В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Аналитическая геометрия (1152752), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Достаточно доказать, что суи!ествуют как угодно близкие числа разных классов, а это вытекает из того, что для как угодно большого номера и найдется номер т такой, что рациональное число (т ж 1)(и принадлежит верхнему классу, а рациональное число тггп принадлежит нижнему классу ). д Положим теперь х = х = х и поставим вещественное число х в соответствие точке М, назвав его координатой этой точки. Требование 1' обосновано.
Пусть теперь М, и М, — какие угодно дее точки, лежащие по ту же сторону от О, что и Е, и такие, что М, лежит между О и М.„т.е, ОМа > ОМ,. Докажем, что если х, и х, — координать1 точек М, и М, соответственно, то хз > хн Выберем номер и настолько большим, чтобы разность отрезков ОМ, и ОМО повторенная и раз, превзошла отрезок ОЕ (это можно сделать в силу все той же аксиомы Архимеда 1Н, 1). Тогда, обозначая через т наибольшее целое число, для которого и ОМ >т ОЕ, мы получим, что и ОМ1<(тч-1) ОЕ, (П.З) и в силу сделанного выше выбора номера и и ОМ >(те 1) ОЕ. (П.4) Из (П.З) заключаем, что рациональное число (т+1))п относится к верхнему классу по отношению к точке Мн т е.
(т + 1)/и > х О а из (П 4) заключаем, что то же самое рациональное число (т+ 1) уп относится к нижнему классу по отношению к точке Мш и поэтому ха > (т+ 1),гп. Тем самым неравенство хз > х, доказано. Если теперь мы имеем на прямой а какое угодно число точек, идущих в порядке О, М1, Ми..., М„(в сторону Е )), то из только что доказанного утверждения для координат этих точек получим О < х, < х, «... х„. Тем самым для случая расположения точек по ту же сторону от О, что и Е, требование 2' доказано.
Для точек М, лежащих на прямой а по ') См. вып 1, теорему 2.! ) Тот факт, что для любого номера п наидется указанный номер т (такси, ято справедливо (11.1)). с~шва вытекает из аксиомы Лркимеда )У, 1. ') В дальнейшем зта сторона именуется положишелзной. ИРИЛОЖШ1ИЕ ПРОБЛЕМЫ ОСПОВАИИИ ГЕОМЕ1'РИИ 214 другую сторону от О, совершенно аналогично вводятся отрицательные координаты и повторением тех же рассуждений мы устанавливаем требования! ' и 2' в общем виде. Для установления требований 3' и 4' мы сначала докажем, что если на прямой а в по гожительную сторону от О взяты точки Ми Мз и М, причем М, лежит между О и М и отрезки М,М и ОМг конеруэнтны, то х = х, + хз (здесь х, хг и хг — координаты точек М, М, и Ме соответственно).
Возьмем из нижних классов, отвечающих координатам х, и х,„два произвольньгх рациональных числа, обозначив их (после приведения к общему знаменателю и) соответственно через тгу'и и т,.уп. Тогда и ОМ,>т, ° ОЕ, и ОМЕ>тз ОЕ. Складывая последние два неравенства, получим и ОМ > (тг4-тв) ОЕ. (П. 5) Точнее говоря, в левой части (П.5) мы получим сумму и раз отложенного отрезка ОМ, и и раз отложенного отрезка ОМ.„но после перегруппировки слагаемых мы и получим и раз повторенную сумму отрезков ОМ, и ОМ„т.е. и ОМ ). т, те Из неравенства (П.5) заключаем, что рациональное число — + = принадлежит н и ж н е м у классу, отвечающему координате х.
Совершенно аналогично, взяв любые рациональные числа т, у и и тгу и из верхних классов, отвечающих координатам х, и хг, мы убедимся в том, что рациональное число †' + †' принадлежит верхнему классу, отвечающему координате х. Но тогда из определения суммы вещественных чисел и из того, что рациональные числа как из верхнего, так и из нижнего классов как угодно точно приближают соответствующую координату, мы получим, что вещественное число х равно сумме х, + хз. Тем самым нами доказано, что отложить от точки М, с координатой х, (в положительную сторону) отрезок ОМг — это все равно, что построить точку М с координатой х, удовлетворяюи(ей условию х = х, + х„где хз > Π— координата точки Мд Это утверждение мы доказали для случая х, > О, но легко распространить его и на общий случай (предоставляем зто читателю).
Из дока! ) То, что в геометрическои сумме отрезков мы можем, не меняя суммы. переставлять слагаемые, вытекает из следуюгдих соображении Достаточно убедиться в возможности перестановки для лвух слагаемых, а это непосрелственно вытекает из аксиомы 1и, 3, в формулировке которои ничего не сказано о порядке, в котором яприставляютсюг друг к другу слагаемые отрезки Л'В' и В'С' При любом их порядке сулгма Л'С' конгруэнтна отрезку ЛС.
