольная декартова прямоугольная система Оху, то всякое уравнение первой степени с двумя переменными х и у определяет относительно этой системы прямую линию. В самом деле, пусть фиксирована произвольная декартова прямоугольная система Оху и задано уравнение первой степени (5.
1) Ах ч- Ву ч. С = О, в котором А, В и С вЂ” какие угодно постоянные, причем из постоянных А и В хотя бы одна отлична от нуля. Уравнение 15.1) заведомо имеет ЛИ)П:ИНЬЯ) ОВРХЗЫ 112 1гл з хотя бы одно решение хо, уо '), т.е. сушествует хотя бы одна точка Мо(хо, уо), координаты которой удовлетворяют уравнению (5.1); (5.2) Ахо е Вуо "; С = О. Вычитая из уравнения (5.1) тождество (5.2), мы получим уравнение (5.3) А(х — хо) + В(у — уо) = О, эквивалентное уравнению (5.1). Достаточно доказать, что уравнение (5.3) определяет относительно системы Оху некоторую прямую.
Мы докажем, что уравнение (5.3) (а стало быть, и (5.1)) определяет прямую С, проходящую через точку Мо(хо, уо) и перпендикулярную вектору и = (А, В) (так как А и В одновременно не равны нулю, то вектор и ненулевой). В самом деле, если точка М (х, у) лежит на указанной прямой (., то ее координаты удовлетворяют уравнению (5.3), ибо в этом случае векторы и = (А, В) и МоМ = (х — хо, у — уо) ортогональны и их скалярное произведение (5.
4) А(х -хо) 'В(у — уо) равно нулю. Если же точка М (х, у) не лежит на указанной прямой (., то ее координаты не удовлетворяют уравнению (5.3), ибо в этом случае векторы и и МоМ не ортогональны, и поэтому их скалярное произведение (5.4) не равно нулю. Утверждение доказано. Уравнение (5.1) с произвольньчми коэффициентами А, В и С такими, что А и В не равны нулю одновременно, называется о б щ им у ра в вен и ем прям ой. Мы доказали, что прямая, определяемая общим уравнением (5.1), ортогональна к вектору п = (А, В). Этот последний вектор мы будем называть н о р м а л ь н ы м в е к т ор о м прямои (5.1).
Заметим, что если два общих уравнения Ах+Ву+С=О и А,х+ В,у+ С, = О определяют одну и ту же прямую, то найдется такое число Г, что справедливы равенства (5 5) А,=А(, В,=ВО С,=СО т.е, коэффициенты Ао Во С1 второго уравнения равны соответствующим коэффициентам А, В и С первого уравнения, умноженным на некоторое число С В самом деле, по условию прямые, определяемые уравнениями Ах+ Ву+ С = О и А,х+ В,у+ С, = О, сливаются. Стало быть, нормальные векторы п = (А, В) и и, = (Ан В,) коллинеарны. Так как, кроме того, вектор и ненулевой, найдется (в силу теоремы 2.1) число 1 такое, что ~) И самом леле, А и В олновременно не равны нулго.
Н усть, например, Вин. Гогла, л с взяв произвольное ко,мы получим из уравнения (5 1) уо — — — — ло —— в в РАзличные Виды уРАВнения НРямои нА 1иоскости ун 113 х у — '-Р— = 1, а Ь (5.6) называемому уравнением прямой в отрезках. В самом деле, так как все коэффициенты А, В и С отличны от нуля, мы можем переписать уравнение (5.!) в виде х у + =1 — С/А — СУ'В и затем положить а=-С,1А, Ь=-С,1В.
Заметим, что в уравнении эв отрезках» (5.6) числа а и Ь имеют простой геометрический смысл: они равны величинам отрезков, которые отсекает прямая на осях Ох и Оу соответственно (отрезки отсчитываются от начала координат, рис. 5.!). Чтобы убедиться в этом, достаточно найти точки пересечения прямой, определяемой уравнением (5.6), с и, = пй а отсюда и из линейного свойства координат вектора вытекают первые два из равенств (5,5). Докажем справедливость и последнего равенства (5.5). Слившиеся прямые имеют общую точку Мо(хо, уо), так что Ахо+ Вуо+ С = 0 и А,хо+ В,уо+ С, = О. Умножая первое из этих равенств на 1 и вычитая из него второе равенство, будем иметь (А(-А,)хо+(В(- в В )уо+(С( — С ) =0.0тсюдавсилупервыхдвухравенств(55) С( — С, =О, т.е.
С, = Сй 2. Неполные уравнения прямой. Уравнение прямой в отрезках. Общее уравнение прямой (5.1) называется п ол н ы м, если все его козффииивнты А, В и С отличны от нуля. Если хотя бы один из указанных коэффициентов равен нулю, уравнение называется неполным. Рассмотрим все возможные виды неполных уравнений. 1) С = О, уравнение Ах + Ву = 0 определяет прямую, проходящую через начало координат (поскольку координаты начала удовлетворяют этому уравнению). 2) В = О, уравнение Ах + С = 0 определяет прямую, параллельную оси Оу (поскольку нормальный вектор этой прямой п = (А, О) ортогонален оси Оу).
