В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Аналитическая геометрия (1152752), страница 39
Текст из файла (страница 39)
11) то значения Р в точках п могут быть получены с помощью (7.10) для всех тех значений (х', у', г '), которые связаны соотношением (7.11). В частности, максимальное значение Р будет в точке (О, О, 1). Убедимся, что в выражении (7.10) группы старших членов в системе Ох'у'г' коэффициенты ааз и а,'з равны нулю. Докажем, например, что а,'з = 0 (доказательство равенства а з = 0 проводится аналогично). Для этой цели рассмотрим значения Е в точках окружности Л, являющейся линией пересечения сферы (7.11) с плоскостью у' = О, т.е. с плоскостью Ох 'г'.
Пусть Π— угол, который образует радиус-вектор точки М на окружности 7. с осью Ог'. Координаты х', у', г' точки М, очевидно, равны х ' = згп Е, У ' = О, ' = ° О. (7. 12) !) Соотнощение (7 9) представляоз собои уравнение сферы радиуса 1 с центром в начале координат. ) Сфера я является замкнутым ограниченным ыножеством и служит областью задания непрерывнои функции стрех переменных х, у и з Отсюда следует существование на сфере я такой точки Р, в кото рои Р имеет максимальное значение (си, выл, 1 курса, гл.
14, теорему!4 7). з) Напомним, что при повороте коэффициенты группы старщих членов выражаются лищь через вели ~иггы т„, фигурирующие в соотнощениях (7.5), и через коэффициенты группы старщих членов в выражении (7 В) (см и 1 этого парагра<Ра) клАссиФикАция НОВКРхностеи ВРОРОГО ЦОРядкА 189 Подставляя эти значения х', у' и г' в 17.10), получим следующее выра- жение для Е в точках Ь: с" = а,', з)п 94-а11соз 04-2а,'1з!п9соз9 = 2 2 и соз20+ а' з)п29. 17.13) 1З Таким образом, значения г" в точках 7. могут быть представлены в виде функции 17.13) угла О.
Эта функция имеет при 0 = 0 максимальное значение 1из формул 17.!2) следует, что значению 0 =О отвечает точка с координатами 10, О, !), в которой значение Р максимально). Отсюда вытекает, что производная функции 17.13) равна нулю в точке 0 = О. Дифференцируя (7.13) по 0 и полагая в полученном выражении 0 = О, получим равенство 2а;, = О, из которого вытекает равенство нулю коэффициента а,'з. Для доказательства равенства а'з — — О нужно рассмотреть значения с" на окружности Х, являющейся линией пересечения сферы 17.11) с плоскостью х ' = О, и повторить проведенные выше рассуждения.
Итак, в системе координат Ох'у'г' группа Е старших членов уравнения поверхности 5 второго порядка имеет вид с = а,',х' + 2а12х'у'+а22у' +аззг', 17. 14) причем на выбор осей Ох ' и Оу ' не накладывалось никаких требований, кроме требований перпендикулярности оси Ог'. Иными словами, при повороте системы Ох 'у 'г ' вокруг оси Ог ' на любой угол группа Е старших членов будет иметь вид 17.14). При этом координаты х' и у' преобразуются по формулам поворота системы координат на плоскости, а координата г' не меняется.
Поэтому можно выбрать такую систему координат, в которой коэффициент а;, при произведении х'у' будет равен нулю. Итак, мы убедились в том, что существует тикая система прямоугольных декартовы координат Ох'у'г', в которой уравнение поверхности 5 имеет вид а,',х' +а„'у' 4-аззг'2+2а14х +2а 4у +2а.'„г'+а44 — О. 17.15) ° 2 2 Приведение уравнения 17.1) поверхности 5 к виду !7.15) мы будем назы- вать стандартн1ям упрощением уравнения поверхности. 0 2. Классификация поверхностей второго порядка 1. Классификация центральных поверхностей.
