В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Аналитическая геометрия (1152752), страница 38
Текст из файла (страница 38)
теорема доказана. ГЛАВА 7 ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА В этой главе мы познакомимся с понятием и основными типами поверхностей второго порядка. Кроме того, будут указаны способы исследования таких поверхностей. й 1.Понятие поверхности второго порядка В силу определений 1 и 3 из п. 5 В2 гл.4 поверхностью 5 в т о р о г о п о р я д к а, будем называть геометрическое место точек, декартовы прямоугольньге координаты которых удовлетворяют уравнению вида 2 2 2 а ых ч- а22у е а )зг е 2а,гху + 2аззуг ч- 2а, )хг е ч-2амхч-2атлУ+2азлгч-аы — — О, (7.1) в котором по крайней мере один из коэффициентов а„, аз,, аз,, а,з, аы, ам отличен от нуля. Уравнение (7.1) будем называть оби(им уравнением поверхности второго порядка.
Очевидно, поверхность второго порядка, рассматриваемая как геометрический объект '), не меняется, если от данной декартовой прямоугольной системы координат перейти к другой декартовой системе координат. Отметим, что исходное уравнение (7.1) и уравнение, полученное после преобразования координат, алгебраически эквивалентны. Ниже мы убедимся, что для каждого уравнения (7.1) можно указать такую специальную систему координат, в которой уравнение (7.!) примет столь простой вид, что геометрическая характеристика поверхности 5 не будет представлять затруднений. Используя этот метод, мы дадим полное описание всех типов поверхностей второго порядка.
') Может оказаться, что уравнение 17.1) не опрелеляет поверхности, этому уравненикз могут удовлетворю ь лишь координаты точек, расположенных на прямои линии, или координаты лишь опной точки, или нс наидется ни однои точки, координаты которои удовлетворяют (7.1). Олнако н в этих случаях мы будем говорить о геометри геских объектах, называя их соответственно выроаезеннылл или лнлмымл. понятие повн хности вттщого погадка 1.
Преобразование коэффициентов уравнения поверхности второго порядка при переходе к новой декартовой системе координат. Рассмотрим отдельно параллельный перенос и поворот координатных осей. Условимся о следующей терминологии: группу слагаемых 2 2 2 апх +а22У +аззг +2ащхУ+2аззУг+2а,зхг левой части (7.1) будем называть группой старших членов этого урав- нения, а группу слагаемых 2а|4х+ 2а„у+ 2аз4г+ а44 будем называть линейной частью уравнения (7.1). При этом коэффициенты ап азз, азз, аы азз, а,з бУдем называть коэффиЦиентами гРУппы старших югенов, а коэффициенты а пи ам, аз,, а„„вЂ” коэффициентами линейной части (7.1).
Коэффициент а„обычно называется свободнгям членом уравнения (7.!). Рассмотрим сначала п а р а л л е л ь н ы й п е р е н о с декартовой системы координат. Как известно, старые и новые координаты точки связаны соотношениями х=х +хо у=у +уо* 2 =а 4-20 (7.2) где хь, ув, гь — координаты нового начала О ' в старой системе Охуг (см. гл. 3, формулы (3,20)). Подставляя выражения (7.2) для х, у, г в левую часть (7.!), получим уравнение 5 в новой системе О'х'у'г'. Это уравнение имеет вид а„х' +аззу' +аззг' +2а12х'у'+2аззу'г .02а1зх 2 + ° 2 2 2 42а;4х'4-2а24у'+2аз4г'+а44 — — О, (7.3) где а14 а1гхо+агауь+а~зго+ам а24 — а12хо+ а22У0 4 аззгь 4 а24 (7.4) аз4 1зхо 4 23УО 4 ззго 4 аз4 2 2 2 а44 — а~ гхоз- аязуо+ аззго4 2Цзхоуо+ 2аззуого ь 4 2а~зхого+ 2аыхо+ 2а24уо ь 2аззго 4 а44.
Обращаясь к уравнению (7.3), мы можем сделать следующий важный вывод: при параллельном переносе системы координат коэффициентгя группы старших членов не изменяются, а коэффициенты группы линейных членов преобразуются по формулам (7.4). ПОВЕРХ1Юсти ВГОРОГО ПОРЯДКА 18Г1 Рассмотрим теперь п о в о р о т декартовой системы координат. Как известно, старые и новые координаты точки связаны соотношениями (см. гл. 3, формулы (3.20)) х = т„х'-Р т,зу'4- т,зг', у = т21х +тазу + тазг (7.
5) г= т.31х + тзгу + тззг а,',х'2 -Р иззу'2 4- аззг'2 + 2а,'зх'у'+ 2аззу'г'+ 2а,'зх'г'+ +2а,'4х'+ 2а24у'+ 2а34г'+ а44 — — 0. (7.6) Легко убедиться в справедливости следующего важного вывода о структуре коэффициентов а;,': при повороте системы координат коэффициенты группы старших членов уравнения (7.6) выражаются лишь через величины тч, фигурирующие в соотношениях (7 5), и через коэффициенть1 группы старших членов уравнения (7.1); коэффициенть1 а,4, а„, а;4 уравнения (7.6) выражаются лишь через величинь1 т„и коэффициенты а,4, а2,, аз, уравнения (7.1); свободнь1й член не изменяется (т.е. а,4 — — а4,). При этом, если в исходном уравнении все коэффициенты а„, аьь а34 были равнь1 нулю, то все коэффициенты а ,'4, а;4, а34 также будут равны нулю. Из выводов этого пункта следует, что путем параллельных переносов можно упрощать группу линейных членов уравнения (7.1), не меняя при этом коэффициентов группы старших членов, а путем поворотов системь1 можно упрощать группу старших членов этого уравнения.
