В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Аналитическая геометрия (1152752), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Умножая каждое из равенств (3.17) скалярно сначала на 1, а затем на 1 и на К полУчим следУющие выРажениЯ длЯ чисел а,м: ан=соз(х!), аы— - соз(!!), а,з- — соз(!)г), Оа,— — соз(!!), Егза— - соз(и), ааз — — соз(!!Г), Ом = соз ( !г г ), О!зз = соз ( !г 1), гхзз = соз ( !г !г ). Так как любой вектор можно разложить по базису 11(г, то найдутся девять чисел а, (1 = 1, 2, 3; т = 1, 2, 3) таких, что ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ В ПРОСТРАНЕТВЕ 81 8 з1 2.
Выяснение геометрического смысла. Углы Эйлера. Уясним геометрический смысл формул преобразования (3.20). Для вычисления чисел аг и их геометрического значения предположим, что первая и вторая системы имеют г' 0 общее начало (т.е. а =() = с =О). Ради определенности будем считать, что обе системы Охуг и Ох'у'г' являются п р а в ы м и., У Введем в рассмотрение три угла, полностью характеризующие расположение осей второй системы относительно первой. Обозначим через и ось, и совпадающую с линией пересечения координатРис 3 3 ной плоскости Оху первой системы с координатной плоскостью Ох'у' второй системы и направленную так, что три направления Ог, Ог' и и образуют правую тройку рис. 3.3).
Пусть теперь тр — угол между осями Ох и и, отсчитываемый в плоскости Оху от оси Ох в направлении кратчайшего поворота от Ох к Оу, 0 — не превосходящий я угол между осями Ог и Ог' и, наконец, тр— угол между осями и и Ох, отсчитываемый в плоскости Ох'у' от оси и в направлении кратчайшего поворота от Ох' к Оу'. Три угла ср, тр и 0 называются углами Эйлера ). Очевидно, по трем углам Эйлера и по направлениям осей Ох, Оу и Ог однозначно определяются направления осеи Ох', Оу' и Ог'. Если заданы три угла Эйлера, то преобразование первой системы Охуг во вторую систему Ох'у'г' можно представить в виде последовательного проведения следуютцих трех поворотов: )) поворота системы Охуг на угол тр вокруг оси Ог, переводящего эту систему в систему Ох,у,г,(рис.
3.4); 2) поворота системы Ох,у,г, на угол 0 вокруг оси Охн переводящего эту систему в систему Охгуггг (рис. 3.5); 3) поворота системы Охауагз на угол тр вокруг оси Огг = Ог', переводящего эту систему в систему Ох'у'г' (рис. 3.6). Уг хг ,(хг) Рис. 3Л Рис 3.6 Каждый из указанных трех поворотов производится в одной из координатногх плоскостей соответствующей системы. Поэтому для ') Леонард Эйлер (1707 — 178:1) — великии математик, член Петсрбургскои Академии наук, большую гасть жизни провел в России, по происхождению швеипареп.
82 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДЕКАРТОВЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ !ГЛ 3 х = х1 сов 1р — у, 5!и зр, у =х, яп1р + у, со51р, г = гб (3.21) 2) для второго поворота х, =хм у, =уесо59 — гзз)пО, г, =у,з!ПО ч- гзсо59; (3.22) 3) для третьего поворота хз — -х'со51р — у'5!ПГр, уз -— х'5!ПГр+ у'со51р, гз — -г'. (3.23) Внося (3.23) в (3.22), а затем (3.22) в (3.2!), получим х=(х'со51р — у'япГр)со51р— — ((х'51пгр+у'со51р) со59 — г'5(пО) яп1р, у = (х ' сов 1р — у ' яп Гр) яп 1р ч- ч-((х'51псрч-у'со51р)со50 — г'япО) созтр, (3 24) г =(х'япГр+ у'созгр) 5(пО+ г'со59. Сравнивая формулы (3.24) с формулами (3.20) (при а = б = = с = О), окончательно получим выражения для чисел 1х1 через углы Эйлера: 1х„=со51усозГР— 5!Н1РСО50 51пф, 1Х15 = 51П 1р С05 Гр + С05 1р С05 0 51П Гр, ГХ11 = 51П О 51П Гр, 1хз1 — — — соз 1р 5(п Гр — 5!и т!Г соз 0 соз Гр, 1хзз = — 51пзу 51п ГР+ сов 1Р с059 соз ГР, сх„ = 5!и О ° р, 1Х51 = 51ПТр 51П О, 1хзз = — соз 111 51п О, СГзз = с 05 О.
(3.25) Для вывода формул (3.25) мы использовали допущение, что обе системы имеют общее начало. Разумеется, отказ от этого допущения не изменит вида формул (3.25), ибо ни направление осей координат, ни величина углов Эйлера не зависят от того, где выбрано начало первой и второй систем. Самое оби(ее преобразование координат представляет собой суперпозицию (последовательное проведение) параллельного перено- соответствующих координат при каждом таком повороте будут справедливы формулы вида (3.13) (см.
3 1). Это позволяет написать следующие формулы: 1) для первого поворота линниньп! Пязозялзовю!ия 1 з1 (гх„— 1) х '+ пюу '+ пз,г' = 0, и, х' -(и — 1)у'+ст %1зх + о азу + («зз 1) г = 0. (3.26) С помощью формул (3.25) можно показать, что определитель этой системы равен нулю. Стало быть, в силу п.