Пусть 5 — центральная поверхность второго порядка. Перенесем начало координат в центр этой поверхности, а затем произведем стандартное упрощение ПОВЕРХ1ЮС1'и ВТОРОГО )ЮРЯДКА )гл 7 190 уравнения этой поверхности. Используя выводы пп. 1, 3 и 4 8 1 этой главы, легко убедиться, что в результате указанных операций уравнение поверхности примет вид ) 2 2 2 аг)х -Рааау Раззг +а44=0. агг~О, а22~0, азз~О.
(7.17) Возможны следующие случаи. 1'. Коэффициентггг ан, аа„а,з одного знака, а коэффициент ал, отличен от нуля. В этом случае поверхность 5 нззывается эллипсоидом. Если коэффициенты ан, а„, азв ам одного знака, то левая часть (7.16) ни при каких значениях х, у, г не обращается в нуль, т.е. уравнению поверхности 5 не удовлетворяют координаты никакой точки.
В этом случае поверхность 5 называется мнимым эзглипсоидом. Если знак коэффициентов ан, азг, азз пРотивоположен знакУ коэффициента а4,, то поверхность 5 называется вещественным эллипсоидом. В дальнейшем термином еэллипсоидэ будем называть лишь вещественный эллипсоид. Обычно уравнение эллипсоида записывают в канонической форме. Очевидно, числа — а44,)агг, — а44,)ааг. — а44,7азз положительны 2).
Обозначим эти числа соответственно а, Ь~, с'. После несложных преобразований уравнение эллипсоида (7.16) можно записать в следующей форме; хз „г —,4- — + —, =1. аг Ьг Сз (7. 18) Уравнение (7.18) называется каноническим уравнением эллипсоида, Если эллипсоид задан своим каноническим уравнением (7.! 8), то оси Ох, Оу и Ог называются его главными осями. 2'. Оз четырех коэффициентов ан, ат, азз, а„два одного знака, а два других — противоположного. В этом случае поверхность 5 называется однополостным гиперболоидом. Обычно уравнение однополостного гиперболоида записывают в канонической форме.
Пусть, ради определенности, ап > О, а„ > О, а„ < О, а4, < О. Тогда числа — а4477агг, — а44,)а22, а44)азз положительны. Обозначим эти числа соответственно а, Ьз, с'. После несложных преобразова- ) При этом окончательную систему координат мы обозначим Охуз. ) Согласно (7 17) и опРеделению эллипсоида коэффициенты огь аэг. азз, а44 не Равны нулю и знак а44 противоположен знаку агг, огз. азт. Так как инвариант !з для центральной поверхности отличен от нуля и его значение, вычисленное ДлЯ УРавнениЯ (7.16), Равно ан азг азь то коэффициенты ап, а22 и аю удовлетворяют условию КЛАССИФИКАЦИЯ ПОВЕРХНОСТЕИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 19! ний уравнение (7.16) однополостного гиперболоида можно записать в следующей форме: х' у г' аг уг сг (7.21) х у г —,+ — — — =1.
а Ь с Уравнение (7.19) называется каноническим уравнением однополостного гиперболоида. Если однополостный гиперболоид задан своим каноническим уравнением (7.19), то оси Ох, Оу и Ог называются его главными осями. 3 а м е ч а н и е 1. Если знаки коэффициентов ап, агг, азь ам распределены иначе, чем в рассмотренном случае, то каноническое уравнение (17.19) легко может быть получено путем переименования осей координат. 3'. Знак одного из первьгх трех коэффициентов а~ц агг, азз, ам противоположен знаку остальных коэффициентов. В этом случае поверхность 5 называется двуполостным гиперболоидом. Запишем уравнение двуполостного гиперболоида в канонической форме. Пусть ради определенности ац <О, а г <О, аю>0, а„„< О.