3) А = О, уравнение Ву+ С = 0 определяет прямую, параллельную оси Ох (поскольку нормальный вектор этой прямой и = (О, В) ортогонален оси Ох). 4) В = 0 и С = О, уравнение Ах = 0 определяет ось Оу (в самом деле, эта прямая параллельна оси Оу и проходит через начало координат). 5) А = О, С = О, уравнение Ву = 0 определяет ось Ох (ибо эта прямая параллельна оси Ох и проходит через начало координат).
Рассмотрим теперь полное уравнение прямой (5.1) и покажем, что оно может быть приведено к следующему виду: линг»йнык оьрлзы ~гл б 1! 4 х — х, у — у, (5. 7) Уравнение (5.7) и есть искомое уравнение прямой. Это уравнение называют обычно каноническим уравнением прямой. Заметим, что в каноническом уравнении (5.7) один из знаменателей 1 или т может оказаться равным нулю (оба числа 1 и т равняться нулю не могут, ибо вектор с( = (1, т) ненулевой). Так как всякую пропорцию а,(Ь = с1 д мы договорились понимать как равенство ад = Ьс, обращение в нуль одного иэ знаменателей в (5.7) означает обращение е нуль и соответствующего числителя.
В самом деле, если, например, 1=0, то, поскольку т ~ О, из равенства 1(у — у,) = т(х — х,) заключаем, что х — х, =О. В заключение запишем уравнение прямои, проходящей через дее данньге точки М,(хь у,) и Мв(х,, уа) (конечно, эти точки считаются отличными друг от друга). Так как за направляющий вектор такой прямой можно взять вектор т) = М,Ма =(хв — хь уа — у,) и прямая проходит через точку М,(хн у,), то из канонического уравнения (5.6) получим уравнение искомой прямой в виде х — х, у — у, х,— х, у,— у, (5.8) ) Термин «каноническии» (от греческого кооп»т — правило, предписание, образец) понимается здесь как «типовои», «траципионпыи». осями координат. Например, точка пересечения с осью Ох определяется из совместного рассмотрения уравнения прямой (5.6) с уравнением у = 0 оси Ох.
Мы получим координаты точки пересечения х = а, у = О. Аналогично устанавливается, что координаты точки пересечения прямой (5.6) с осью Оу имеют вид х=О, у=Ь. Уравнение прямой в виде «отрезков» удобно использовать для построения этой прямой на чертеже. 3. Каноническое ') уравнение прямой. Любой некулееой вектор, иараллельньш данной прямой, будем называть направляющим вектором этой прямой. Поставим перед собой задачу: найти уравнение прямои, проходящей через данную точку М,(хь у,) и имеющей заданныи наиравляющий' вектор Рис 5! г) =(1, т). Очевидно, точка М (х, у) лежит на указанной прямой тогда и только тогда, когда векторы М,М =(х — хн у — у,) и с) =(1, т) коллинеарны, т.е. тогда и только тогда, когда координаты этих векторов пропорциональны (см.
следствие из теоремы 2.17): нхзличныь виды гглвнвпия пгямои нл плоскости йп 4. Параметрические уравнения прямой. Параметрические уравнения прямой элементарно получаются из канонического уравнения этой прямой. Примем за параметр ~ величину, стоящую в левой и в правой частях (5.7). Так как один из знаменателей (5.7) отличен от нуля, а соответствующий числитель может принимать какие угодно значения, то областью изменения параметра 1 является вся вещественная осгя — оо < Г < со. Мы получим х — х, = К у — у, = т1 илн окончательно (5.
9) х=х,-~К у=у,жтй Уравнения (5.9) и есть искомые параметрические уравнения прямой. Уравнения (5.9) допускают наглядную механическую интерпретацию. Если считать, что параметр 1 — это время, отсчитываемое от некоторого начального момента, то параметрические уравнения (5.9) определяют закон движения материальной точки по п ямой линии с постоянной скоростью о = 42 + т (такое движение происходит по инерции).
5. Прямая с угловым коэффициентом. Рассмотрим любую прямую, не параллельную оси Ох. Введем понятие угла наклона этой прямой к оси Ох. Рис 52 Предположим, что рассматриваемая прямая пересекает ось Ох в точке А (рис. 5.2). Возьмем на оси Ох произвольную точку М, лежащую по ту сторону от точки А, куда направлена ось Ох, а на рассматриваемой прямой произвольную точку Х, лежащую по ту сторону от точки А, куда направлена ось Оу. Угол ц = к МАМ назовем углом наклона данной прямой к оси Ох.
Если прямая параллельна оси Ох или совпадает с ней, то угол наклона этой прямой к оси Ох мы будем считать равным нулю. Тангенс угла наклона прямой к оси Ох назовем у гл о в и м к оэффициен том этой прямои. Еслиобозначитьбуквоййугловой коэффициент данной прямой, а буквой а угол наклона этой прямой к оси Ох, то по определению можно записать й = )д и. Заметим, что для прямой, параллельной осн Ох, у~лозой коэффициент равен нулю, а для прямой, перпендикулярной оси Ох, угловой коэффициент не существует (в последнем случае иногда формально говорят, что угловой коэффициент «обращается в бесконечностьэ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
