В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Аналитическая геометрия (1152752), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Теорема 2.16. Смешанное произведение [аЬ] с равно объему параллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах а, Ь и с, взятому со знаком плюс, если тройка аЬс правая, и со знаком минус, если тройка аЬс левая.
Если же векторы а, Ь и с компланарньг, то [аЬ] с равно нулю. До ка з а т ель с т в о. Прежде всего, исключим тривиальный случай, когда векторы а и Ь коллинеарны. В этом случае векторы а, Ь и с компланарны '), и нам требуется доказать, что смешанное произведение [аЬ] с равно нулю. Но последнее очевидно, ибо векторное произведение [аЬ] двух коллинеарных векторов а и Ь равно нулю. Остается рассмотреть случай, когда векторы а и Ь не колл инеарны. Обозначим через 5 плошадь параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах а и Ь, а через е — орт векторного произведения [аЬ].
Тогда, как доказано в предыдущем пункте, справедлива формула [2.39). С помощью этой формулы и формулы [2.31) для скалярного произведения получим [аЬ] с = [5е) с = 5(ес) = 5 ~ е] пре с = 5 . пр„с. Сначала предположим, что векторы а, Ь и с не компланарны. Тогда пр, с с точностью до знака равна высоте )г параллелепипеда, построенного на приведенных к обгцему началу векторах а, Ь и с, при условии, что основанием служит параллелограмм, построенный на векторах а и Ь [рис.
2.18). Таким образом, с точностью до знака правая часть [2.4!) равна объему )л построенного на векторах а, Ь и с параллелепипеда. Остается уточнить знак. Очевидно, что пре с = и- и, если векторы Рнс 2 гз е и с лежат по одну сторону от плоскости, определяемой векторами а и Ь, и пре с = -и, если векторы е и с лежат по разные стороны от указанной ') Ибо среди трех некомоланарных векторов не может быль двух коллннеарных векторов (см, следствие 3 ив теоремы 2.5). Вектоенля ллгевгл ~гл а плоскости.
Но это означает, что пр,, с = ч-п, если тройки аЬс и аЬе одной ориентации, и пр„с = — и, если указанные тройки противоположной ориентации. Так как по определению векторного произведения тройка аЬе является правой [см. конец предыдущего пункта), то + и, если аЬс — правая тройка, пр,с= -)г, если аЬс — левая тройка. Для завершения доказательства теоремы достаточно вставить это значение пр„с в правую часть [2.41). В случае, когда векторы а, Ь и с компланарны, вектор с лежит в плоскости, определяемой векторами а и Ь, откуда следует, что прь с = О, и по формуле [2.41) [аЬ] с = О.
Теорема полностью доказана. Следствие 1. Справедливо равенство [аЬ] с = а [Ьс]. В самом деле, из переместительного свойства скалярного произведения вытекает,чтоа [Ьс] = [Ьс] а,идостаточнодоказать,что [аЬ] с = [Ьс] а. С точностью до знака, последнее равенство очевидно, ибо как правая, так и левая его части с точностью до знака равны объему параллелепипеда, построенного на векторах а, Ь и с.
Но и знаки правой и левой частей последнего равенства совпадают, ибо обе тройки аЬс и Ьса относятся к группе троек [2.36) и имеют одинаковую ориентацию [см, п. 1). Доказанное равенство [аЬ] с = а [Ьс] позволяет записывать смешанное произведение трех векторов а, Ь и с просто в виде аЬс, не указывая при этом, какие именно два вектора [первые два или последние два) перемножаются векторно. Следствие 2. Необходимым и достаточнгям условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения.
В самом деле, компланарность векторов в силу теоремы 2.16 влечет равенство нулю их смешанного произведения. Обратное вытекает из того, что для некомпланарных векторов смешанное произведение [в силу той же теоремы) равно отличному от нуля объему параллелепипеда. Следствие д. Смешанное произведение трех векторов, два из которых совпадают, равно нулю. В самом деле, такие три вектора заведомо компланарны. 5. Алгебраические свойства векторного произведения.
Векторное произведение векторов обладает следующими четырьмя с в о йствами: 1' [аЬ] = — [Ьа] [свойство антиперестановочности сомножителей); 2' [[сга)Ь] = а[аЬ] [сочгтатгльное относительно числового множителя свойство); 3' [[а+ Ь) с] = [ас]+ [Ьс] [распределитгльное относительно суммы векторов свойство); 4' [аа] =О для любого вектора а. ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ 69 Убедимся в справедливости этих свойств.
Для доказательства с в о й с т в а!'положим с = [аЬ], г(= [Ьа]. Если векторы а и Ь коллинеарны, то в силу теоремы 2.13 с = с[ = О, и свойство 1' доказано. Если же а и Ь не колл инеарног, то векторвг с и г[, вопервых, имеют одинаковую длину (в силу формулы (2.38) для длины векторного произведения) и, во-вторых, коллинеарны (в силу того, что оба вектора с и г! ортогональны к плоскости, определяемой векторами а и ЬЕ Но тогда либо с = д, либо с = — с[. Если бы имела место первая возможностгв то по определению векторного произведения обе тройки аЬс и Ьас оказались бы правыми, но это невозможно, ибо в силу п. 1 эти тройки противоположной ориентации ).