8 Дополнения к гл. 1 система (3.26) имеет нетривиальные решения, ко~орые определяют совокупность коллинеарных векторов О'М', лежащих на оси вращения. Одним из таких векторов будет вектор О'Мо — — (х', у', 1), координаты х' и у' которого определяются из первых двух уравнений (3.26) при г'=1. й 3. Линейные преобразования 1. Понятие линейных преобразований плоскости. гуинейным преобразованием плоскости я называется преобразование, при котором каждая точка М (х, у) этой плоскости переходит в точку М', координаты х', у ' которой определяются формулами х'= а„х ж ащу е пня у'= ащх+ аязу+ агн (3.27) са и трех производимых в соответствуюи(их координатных плоскостях поворотов и определяется фор,кулами (3.20), в которых (при условии, что обе системы являются правыми) числа а, вьгражаются через углы Эйлера по формулам (3.25).
Формулы, аналогичные (3.25), могут быть получены и для случая, когда системы Охуг и О'х'у'г' либо обе являются левыми, либо имеют разную ориентацию. 3 а м е ч а н и е. Если Охуг и О'х'у'г' — две произвольные правые декартовы прямоугольные системы в пространстве, то первая из них может быть совмещена со второй посредством параллельного переноса, совмещаюгцего их начала, и о д н о г о поворота вокруг некоторой оси в пространстве. Для нахождения указанной оси, во-первых, учтем, что она проходит через общее начало О' совмещенных посредством параллельного переноса систем (ибо это начало остается неподвижным при повороте), и, во-вторых, заметим, что если О'М' — произвольный вектор, лежащий на искомой оси вращения, то координаты точки М' не изменяются при повороте.
Отсюда вытекает, что для нахождения координат х', у' и г' точки М' в системе О'х'у'г' следует в системе (3.20) (взятой при а = Ь = с = О) положить х = х', у = у', г = г'. Это приведет нас к следующей однородной системе трех уравнений с тремя неизвестными: зл преОБРАЗОВАние декдртовых пРямОуГОльных кООРдиндт !Гл 3 Обычно говорят, что соотношения (3.27) задают линейное преобразова- ние плоскости.
Определитель Л= (3.28) ам азз назьшается определителем линеиного преобразования (3.27). В случае а л О преобразование (3.27) называется невьтрожденным, а в случае Л = Π— вырожденным. Мы в дальнейшем будем рассматривать невырожденные линейные преобразования, т.е.
будем считать б и О '). Такие линейные преобразования называются аффинньтми. 3 а м е ч а н и е. Наименование линейное преобразование объясняется тем, что координаты х ', у ' точек М' — образов точек М (х, у) (сами эти точки называются прообразами точек М') являются линейными функциями координат х, у. Отметим, что определение линейных преобразований инвариантно относительно выбора декартовой системы координат, поскольку координаты точки в одной декартовой системе координат выражаются линейно через ее координаты в любой другой декартовой системе координат. 2. Аффиниые преобразования плоскости.
В предыдущем пункте мы отметили, что аффинные преобразования плоскости — это линейные преобразования (3.27), для которых би О. Перечислим некоторые свойства таких преобразований. 1'. Последовательное выполнение двух аффинных преобразований является аффинным преобразованием. Это свойство проверяется непосредственно. 2'. Тождественное преобразование х'=х, у'=у также является аффинным. Действительно, для этого преобразования 1 О б= =! юО. О ! 3'. Преобразование, обратное данному аффинному (т.е. преобразование плоскости к, переводязцее точки М'(х', у') в точки М(х, у) ), также является аффинным.
Докажем это свойство. Обратное преобразование может быть получено следующим образом. Найдем х и у из соотношений (3.27). Для этого перепишем их следующим образом: анх -!- а!Яу = х — а!з, аюхч-аззу =у' — аап ') Если А =О. то с помощью преобразования (3 27) все точки М (х, у) плоскости л преобразу|отся в точки М' (х', р '), расположенные на некоторои пряыон. Действительно, если Ь = О, то оп — — Ао„, аз~ —— )азз, ! )озтоыу, если ыы уыпожиы ва — А второе нз соотноп~ении () 27) и сложны с первыы, то получим х' — Хд'= = п, з — Аон, Мы видим, что координаты х', )(' точек М' удовлетворяют линейному уравнению, т.е все точки М' лежат на прячои ЛИНЕИНЬП! ПРВОБРАЗОВАг!ИЯ $ з! Решение этой системы имеет такой вид; х =Д,ггД, у =Д гД, (3.29) где а,г х — а|з агг аи х — ам г-О, Д.
= г Д у агг у — агз агг а„у' — аг, аи Д= а., агг, ам, 1 азз ам х = =х' — — у' —— агз "гг (3.30) аг) азг ! у = — — х'е — у' —— Д Д Д аг, агз Видим, что обратное преобразование является линейным. Чтобы убе- диться, что оно является аффинным, остается доказать, что его опреде- литель Д'~0. В самом деле, аг Д гггг Д аиагг — аыаг, Д 1 Д Д Д "г1 Д ап Д Итак, доказано, что преобразование, обратное данному аффинному, также является аффинным.
4'. Агрфинное преобразование представляет собой взаимно однозначное преобразование плоскости. Это означает, что каждая точка М'(х ', у') есть образ единственной точки М (х, у) и в свою очередь каждая точка М (х, у) представляет собой прообраз лишь одной точки М'(х', у'). Докажем это свойство. Предположим, что две точки М (х, у) и М (х, у) преобразуются с помощью (3.27) в одну точку М' (х', у'). Тогда путем вычитания из соотношений (3.27) аналогичных соотношений для координат х, д точки М получим следующую систему линейных уравнений для разностей х — х, у — у: ан(х — х) ч- аш(у — у) = О, аа!(х х) Р ага(у у) =О. (см. Дополнение к гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