Тогда а44ггап > О, аччуаг7 > О, -амггазз > О. Обозначим эти числа соответственно через а, Ь, с . После несложных преобразований уравнение (7.16) двуполостного гиперболоида можно записать в следующей форме: —, ч- — — — = -1.
х- у' г (7.20) аг Ьг с' Уравнение (7.20) называется каноническим уравнением деуполостного гиперболоида. Если двуполостный гиперболоид задан своим каноническим уравнением, то оси Ох, Оу и Ог называются его главными осями. 3 а м е ч а н и е 2.
Если знаки коэффициентов ап, аа, ась а44 распределены иначе, чем в рассмотренном случае, то каноническое уравнение (7.20) легко может быть получено путем переименования осей координат. 4'. Коэффициент а„равен нулю. В этом случае поверхность 5 называется конусом второго порядка. Если коэффициенты ан, агг, азз одного знака, то левая часть (7.16) обращается в нуль (ачч — — 0) лишь для х = у = г = О, т. е. уравнению поверхности 5 удовлетворяют координаты только одной точки. В этом случае поверхность 5 назьгвается мнимым конусом второго порядка. Если коэффициенты ац, аа„ам имеют разные знаки, то поверхность 5 является веьцественным конусом второго порядка. Обычно уравнение вещественного конуса второго порядка записывают в канонической форме.
Пусть ради определенности ан > О, азс > О, г азг < О. Обозначим 1га», ! /агь — ! ггазг соответственно через а, о', с . Тогда уравнение (7.16) можно записать в виде ПОВВРхГюсти втОРОГО !ОРядкА 1ГЛ 7 х = х'-Р—, у = у'-Р—, г = г'. 21 а11 а„ (7.22) Подставляя х', у', г', найденные из (7.22), в левую часть (7.15) и заме- НЯЯ ЗатЕМ а,', На а», а;2 На а,в а;, На Р И а,', На г?, ПОЛУЧИМ СЛЕДУЮЩЕЕ уравнение поверхности 5 в новой системе координат Охуг: а»х + а22у + 2рг + г? = О.
2 2 1) Пусть р =О, д = О. Поверхность 5 распадается на пару плоскостей х +,/-аг27'агг у = О. При этом, очевидно, эти плоскости будут мнимыми, если знаки а» и аза одинаковы, и веществгнньгми, если знаки а» и ага различны. 2) Пусть р=О, у~О. Уравнение (7.23) принимает вид 2 2 а» х 4- а22у + г) = О. Известно (см. п. 3 Э 2 гл. 4), что уравнение (7.24) является уравнением цилиндра с образующими, параллельными оси Ог. При этом, если а», агп и д имеют одинаковый знак, то левая часть (7.24) отлична от нуля для любых х и у, т.е. цилиндр будет мнимьгм.
Если же среди коэффициентов а», ') Все перечисленные коэффициенты не могуг оытв равны нуло, гак как при преобразовании координат порядок уравнения не изменяется (см гя 4). Уравнение (7.21) называется каноиическим уравнением вещественного конуса второго порядка. 3 а м е ч а н и е 3. Если знаки коэффициентов а», аз„азз РаспРеделены иначе, чем в рассмотренном случае, то каноническое уравнение (7.21) легко может быть получено путем переименования осей координат. 3 а м е ч а н и е 4. В следующем параграфе мы докажем, что вещественный конус второго порядка образован прямыми линиями, проходящими через фиксированную точку.
2. Классификация нецентральных поверхностей второго порядка. Пусть 5 — нецентральная поверхность второго порядка, т.е. поверхность, для которой инвариант 12 равен нулю (см. п. 3 3 1 этой главы). Произведем стандартное упрощение уравнения этой поверхности. В результате уравнение поверхности примет вид (7.15). Так как инвариант ?з = О и его значение, вычисленное для уравнения (?.15), равно а1', а' . азз то один или два из коэффициентов а,'» а22, азз равны нулю ). В соответствии с этим рассмотрим следующие возможные случаи. 1'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