2. Инварианты уравнения поверхности второго порядка. Справедливо следующее ут ве рж де н и е: Величины ап ам а22 ам а33 ап 71 = а11 Ра22+азз 12 22 23 33 13 11 1212 1213 а14 ап аы аы а,2 а22 а2, и13 а23 а33 ап а22 а21 а24 74 = 73 —— 3 23 33 1234 14 24 34 44 являются инвариантами уравнения (7.1) поверхности второго поряд- ка относительно преобразований декартовой системы координат. где тч = ти суть косинусы углов, которые составляют друг с другом старые и новые координатные оси. Подставляя выражения (7.5) для х, у и г в левую часть (7.1) и группируя коэффициенты при различных степенях х', у' и г', мы получим уравнение 5 в системе О'х'у'г'.
Это уравнение имеет вид 1ЮНЯ1'ИЕ ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА УН 187 Доказательство этого утверждения приведено в выпуске «Линейная алгебра» настоящего курса. 3. Центр поверхности второго порядка. Попытаемся найти такую декартову систему координат О 'х 'у 'г ' (полученную параллельным переносом системы Охуг), в которой уравнение (7.3) данной поверхности 5 второго порядка не содержало бы слагаемых 2а,'4х ', 2а;4у ' и 2а;4г ', т.е. коэффициенты а,,'4, аз, и а34 были бы равны нулю. Пусть хо, уо и го— координаты начала О' искомой системы. Обращаясь к формулам (7.4), найдем, что величины хо, уо, г„представляют собой решение следующей системы линейных уравнений: а11хо + а шуо + а шге + а 14 а12ХО .1.
а22уо + а2)го -1- а24 = О, 13хо+ 23УО + аззго 1 34 (7. 7) » 2 т2 а„х'2 + а22у' 4- азтг + 2а;2х'у'+ 42аззу'г'+ 2а;зх'у'+ а44 — — О. (7.7') Очевидно, если точка М (х', у', г') расположена на поверхности 5 (т.е. ее координаты х', у', г' удовлетворяют уравнению (7.7')), то и точка М"( — х', — у', — г'), симметричная с М относительно О', также расположена на 5. Таким образом, если у поверхности 5 существует центр О', то относительно центра точки 5 располагаются симметричными парами, т.е. центр поверхности является ее центром симметрии. Наличие центра у поверхности второго порядка связано с разрешимостью уравнений центра (7.7).
Если уравнения центра имеют единственное решение, то поверхность 5 второго порядка будем называть центральной ). Отметим, что центральными поверхностями являются лишь те, для которых инвариант 73 отличен от нуля, ибо этот инвариант равен определителю системы (7.7) уравнений центра. 4. Стандартное упрощение любого уравнения поверхности второго порядка путем поворота осей. Докажем, что в некоторой ') Таким образом, иеитрвльивя поверхность имеет елиоствеиими центр. Уравнения (7.7) называются уравнениями центра поверхности второго порядка, а точка О' с координатами (хо, уо, го), где хо, уо и го — решения системы (7.7), называется центром этой поверхности. Допустим, что поверхность 5 второго порядка имеет центр О' (т.е.
система (7.7) имеет решение (хо, уо, го)). Перенесем начало координат в центр О'. Так как при параллельном переносе коэффициенты группы старших членов не изменяются и начало координат переносится в центр, то уравнение поверхности 5 в системе О'х'у'г' примет вид ПОВЕРХ1ЮС!'н ВТОРОГО 1ЮРЯДКА 1ш) 7 декартовой прямоугольной системе координат уравнение данной поверхности 5 второго порядка не содержит слагаемых 2а!ах'у', 2а;зу'г' и 2а,'зх'г', т.е. в уравнении поверхности 5 коэффициенты а,'„а,', и а!з равны нулю. Обозначим через Р группу старших членов уравнения (7.!) Е=анх +аггу +аззг +2аггху+2аюуг+2ашхг, (78) и рассмотрим значения Р в точках сферы п радиуса 1 с центром в начале координат.
Иными словами, рассмотрим значения Р (х, у, г) для всех тех значений х, у и г, которые связаны соотношением ) х -«у -«г = 1. (7. 9) Пусть Р— та точка сферы и, в которой значение Р (х, у, г) является максимальным ). Направим новую ось Ог' из начала координат в точку Р, а оси Ох' и Оу' перпендикулярно оси О% Очевидно, в системе координат Ох 'у'г' точка Р имеет координаты (О, О, 1). Так как в новой системе координат О'х 'у'г' выражение для Р имеет вид ) Р=а,',х' +аз,У' -«а,'зг' -«2а!гх'У'4-2агзУ'г'4-2а,'зх'г', (7.10) а сфера и определяется уравнением (7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
