В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Аналитическая геометрия (1152752), страница 45
Текст из файла (страница 45)
2)7 НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ ГЕОМЕТРИИ ЕВКЛИДД Схема доказательства непротиворечивости геометрии Лобачевского излагается в ~ 3 настоящего Приложения. Здесь же мы отметим, что систему следствий, вытекающих из одних только аксиом 1-1)7, обычно называют абсолютной геометрией. Абсолютная геометрия является общей частью как евклидовой, так и неевклидовой геометрий, ибо все предложения, которые могут быть доказаны только с помощью аксиом 1 — 1Ч, верны как в геометрии Евклида, так и в геометрии Лобачевского (примеры таких предложений читатель найдет в предыдущих пунктах). ф 2.
Схема доказательства непротиворечивости геометрии Евклида Наметим схему доказательства непротиворечивости всех пяти групп аксиом геометрии Евклида. Ради простоты ограничимся доказательством н е и р о т и в о р е ч ивости планиметрии Евклида, т.е. установим непротиворечивость системы аксиом 1, 1 — 3, 11 — тг, Для доказательства достаточно построить какую-нибудь конкретную реализацию совокупности объектов, удовлетворяющих всем указанным аксиомам.
Мы построим так называемую декартову или арифметическую реализацию совокупности объектов, удовлетворяющих аксиомам планиметрии. Тем самым вопрос о непротиворечивости планиметрии Евклида будет сведен к вопросу о непротиворечивости арифметики. Назовем точкой любую упорядоченную пару вещественных чисел (х, у), а прямой — отношение трех вещественных чисел (и: о: из) при условии, что и + оа м О ). Будем гово рить, что точка (х, у) принадлежит прямой (и: о: ш), если справедливо равенство (П.
6) их+ оу+ и = О. Докажем справедливость аксиом 1, 1-3. Каковы бы ни были две различные точки (хн у,) и (хш уа), прямая ') (у~ — у: х — х,: х,уа — хву~), как легко убедиться, содержит эти точки (аксиома 1, 1). Далее из уравнений их, +оу)+из=О, мха+пуз+то=О ) Отношением (и: о: ш) называется совокупность трех вещественных чисел и, о, ш при условии, что при тобом ли 0 совокупности и, о, ю и Хл, Хо, кп рассматриваются как тождественные 2 с)Так как точки (хну~) и (х,, уз) различны. то (х~ — хз) е (у~ — Уз) мО ИРиложн1ис иРОвлемы ОО1ювхиии ГВОмвтРии 21 В вь1текзет, что и: и: ш = (У, — Уз): (хз — х,): (х,У, — хзУ,), так что точками (хь у,) и (хв уз) определяется только одна прямая (и; о: га) (аксиома 1, 2) Наконец, справедливость аксиомы 1, 3 вытекает из того, что уравнение (П.б) с двумя неизвестными х и у всегда имеет бесчисленное множество решений и не всякая пара х и у есть решение уравнения (П.б).
з 2 Теперь определим соотношение»лежит между». Так как и + и ~ О, то либо и~О, либо о~О. Если и ~ О, то будем говорить, что точка (хв уз) лежит между (хи у,) и (хз, уз), если либо х, < хз < хз, либо х, > х > хз. Если же и = 0 (при этом заведомо и ~ 0), то будем говорить, что точка (хз, уз) лежит между (хь у,) и (х,, уз), если либо у, < уз < у,, либо у, > уз > уз.
Справедливость аксиом 11, 1-3 проверяется тривиально. Несколько кропотливую проверку аксиомы Паша Ц, 4 мы опустим. Обратимся теперь к определению соотношения «конг ру энте н»н С этой целью рассмотрим так называемое ортогональное преобразование. Преобразование х'= а,х+ Ь,у+ си у'= аах+ Ьзу+ се, (П. 7) переводя1цее произвольную точку (х, у) в определенную точку (х', у'), называется ортогональным, если выполнены соотношения а, + Ь1 — — 1, аз + Ьз — — 1, а1аз+ Ь1Ь —— О. з (П.8) Легко доказать, что всякое ортогональное преобразование (П.7), (П.8) можно представить в одной из следующих форм: либо в виде Х = О1Х вЂ” ))У Э СИ У = 1)Х + СОУ Э Сть (П.9) либо в виде х ' = гхх -~ ~)у -~ с1, у ' = ~)х — ау + сз, (П.10) причем в обоих случаях о1з + 1) = 1.
Преобразования (П9) и (П.10) обычно называют ортогональнь»ми преобразованиями соответственно первого и второго рода. Пусть даны произвольная прямая (и: о: ш) и на ней некоторая точка (хо, уо), так что ихо+ пуп+ га = О. Легко убедиться в том, что совокупность точек (х, у), где (П.11) х=хоэо( у=ус принадлежит прямой (и: о: гь) для любого вещественного числа Ц Далее ясно, что при ( > 0 все указанные точки (х, у) лежат по одну сторону от точки (хо, уо), а при ( < 0 эти точки лежат по другую сторону от (хо уо). 2!9 НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ ГЕОМЕТРИИ ЕВКЛИДА Иными словами, уравнения (П.11) при всевозможных положительных ! определяют все точки полупрямой, исходящей из точки (хо, уь) и лежащей на прямой (и: о: ю).
