В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Аналитическая геометрия (1152752), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Перейдем к установлению соотношения «лежит между», Пусть А, В, С вЂ” три точки неевклидовой прямой, изображаемой полуокружностью а. Будем говорить, что точка В (в неевклидовом смысле) лежит между А и С, если В на полуокружности а лежит между А и С (в евклидовом смысле). При таком определении соотношения «лежит между» легко устанавливается справедливость аксиом !1, 1-3. Впрочем, порядку следования точек на неевклидовой прямой, изображаемой полуокружностью а, можно придать и более наглядный вид.
Выпуская из центра О полуокружности а всевозможные лучи, мы с помощью этих лучей можем взаимно однозначно спроецировать все точки полуокружности а на все точки некоторой прямой у, параллельной х и лежащей выше полуокружности а. Тогда порядок следования точек неевклидовой прямой а соответствует порядку следования образов этих точек на прямой у.
Попутно докажем, что все точки любой неевклидовой прямой а находятся ео взаимно однозначном соответствии с множеством всех веи(ественных чисел. Нам еще следует проверить аксиому!1, 4 Паша, но доказательство этой аксиомы является наглядно вполне очевидным, и мы его опустим. Теперь мы перейдем к определению соотношения «конгруэнтен». В надлежащем его определении и состоит остроумие модели Пуанкаре. Не вдаваясь в детали, остановимся на основных идеях определения этого соотношения.
Введем в рассмотрение специальное преобразование евклидовой плоскости, известное под названием инверсии. Пусть фиксирована произвольная окружность радиуса Г с центром в точке А. Инверсией относительно указанной окружности называется такое преобразование ПРИЛОЖВ1ИЕ ПРОБЛЕМЫ ОШЮВАПИИ ГЕОМЕТРИИ 222 точек плоскости, при котором любая, отличная от А точка плоскости М переходит в точку М ', лежащую на одном с точкой М луче, выходящем из А, и такую, что выполнено условие АМ' ° АМ = г'. Назовем неевклидов отрезок АВ конгруэнтным неевклидову отрезку А 'В', если существует такая последовательность инверсий, что их произведение отображает евклидову круговую дугу АВ в круговую дугу А'В'. Неевклидовым углом будем называть совокупность двух неевклидовых полупрямых, исходящих из одной точки.
Назовем неевклидов угол к.'(й', )г') коыгруэнтным неевклидову углу к.(Ь, 11), если существует такая последовательность инверсий, что их произведение отображает стороны первого угла на стороны второго. После принятых определений проверка аксиом конгруэнтности 111, 1-5 превращается в техническую работу, которую мы можем опустить. Проверка аксиомы Архимеда Пг, 1 также не вызывает никаких трудностей и использует лишь свойства инверсий. Последняя аксиома абсолютной геометрии — аксиома полноты 1Ч, 2 справедлива вследствие того, что (как это установлено выше) между всеми точками любой «неевклидовой прямой» и всеми вещественными числами можно установить взаимно однозначное соответствие (см.
вторую основную теорему из и. 5 3 1). Итак, для нашей модели справедливы все аксиомы абсолютной геометрии (1, 1 — 3, 11 — 1Н). Как же обстоит дело с аксиомой параллельности А?? Возьмем любую «неевклидову прямуюгч изображаемую полуокружностью а, и любую точку А, ей не принадлежащую. Легко проверить, что через точку А проходит бесконечно много различных полуокружностей, имеющих центры на прямой к и не имеющих общих точек с полуокружностью а. Это означает, что в рассматриваемой нами модели справедлива аксиома параллельности Лобачевского. Тем самым мы завершили доказательство непротиворечивости планиметрии Лобачевского и одновременно показали, что аксиома параллельности Ч Евклида не является следствием аксиом 1, 1-3, 11-1Ч абсолютной геометрии.
ф 4. Заключительные замечания о проблемах аксиоматики При изучении любой системы аксиом естественно возникают следующие три проблемы: 1) проблема непротиворечивости системы аксиом; 2) проблема минимальности системы аксиом (выясняющая вопрос о том, не является ли каждая из рассматриваемых аксиом следствием остальных); 3) проблема полноты системы аксиом (принято систему аксиом АА) заключительные зАмечАния О пРОБлемАх Аксиомлтики 223 называть полной, если между элементами двух любых ее реализаций можно установить взаимно однозначное соответствие, сохраняющее установленные между элементами соотношения). В 2 3 и 4 мы установили непротиворечивость системы аксиом как геометрии Евклида, так и геометрии Лобачевского. Проблема минимальности системы аксиом геометрии является очень трудоемкой и требует обстоятельного исследования.
Примером такого исследования является установленный нами факт, что аксиома параллельности Ъ' не является следствием остальных аксиом. Полнота системы аксиом геометрии устанавливается посредством введения для любой реализации координатной системы и последующего установления взаимно однозначного соответствия (с сохранением всех соотношений) между точками, прямыми и плоскостями данной реализации (в координатной записи) н декартовой реализации, изученной в З 2.
Учебное издание ИЛЬИН Владимир Александрович ПОЗНЯК Эдуард Генрг»хавин АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Серия: «Курс высшей математики и математической физики» Редактор Д.А. Миртова Оригинал-макет: О.А. Пелипенко .!!Р №071930 от 06.07.99. Подписано в печать 04.06.04. Формат 60х 90,116. Бумага офсетная. Почать офсетная. Уел.
печ. л. 14. Уч.-изд. л. 15,76. Заказ № Издательская фирма «Физико-математическая литература» МАИК . Наука/Интернериоднка» 117997 Москва, ул. Профсоюзная, 90 Е-тю1: ГГвтасмтай.гп, Гт!ва!еГота1!огп ЬНр Лч гччг.Гт1,гп Отаечагано с готовых диапозитивов в ПФ «Полиграфист» 160001, г. Вологда, ул. Челюскинце», 3 Тела 18172) 72-55-31, 72-61-75.
факс: 18172) 72-60.72 Е-гпа11: !огнь рГрГачосе!.га !»11р:Пчгч»м.чо!о8да/ рГрч !БВГ4 5-9221-0511-6 9 783922 103118 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