Итак, с = — г(, и свойство 1' полностью доказано. Для доказательства с в о й с т в а 2' положим с = [(оса) Ь], г! =а[аЬ] и прежде всего исключим тривиальные случаи, когда вектор а коллинеарен Ь или когда гг = О. В этих случаях (в силу теоремы 2.13 и определения произведения вектора на число) мы получим, что с = г! = О.
и свойство 2' доказано. Пусть теперь векторы а и Ь не коллинеарны и сс ~ О. Докажем, что и в этом случае векторы с и с[ равны. Обозначим буквой гр угол между векторами а и Ь, а буквой гр угол между векторами аа и Ь. По определению длины векторного произведения и произведения вектора на число можно утверждать, что |с| = |гх[ |а| |Ь! В!п тр, |с[| = |а| |а| |Ь| гйп тр. (2.42) Рис 2 20 ') Одна из этих троек входит в группу (2.36), а другая — в группу (2 37). Учтем теперь, что могут представиться два случая: 1) ту=ар (когда сс > 0 и векторы а и аа направлены в одну сторону; рис. 2.19); 2) тр = к — гр (когда а <О и векторы а и тха направлены в противоположные стороны; рис.
2.20). В обоих случаях гйп т[г = гйп гр и в силу формул (2.42) | с | = | д! |, т.е. векторы с и с] имеют одинаковую длину. Далее, очевидно, что векторы с и д коллинеарны, ибо ортогональность к плоскости, определяемой векторами гха и Ь, означает ортогональность и к плоскости, определяемой векторами а и Ь. Для доказательства равенства Ь векторов с и д! остается проверить, что эти векторы имеют оди- Ег=ту наковое направление. Пусть О а иа оа О а сс>0(а< 0); тогда векторы а и па (и>0) (о<0) оДинаково напРавлены (пРотиво- Ри, 2 !Ч положно направлены), и, стало быть, векторы [аЬ] и [(Оа)Ь] также одинаково направлены (противоположно направлены), а это означает, что векторы г] = а [аЬ] и с = [(аа)Ь] всегда одинаково направлены.
Свойство 2' доказано. 70 ВЕКТОРНЛЯ ЛЛГЕВРЛ )ГЛ 2 Переходим к доказательству с в о й с т в а 3'. Рассмотрим отдельно д в а с л у ч а я: 1) случай, когда векторы а, Ь и с компланарны; 2) случай, когда эти векторы не компланарны. В первом случае векторы а, Ь и с, будучи приведены к общему началу, располагаются в одной плоскости, которую мы обозначим буквой и. Пусть е — единичный вектор, принадлежащий плоскости л и ортогональный к вектору с, а д — единичный вектор, ортогональный к плоскости я и такой, что тройка еся является правой. Согласно теореме 2.15 [ас] = пр, а [с~ я, [Ьс] = пр„ Ь [с~ я, [(а+Ь)с]= пр,(а+Ь) [с) я. Свойство 3' непосредственно вытекает из последних трех формул и из линейного свойства проекции пря а+ пре Ь = пр„(а+ Ь) (п. 8 э 1).
Пусть теперь векторы а, Ь и с не компланарны. Так как три вектора [(а+ Ь) с], [ас] и [Ьс] ортогональны к вектору с, то эти три вектора компланарны, а стало быть (в силу теоремы 2.5), линейно зависимьс. Но это означает, что найдутся такие числа Х, р и ч, хотя бы одно из которых не нуль, что справедливо равенство Х [(а + Ь) с] = р [ас] ~- и [Ьс]. Остается доказать, что).=р и ) =р ). Докажем, например, что к=р. Для этого, пользуясь уже доказанным (в п.
3 8 2) распределительным свойством 3' скалярного произведения, умножим равенство (2.43) скалярно на вектор Ь и учтем, что смешанное произведение [Ьс] Ь равно нулю (в силу следствия 3 из теоремы 2.16). В результате получим г. Иа + Ь) с] Ь = ]х [ас] Ь. Поскольку векторы а, Ь и с не компланарны, смешанное произведение [ас] Ь не равно нулю, и для доказательства равенства ) = )г достаточно доказать равенство смешанных произведений [(а ч- Ь) с] Ь и [ас] Ь.
Равенство абсолютных величин указанных смешанных произведений вытекает из того, что (в силу теоремы 2.16) эти абсолютные величины равны объемам двух параллелепипедов с равновеликими основаниями ) (на рис. 2.21 эти равновеликие основания заштрихованы штрихами ) Так как по условию томя бы одио пз укозаяпьы сасея ожяпчгго ом кутя, то, доказав, гто я=и=у, ьгы лгожем полелить равенство (243) па число х=р = у, в результате чего получим своиство 3' т ) Основанием одного параллелепипеда служит параллелограмм. постросииый иа векторах а и Ь, а другого — параллелограмм, построенный ~~а векторах а ч Ь и Ь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