Эту полупрямую мы будем обозначать символом (хо, уо, о, -и). Оказывается, всякое ортогональное преобразование (как первого, так и второго рода) переводит люоую полупрямую снова в полупрямую. Более точно, справедливо следующее утверждение: ортогональное преобразование (П.9) или (П.10) переводит полупрямую (хь, уь, о, -и) в полупрямую (х„', уь, о', — и'), где для случая преобразования (П.9) хо = охо !)Уо+ с1 Уо = !)хо+ Г"Уо+ са о'=ао+))и, и'=-!зо — Гти, и для случая преобразования (П.
!0) хо = охо+ !)Уо+ с! Уо = ))хо ОУВ+ см о' = о'.о — !Зи, и '= -!)о — аи, Теперь назовем отрезок АВ конгрузнтным отрезку А'В', если сушествует ортогональное преобразование, которое переводит точку А в точку А ', а точку В в точку В'. Угол г.(й, я) назовем конгруэнтным л(й', й'), если существует ортогональное преобразование, переводящее полупрямую и в полупрямую и' и полупрямую )ь в полупрямую я'. Далее нужно перейти к проверке аксиом 111, 1 — 5. Аксиома 111, 2 вытекает из групповых свойств ортогонального преобразования, в силу которых как последовательное проведение двух ортогональных преобразований, так и преобразование, обратное к ортогональному, снова являются ортогональными преобразованиями.
Проверка остальных аксиом группы 1!1 требует кропотливой техники и использования указанного выше утверждения, и мы ее опустим. Что же касается аксиом непрерывности, то аксиома Архимеда 1Н, 1 проверяется непосредственно, а справедливость аксиомы полноты 1Н, 2 вытекает из того, что между всеми точками любой прямой и всеми вещественными числами можно установить взаимно однозначное соответствие (см. вторую основную теорему из и. 5 ф 1). Нам остается еше проверить справедливость аксиомы параллельности Н.
Пусть (и: о: Го) — произвольная прямая н (х„, уо) — точка вне ее, так что ихо+ оуь+ ю ~ О. Пусть (и': о': ю') — прямая, проходящая через точку (хь, у„), т.е. удовлетворяющая условию и хо ч- о Уо+ Го ' = О. (П. 12) пеиложкниг. нгоьчшмы основании гкомвтяии Поскольку эта прямая не пересекает прямую (и: о: ш), должна быть несовместна система уравнений (П.
13) и'х+о'у+те'=О, их+ ну+ ш=О. Из несовместности системы (П.13) заключаем, что и': и = о'; о, или, что то же самое, и'= ).и, о'= ) о, где ). — некоторое число. Ио тогда из (П 12) получим те' =-Х(ихг ь оуа), т е. и': о' . ю' = и: о: -(ихо+ оуо). Итак, отношения и': о' . ю' однозначно определены, т.е. существует единственная прямая (и': о': те'), проходящая через (х„, уо) и не пересекающая прямой (и: о: ю). Тем самым доказательство непротиворечивости планиметрии Евклида завершено. Замечание. Аналогично доказывается не п р о т и в о ре ч ив ос т ь с те р е о м е три и Е в кл и да. Для этого мы называем точкой любую упорядоченную тройку вещественных чисел (х, у, г), прямой — совокупность всех троек (х, у, г), элементы х, у, г которых связаны системой двух линейных уравнений, плоскостью — совокупность всех троек (х, у, г), элементы х, у, г которых удовлетворяют одному линейному уравнению.
ф 3. Схема доказательства непротиворечивости геометрии Лобачевского Для простоты ограничимся доказательством непротиворечивости планиметрии Лобачевского, те. построим конкретную реализацию совокупности объектов, удовлетворяющих аксиомам 1, 1-3, 11-!Н и аксиоме, отрицающей справедливость Н. Для построения указанной реализации мы будем опираться на уже установленную нами непротиворечивость планиметрии Евклида, т.е.
сведем вопрос о непротиворечивости планиметрии Лобачевского к вопросу о непротиворечивости планиметрии Евклида. Излагаемая в этом параграфе модель принадлежит А. Пуанкаре ). Рассмотрим на евклидовой плоскости горизонтальную прямую х и опирающуюся на нее верхнюю полуплоскость. Все точки этой верхней полуплоскости мы назовем неевклидовыми точками, а все лежащие в верхней полуплоскости полуокружности с центром на прямой х и все вертикальные полупрямые, исходящие из точек прямой х, назовем неевклидовыми прямыми (кстати, указанные полупрямые удобно рассматривать как полуокружности бесконечно большого радиуса).
') Лирк пуанкаре — фракцуаекки математик (!854- Ш Гй), 431 НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ ГЕОМЕТРИИ ЛОВЛЧЕВСКОГО 22! Мы определим между неевклидовыми точками и неевклидовыми прямыми соотношения «принадлежит», «лежит между» и «конгруэнтен»иубедимсявсправедливости всех аксиом абсолютной г е о м е т р и и (т.е. аксиом!, 1-3, 11 — 1Ъ'). После этого мы покажем, что в построенной модели справедлива аксиома параллельности Лобачевского (т.е. отрицание аксиомы Ъ' Евклида). Мы будем говорить, что неевклидова точка А принадлежит неевклидовой прямой а, если точка верхней полуплоскости А лежит на полу- окружности а.
Справедливость аксиом 1, 1-3 устанавливается тривиально. Так, аксиомы 1, 1 и 1, 2 эквивалентны утверждению, что через две точки верхней полуплоскости можно провести только одну окружность, имеющую центр на прямой х. Аксиома 1, 3 эквивалентна утверждению, что на любой полуокружности имеются по крайней мере две точки и имеется хотя бы одна точка вне этой полуокружности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
