В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Аналитическая геометрия (1152752), страница 18
Текст из файла (страница 18)
1, формулы (Д!.8) и (Д!.6)). Раскроем выражения для Д, и Д„по формуле (Д1.2) и подставим полученные значения в (3.29). Получим следующие выражения для ооратного преобразования: 86 пгеОБРлзовлнне декхРТОВых пРямОуГОльных кООРдинхт ~гл 3 Эта система имеет нулевое решение х — х = О, у — у = О, а так как ее оп- ап аы ределитель б = ' ~ О, то это нулевое решение единственно. аз~ а22 Итак, х = х, у = у, т.е.
точки М и М совпадают. Таким образом, каждая точка М'(х', у') есть образ единственной точки М(х, у). Обращаясь к формулам (3.30), путем аналогичных рассуждений мы убедимся, что каждая точка М (х, у) представляет собой прообраз лишь одной точки М '(х ', у ') . 3. Основное свойство аффинных преобразований плоскости. Докажем следующее утверждение: Теорема 3.1.
При аффинном преобразовании плоскости каждая прямая переходит в прямую и пираллельные прямГяе переходят в параллельные прямые. Доказательство. Рассмотрим на плоскости и прямую 1., определяемую уравнением Ах + Ву + С = О. (З.З 1) Чтобы выяснить, что представляет собой совокупность точек М' (х ', у')— образов точек М(х, у), расположенных на прямой 1„— подставим в уравнение (3.31) вместо х и у их выражения через х', у ' по формулам (3.30). В результате получим соотношение вида (3.32) А 'х ' + В 'у ' + С ' = О. )У(ы видим, что х ' и у ' удовлетворяют линейному уравнению (3.32), т.е.
точки М'(х ', у') расположены на прямой 1.', определяемой уравнением (3.32), Итак, доказано, что все точки прямой 1 при аффинном преобразовании (3.27) переходят в точки прямой 1.'. Так как при обратном аффинном преобразовании (3.30) все точки прямой В' перейдут в точки прямой 1, то в силу взаимной однозначности аффинного преобразования (см. п. 2, свойство 4'), прямая С переходит в прямую 1'. Итак, при аффинном преобразовании прямая переходит в прямую. Перейдем к доказательству второй части теоремы. Пусть 1ч и !а— параллельные прямые, а 1ч' и 1,~' — их образы при аффинном преобразовании (3.27) плоскости я.
Допустим, что прямые 1.,' и 1.,; имеют общую точку М'. Так как аффинное преобразование взаимно однозначно, то М' — образ только одной точки М, причем М должна принадлежать и 1ч и 1.м что невозможно, поскольку 1ч и 1.з параллельны. Следовательно, 1.~' и Л,; не имеют общих точек, т.е. параллельны. Теорема доказана. Естественно поставить вопрос о геометрическом способе задания аффинного преобразования плоскости. Определенный ответ на этот вопрос дает следующее утверждение: ЛИНКИНЬП1 ПРКОБРАЗОВАНИЯ У з) х,' = а н х, ч- а Рау, ж а ш, Хэ = а))Ха -1- а1ЗУЗ -1- ага, хз а11хз 1 а)зУз 1 а13 (3.33) которые можно рассматривать как систему трех линейных уравнений относительно неизвестных ан, арм аьр ОпРеДелитель этой системы х, у, 1 хт уа 1 хз Уз ха — х, уз — у, хз — х, уз — у, (3.34) отличен от нуля, так как по абсолютной величине равен площади параллелограмма,построенногонанеколлинеарныхвекторах М,Мз и М,Мз ).
Поэтому система (333) однозначно разрешима относительно ан, ам и аж. Обращаясь ко второй из формул (3.27), с помощью аналогичных рассуждений убедимся, что и величины ад, авв и аш определяются однозначно. Таким образом, однозначно определяется линейное преобразование (3.27), переводящее точки Мп Мв и Мз соответственно в точки М;, М; и Мз'. Остается доказать, что определитель Л (см. (3.28)) полученного преобразования отличен от нуля. Обратимся к определителю .тт хг Уэ Уг (3.35) ) Так как точки М1.Мт иМгнележат на однои прямои, то векторы А( М, и М М, не коллинеарны В системе координат Окуз (ось Оз перпендикулярна плоскости и) эти вектоРы соответственно имеют кооРдинаты (ха — хп Уа — Ун О) и (хз — хп Уз — Ун О).
Поэтаму модуль векторного произведения этик векторов равен модулю определителя (3 34) и, как известно, равен площади параллелограмма, построенного на данных векторах. Теорема 3.2. Аффинное преобразование плоскости определено однозначно, если заданы абра ног трех точек, не лежащих на одной прямой и зти образы также не располагаются на однои прямой. До ка з а тел ьс тв о. Пусть точки М1(х1, Уг) Мд(хв Уд) Мз(хз Уз) плоскости я не лежат на одной прямой и точки М1'(х,', у,'), М,;(х,;, ут'), Мз'(хз~ у;) этой плоскости также не лежат на одной прямой. Убедимся, что существует единственное аффинное преобразование плоскости я, переводящее точки Мы М,, Мз в точки М;, М;, М; соответственно. Пусть искомое аффинное преобразование задается соотношениями (3.27) с неизвестными коэффициентами ап, аш, апь атн аам ааз. Докажем, что при наших предположениях эти коэффициенты определяются однозначно и, кроме того, определитель Л, вычисленный по формуле (3.28), отличен от нуля.