215 ЛКСИОМЫ ЭЛЕМЕНТЛРНОИ ГЕОМЕТРИИ ванного утверждения сразу же вытекает требование 4', а для доказательства утверждения 3' достаточно заметить, что откладывание данного отрезка равносильно добавлению к координате точки постоянного слагаемого. Первая основная теорема полностью доказана ). 3 а м е ч а н и е. Особо подчеркнем, что в первой основной теореме не утверждается, что каждому вещественному числу х соответствует определенная точка на прямой !т.е. не утверждается, что соответствие между точками прямой и вещественными числами является взаимно однозначным). Мы сейчас увидим, что это невозможно доказать, опираясь только на аксиомы 1, 1 — 3, !1, Ш, ! — 2 и !Ч, ! и не привлекая аксиому линейной полноты 1Ч, 2, Вторая основная теорема. Пусть справедливы аксиома 1, 1 — 3, 11, 111, ! — 3, 1Ъ', ! и на прямой а введены координаты.
Тогда, для того чтобь! каждому вещественному числу х отпвечала некоторая точка прямой а, т.е. для того, чтобы между всеми точками прямой а и всеми вещественными числами суи!ествовало взаимно однозначное соответствие, необходимо и достаточно, чтобы была справед,гиви аксиома линейной полноты 1)т, 2. Д о к а з а т е л ь с т в о. !) Д о с т а т о ч н о с т ь. Докажем, что если су!цествуют вегцественные числа х, которым не отвечает никакая точка прямой а, то аксиома 1Ч, 2 заведомо несправедлива.
Пусть существуют указанные вещественные числа х. Каждое из них мы назовем новой точкой и присоединим все новые точки к совокупности прежних точек прямой а. На пополненной прямой (назовем ее а ) уже каждому вещественному числу отвечает точка, и обратно. Определим на а соотношения «лежит между» и «конгруэнтен». Будем говорить, что точка Мг прямой а лежит между М, и Мз, если либо х, < хл с х,, либо х, > хг > х,, где под хп хг и х, нужно понимать координату соответствующей точки Мн М, и М,, если эта точка прежняя, и саму эту точку, если она новая, Очевидно, что в применении к прежним точкам определенное на а соотношение «лежит между» сохраняет старый смысл.
Будем говорить, что отрезок М,Мг прямой а конгрузнтен отрезку той же прямой М;Мг, если х — х, = хе — х;, где под хп хг, х,' и х,' нужно понимать координату соответствующей точки Мп Мг, М,' и М;, если эта точка прежняя, и саму эту точку, если она новая. Снова очевидно, что в применении к прежним точкам определенное на а соотношение «конгруэнтен» сохраняет старый смысл. ) Подчеркнем, что нри докезетельстее еереон осноенои теоремы аксиомы 1, 1-3 и 11 аспольловалась «ашь для усмановленая порядка следования мочек на ° рямой приложкниг.
проьлвмы основы)ии гвомшрии 2)6 Очевидно также, что для точек пополненной прямой а определен порядок следования и справедливы аксиомы конгруэнтности 111, 1-3 и аксиома Архимеда 1Ъ', 1. Тем самым мы установили возможность пополнения прямой, противоречащую аксиоме линейной полноты 1Ъ', 2. Достаточность доказана. 2. Н е о б х о д и м о с т ь. Докажем, что если аксиома линейной полноты 1Ч, 2 не имеет места, то координаты всех точек прямой а не исчерпывают всех вещественных чисел. Если аксиома ут1, 2 не имеет места, то существует пополненная новыми точками прямая а, для всех точек которой определены соотношения «лежит между« и «конгруэнтен«, определен порядок следования и справедливы аксиомы конгруэнтности 111, 1-3 и аксиома Архимеда 1т7, 1.
В силу первой основной теоремы на пополненной прямой а можно ввести координаты 1в этой теореме аксиомы 1, 1 — 3 и 11 использовались лишь в форме возможности установления на данной прямой порядка следования точек). Мы получим, что каждой точке пополненной прямой а отвечает определенное весдественное число, причем разным точкам отвечают различные вещественные числа. Но отсюда следует, что те вещественные числа, которые отвечают точкам, производящим пополнение, не будут соответствовать ни одной точке исходной прямой а. Необходимость доказана.
Вторая основная теорема полностью доказана. 6. Аксиома параллельности. Самая последняя аксиома играет в геометрии фундаментальную роль, определяя разделение геометрии на две логически непротиворечивые и взаимно исключающие друг друга системы: евклидову и неевклидову геометрии. В геометрии Евклида эта аксиома формулируется так: «7. Пусть а — произвольная прямая и А — точка, лежащая вне прямой а, тогда в плоскости и, определяемой точкой А и прямой а, существует не более одной прямой, проходящей через А и не пересекающей а. Долгое время геометры выясняли вопрос о том, не является ли аксиома параллельности ту следствием всех остальных аксиом!, 11, П1, 1Ч.
Этот вопрос был решен Лобачевским '), который доказал, что аксиома Ъ' не является следствием аксиом 1-1Ч. По-другому результат Лобачевского можно сформулировать так: если к аксиомам 1 — 1Ч присоединить утверждение, отрицающее справедливость аксиомы Ч, то следствия всех этих положений будут составлять логически непротиворечивую систему 1неевклидову геометрию Лобачевского). ') ))иколви Иванович Лобачевский — великии русскии мвтемвтик () 793 — ! 856).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
