В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Аналитическая геометрия (1152752), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Поскольку расстояние от центра гиперболы до директрисы равно а/е, а расстояние от цена тра гиперболы до фокуса равно с, то р = с — — '). Так как с = ае, то для р е получаем формулу 16.32) р=а е — — =а Докажем теорему, выясняющую важное свойство гиперболы и ее директрис. Теорема б.2. Отношение расстояния г, от точки М гиперболы до фокуса г", к расстоянию сГ, от этой точки до отвечающей этому фокусу директрисы 0; равно эксцентриситету е этой гиперболы. Д о к а з а т е л ь с т в о.
Для доказательства этой теоремы нужно рассмотреть следующие четыре случая: 1) точка М находится на левой ветви гиперболы, исследуется фокус Р, и директриса ОП 2) точка М находится на правой ветви гиперболы; исследуется фокус с", и директриса Об 3) точка М находится на левой ветви, исследуется фокус Г, и директриса Ог) 4) точка М находится на правой ветви, исследуется фокус Ет и директриса Оа Так как рассуждения для каждого из случаев однотипны, то мы ограничимся лишь первым случаем.
Расположим систему координат так, как это указано в замечании 5 этого пункта. Так как абсцисса х любой точки М 1х, у) левой ветви гиперболы отрицательна, то расстояние г, от этой точки до фокуса Еи со- ) Напомним, что центр гиперболы и ее фокусы расположены на деиствительнои оси, которая перпендикулярна лиректрисам. Поэтому с учетом расположения центра, фокуса и отвечаюгцеи ему директрисы Гсм рис 6, 11) р =с — —. е ДИРЕКТРИСЫ ЭЛЛИПСА, ГИПЕРЬОЛЫ И ПАРАБОЛЫ 43! 16! гласно формулам (6.11), равно — а — — х. Так как с/а = е, то для г, полу- чим выражение (6.33) г = — а — ех.
1= Директриса О, определяется первым из уравнений (6.31). Согласно и. 7 Э 1 гл. 5 нормированное уравнение этой директрисы имеет вид а — х — — = О. е (6.34) Так как точка М левой ветви гиперболы и начало координат находятся по разные стороны от директрисы О, (см. замечание 7 этого пункта), то расстояние й! От точки М до директрисы О, равно отклонению М от ОО и мы получим (в силу (6.34) и теоремы 5.1) — а — ех й! = е (6.35) Используя формулы (6.33) и (6.35), найдем, что г1,1д! = е.
Для первого случая теорема доказана. Остальные случаи рассматриваются аналогично. 3. Определение эллипса н гиперболы, основанное на их свойстве по отношению к директрисам. Теоремы 6.1 и 6.2, доказанные в предыдущем пункте, выясняют свойство отличного от окружности эллипса и гиперболы, связанное с директри- О сами этих кривых. Убедимся в том, что это свойство эллипса и гиперболы может быть принято в качестве их определения.
Рассмотрим в плоскости и точку Г и прямую О (рис. 6.12). Будем предполагать, что точка Г не лежит на прямой О. Докажем следующее утверждение. Теорема б.З. Геометрическое место (М) точек М плоскости я, для которых атно!пение е расстояния г до точки Г к Рис, 6 !2 расстоянию й до прямой О есть величина постоянная, представляет собой эллипс (при е < 1) или гиперболу (при е > 1). При этом точка Г назь!вается фа к усом, а прямая Π— д ир е к т р и с о й рассматриваемого геометрического места. Д о к а з а т е л ь с т в о.
Убедимся, что в некоторой, специально выбранной системе координат геометрическое место точек, удовлетворяющее требованиям сформулированной теоремы, определяется при е< 1 х у уравнением — + — = 1 (т.е. является эллипсом), а при е > 1 — уравнением 2 12 ЛИ!ЩИ ВТОРОГО ПОРЯДКА !ГЛ 6 а р (6.36) е 1 — е 2 Будем теперь считать прямую А с выбранным началол! О и направлением от г к гс осью абсцисс. Ось ординат направим так, как указано на рис. 6.12. В выбранной системе координат фокус Е имеет координаты (с, О), где э с=р, ), 1 — е а директриса Й определяется уравнением а р х= — = е 1 — е 2 ' (6.38) Перейдем теперь к выводу уравнения рассматриваемого геометричес- кого места точек.
Пусть М вЂ” точка плоскости с координатами (х, у) (см. рис. 6.12). Обозначим через г расстояние от точки М до фокуса Е и че- рез Н расстояние от точки М до директрисы 7). Соотноигение гу'д = е (6.39) является необходимым и достаточногм условием расположения точки М на геометрическом месте (М). Используя формулу расстояния между двумя точками М и Е (см. формулу (1.8) п. 2 3 3 гл. 1) и формулу для расстояния от точки М до прямой 0 (см. п.