Этим, очевидно, и будет завершено доказательство теоремы. С помощью первой из формул (3.27) получим соотношения 88 пРЕОБРЛЗОВЛние декЛРТОВЫХ ПРЯМОуГОльных кООРдИНЛт ~ГЛ 3 Этот определитель отличен от нуля, так как по абсолютной величине равен площади параллелограмма, построенного на неколлинеарных векторах М;Мз и М;Мз '). С помогцью первой из формул (3.27) получим для элемента х.;-х,'определителя (3.35) следующее выражение: х; — х,'= ап(хо — х,) + аы(уо — у,). Аналогичные выражения получим с помощью формул (3.27) и для остальных элементов определителя (3.35).
Подставляя найденные выражения для ху' — х~', у ' — у,', хз' — х,'и у; — у,'в (3.35), после несложных преобразований получим х,' — х,' у„' — у,' ап а,а ха — х, уе — у, (3.36) ха — х, у, — у~ ан ам ха — х, уа — у, Так как определители х.,' — х,' у.,' — у,' хе — х, у, — у, ап а1 отличны от нуля, то из (3.36) следует, что и тл = л О. Теорема ал ан доказана. а1~ аы 3 а м е ч а н и е. Аффинное преобразование, дяя которого уу = =1, 21 и называется экеиаффинным, т.е. сохраняющим площади. Для таких преобразований соотношение (3.36) означает равенство площадей параллелограммов, построенных на векторах М,МЕ и М,МЛ и на векторах М,'Мз и М,'Мз .
4. Основной инвариант аффинного преобразования плоскости. Простым отношением трех точек А, В и С на прямой В называется число (АВС) = —, (3.37) ВС которое, очевидно, равно отношению, в котором точка В Велит напраеленнГяй отрезок АС. Докажем следующее утверждение: Теорема З.З. Простое отношение трех точек на прямой является инеариантом аффинного преобразования. Иными словами, простое отношение трех точек на прямой не меняется при аффинных преобразованиях. ) Эти векторы неколлииеарны, так как точки М,, М.,'и М,' не лежат на олпой примои. См врелыдущук~ сноску ЛИ24ВИНЬШ ПРВОБРАЗОВАНИЯ $ 21 До к азат е л ь с т в о.
Рассмотрим три точки А(х1, у1), В(хм У2) и С(хз, уз) на прямой В. Из формул (!.11) гл. 1 для координат точки, делящей отрезок АС в отношении Л = АВ/ВС, получаем для рассматриваемого случая следующее выражение для Л: Л х2 41 У2 У1 хз х2 уз у2 (3.38) Пусть А '(х,', у,'), В '(х;, у;) и С '(хз', у,') — образы точек А, В и С соответ- ственно при аффинном преобразовании (3.27). Точка В' делит отрезок А'С' в отношении Л', причем К2 — Х,' х — х. (3.39) Из (3.27) получаем К,,' — Х,'= йп(Х2 — Х,) е й, 1(уа — у1), хз'- хз'- -а и(хз — ха) ч- а,з(уз — уз). (3.40) х,,' — х,'= Л(а„(хз — хз) е а1з(уз — уз)).
Подставим теперь в числитель правой части (3.39) найденное выражение для Х2' — х,', а в знаменатель — выражение для хз' — х2'(см. вторую формулу (3.40)). После сокрагцения на аи(хз — х,) + ан(уз-уз) получим Л = Л'. Так как Л = АВ22ВС= (АВС) и Л' = А 'В'/В'С' == (А 'В'С') (см. (3.37)), то (АВС) = (А'В'С'), т.е, при аффинном преобразовании простое отношение трех точек не меняется. Теорема доказана. 3 а м е ч а н и е. Простое отношение трех точек называется основным и ивар нантом аффин ного преобразования, так как через него могут быть выражены все другие инварианты аффинного преобразования. 5.
Аффинные преобразования пространства. Аффинным преобразованием пространства называется преобразование, при котором каждая точка М (х, у, г) пространства переходит в точку М', координаты х', у', г' которой определяются формулами Х'= а„Х+ а1зУ+ ацг 4- ам, у = й21Х .~. иззу + йазз 4- йзо з = аз Рх + иззу ч- йзза ч- йз4 (3.41) Из соотношений (3.38) получим, что х2 — х, = Л(хз — хз) и у2 — у, = = Л(у, — уз). Подставляя найденные значения х, — х, и у2 — у, в первую из формул (3.40), получим 90 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДЕКАРТОВЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ ~ГЛ 3 причем определитель ап аг, ам а„агз а„ аг ам агг считается отличным от нуля: а ~ О. В полной аналогии со случаем плоскости доказываются следующие свойства аффинных преобразований пространства.
1'. Последовапгельное выполнение аффинных преобразований пространства является аффинным преобразованием пространства. 2'. Тождественное преобразование является аффинным. 3'. Преобразование, обратное данному аффинному, также является аффинным. 4'. Аффинное преобразование пространства взаимно однозначно. Основное свойство аффинного преобразования пространства формулируется следующим образом: при аффинном преобразовании пространства плоскости переходят в плоскости, прямые в прямые, параллельные плоскости и прямые переходят в параллельные плоскости и прямые.
Геометрический способ задания аффинных преобразований пространства основан на следующем утверждении: аффинное преобразование пространства определено однозначно, если заданы образы четырех точек, не лежащих на одной плоскости, и эти образы также не лежат на одной плоскости. Как и в случае плоскости, основным инвариантом аффинного преобразования пространства служит простое отношение трех точек.
6. Ортогональные преобразования. Линейное преобразование на плоскости х = а| ~х + а12у -Р а13, У а2!х ~ а22У ~ а23 (3.42) называется ортогональным, если выполняются соотношения 2 2 2 2 а ~ г + а 2г - — 1, а 32 + а 22 - — 1, а, ~ а ц + а2 га22 - — О. (343) Из соотношений (3.43) следует, что а= ац а,з ~ О. ам агг Поэтому ортогональное преобразование всегда является аффинным. Докажем основное свойство ортогональных преобразований.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