7 Ч 1 гл. 5), получим (6.40) ) Эти уравнения, как было выяснено в $ ! этой главы. являются уравнениями эллипса и гиперболы г! Формула (6 37! вытекает ив формулы с = ЯΠ— или формул НР = р и ЯО = — = Р е ! — е — — =1 (т.е. является гиперболой) '). Пусть )с — точка пересечех у а Ь ния прямой 1) и прямой А, проходящей через Р перпендикулярно 1) (рис. 6.12). На прямой А выберем положительное направление от Р к гт' при е <! и от гс к Р при е > 1 (на рис. 6.12 показан случай е < 1).
Так как дальнейшие рассуждения для случая е > 1 и е < 1 идентичны, мы проведем их подробно для е < 1, т.е. для случая, определяющего эллипс. Обозначим через р расстояние между точками г и й. Вспоминая расположение директрисы эллипса относительно его центра (см. п. 2 этого параграфа), естественно выбрать начало О координат на прямой А слева от точки гс на расстоянии а/е. При заданных е и р величина ауе может быть определена при помощи формулы (6.27) (см.
также замечание 4 п. 2 этого параграфа). Иными словами, естественно положить диРектРисы эллипсА, ГипБРБОлы и ИАРАБОлы $ з| 163 т! = — — х '). е (6.41) Из (6.39), (6.40) и (6.41) вытекает, что соотнои|ение Р— х 1 — е =е (х — с) +у (6.42) представляет собой необходимое и достаточное условие расположения точки М с координатами х и у на геометрическом месте (М). Поэтому соотношение (6.42) является уравнением геометрического места (М). Путем стандартного приема «уничтожения радикалов», а также используя формулы (6.36) и (6.37), это уравнение легко привести к виду х' у' — + — =1, а Ь (6.43) где Ь = а — с .
а 2,2 Для завершения доказательства нам нужно убедиться в том, что в процессе преобразования уравнения (6.42) в уравнение (6.43) не появились «лишние корни«. Рассуждая, как и в п. 1 Э ! этой главы, мы убеждаемся, что расстояние г от точки М, координаты х и у которой удовлетворяют уравнению с (6.43), до точки Г (с, О) может быть вычислено по формуле г = а — — х.
а ре Используя соотношение (6.37) и формулу а =,, получим для г сле- 1 — е дую|цее выражение: (6.44) г= а — ех. Так как точка М, координаты х и у которой удовлетворяют (6.43), расположена слева от прямой 7) (для таких точек х < а, а для точек прямой 12'; х = ау'е, где е < 1), то для расстояния д от М до В справедлива формула (6.41). Отсюда и из формулы (6.44) вытекает, что для рассматриваемых точек М выполняется соотношение г||д = е, т.е. уравнение (6.43) является уравнением геометрического места (М). Аналогично рассматривается случай е > !.
3 а м е ч а н и е. Используя доказанную теорему и определение параболы, мы можем сформулировать следующее определение отличного от окружности эллипса, гиперболы и параболы. ') Формула (БЛ|) верна лишь для точек М (х, у), расположенных слева от прямои О. Однако точки, расположенные справа от прямои 2), равно как и точки прямой 2), можно исключить иэ рассмотрения. так как для этих точек г)г > 1, а мы рассматриваем точки, для которых суй = е < 1.
1ГЛ 6 ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 164 Определение. Геометрическое место ТМ) точек М плоскости и, для которыя отногиение е расстояния г до точки с этой плоскости к расстоянию д до прямой О, расположенной в плоскости п, есть величина постоянная, представляет собой либо эллипс (при О < е < 1), либо параболу (пргг е = 1), либо гиперболу1при е > 1). Точка Е называется фокусом, прямаяТ) — д и рек т р и с ой,ае — э к сц е н т р и с и т е т о м геометрического места ТМ).
4. Эллипс, гипербола и парабола как конические сечения. В начале этан главы указывалось. что зтлипс, гипербола и парабола представляют собой линии пересечения круговою копуса с плоскостями, ие проходящими через ею вершину В этом пункте мы докажем теорему, обосновываюшукз справедливость этого утверждения. Теорема 6.4. Пуст~ й — кривая, яаляюснаяся эхглилсом '), гиперболои или параболой Можно указать такой круговой конус К и такую плоскогть к, что линия пе- ресечения плоскости к с конусом К представ- В ляет собой кривую Д Прежде чем переити к доказательству этан теоремы, сделаем следующее замечание.
3 а м е ч а н и е Пусть й" — линия пересечения конуса К с некоторой плоскостью к, не проходяюей через вершину конуса, а й — линия, подобная й". Наидется таже плоскость к, линиеи пересечения которои с К будет линия Д Суньествование такои плоскости очевилно, ибо параллельные плоскости пересекают конус К по подобныы линиям, коэффициент подобия которых равен отношению расстояний от вершины конуса до этих плоскостеи. Доказательство теоремы 64 Очевидно, линия пересечения конуса К с плоскостью.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
