В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Аналитическая геометрия (1152752), страница 32
Текст из файла (страница 32)
й Напомним, что величина Ь как для эллипса, так и для гиперболы не равна нулю Из формул (6.25) и (6.25') вытекает, что эксцентриситет эллипса меньше единицы, а эксцентриситет гипербольг больше единицы а), Отметим, что эксцентриситет окружности равен нулю (для окружности Ь = а). 3 а м е ч а н и е 2.
Два эллипса (две гиперболы), имеющих одинаковый эксцентриситет, подобны. В самом деле, из формулы (6.25) для эксцентриситета эллипса (из формулы (6.25') для зксцентриситета гиперболы) вытекает, что эллипсы с одинаковым эксцентриситетом имеют одинаковое отношение Ь,Га малой и большой полуосей (гиперболы с 157 ДИРЕКТРИСЫ ЗЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ И ПАРАБОЛЫ У 31 одинаковым зксцентриситетом имеют одинаковое отношение Ь,га мнимой и действительной полуосей).
Такие эллипсы (гиперболы) подобны '). 3 а м е ч а н и е 3. Эксцентриситет эллипса можно рассматривать как меру его «вытянутости»: чем больше эксцентриситет е (см. формулу 16.25)), тем меньше отношение Ьуа малой полуоси эллипса Ь к его большой полуоси а. На рис. 6.9 изображены эллипсы с разными эксцентриситетами, но с одинаковой большой полуосью а.
3 а м е ч а н и е 4. Эксцентриситет гиперболы можно рассматривать как числовую характеристику величины раствора угла между ее асимптотами. В самом деле, отношение Ьуа равно тангенсу половины угла между асимптотами гиперболы. 2. Директрисы эллипса и гиперболы. 1'. Директрисьг эллипса. Мы выяснили, что любой, отличный от окружности эллипс имеет большую и малую оси и центр — точку пересечения этих осей (см. п. 1 ~ 2 этой главы). Обозначим через с половину расстояния между фокусами с"г и сг эллипса, через а его большую полуось и через О его центр (рис. 6.!О). с=о Рис. Б.10 Рис 69 Пусть е — эксцентриситет этого эллипса (так как эллипс отличен от окружности, то е м О) и л — плоскость, в которой расположен эллипс.
Малая ось эллипса разбивает эту плоскость на две полуплоскости. Обозначим через и, (г = 1, 2) ту из этих полуплоскостей, в которой лежит фокус г" г (г = 1, 2). Определение. Д и р е к т р и с о й О, 11'= 1, 2) эллипса, отвечающей фокусу сг 1)= 1, 2), назьгвается прямая, расположенная в полуплоскости и, (г' = 1, 2) перпендикулярно большой оси эллипса на расстоянии а/е от его центра. 3 а м е ч а н и е 1. Выберем начало декартовой прямоугольной системы координат в середине отрезка г" гсд, а оси Ох и Оу направим так, ') Чтобы убедиться в атом, лостато*шо расположить тти аллнпсы 1соответственно гиперболы) так. чтобы их пентры н одноименные главные оси совпадали Тогда иа канонических уравнении легко следует подобие кривых с равными отношениями Ь)а.
линии ВТОРОГО ИОРядкА ~ГЛ 6 уравнение директрисы О,: х = -а?е, уравнение директрисы 1лз. .х = атге. (6.26) 3 а м е ч а н и е 2. Директрисы эллипса расположены вне эллипса. Действительно, эллипс расположен в прямоугольнике )х( < а,)у) < Ь (см. п. 1 ~ 2 этой главы и рис. 6.4), стороны которого перпендикулярны большой и малой осям эллипса. Из определения директрис вытекает, что они параллельны двум перпендикулярным большой оси эллипса сторонам этого прямоугольника.
Поскольку упомянутые стороны отстоят от центра эллипса на расстоянии а, а директрисы — на расстоянии а?е > а (О < е < 1), то директрисы расположены вне прямоугольника, а следовательно, и вне эллипса. 3 а м е ч а н и е 3. Мы только что выяснили, что директрисы расположены вне эллипса. Отсюда вытекает, что точки эллипса и его центр расположены по одну сторону от каждой из его директрис. 3 а м е ч а н и е 4. Обозначим через р расстояние от фокуса эллипса до соответствующей этому фокусу директрисы. Поскольку расстояние от центра эллипса до директрисы равно а)е, а расстояние от центра зла липса до фокуса равно с, то р равно — — с ).
Так как с = ае, то для р е получаем следующее выражение: р=а — — е =а (6.2?) Докажем теорему, выясняющую важное свойство отличного от окружности эллипса и его директрис. Теорема 6.1. Отношение расстояния г, от точки М эллипса до фокуса с, к расстоянию й, от этой точки до отвечающей этому фокусу директрисьг 1), равно эксцентриситету е этого эллипса.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Е, и Ра — фокусы эллипса а). Выберем декартову прямоугольную систему координат так, как это указано в замечании ! этого пункта (см. рис. 6.10). В и. 1 З 1 этой главы мы выяснили, что при таком выборе системы координат расстояния г, и г, от точки М(х, у) эллипса до фокусов Е, и Еэ определяются формулами (6.6). Так как отношение с?а равно эксцентриситету е этого эллипса, то для г, и гв мы получим выражения г, =ач-ех, ге=а — ех.
(6,28) ) Напомним, по центр эллипса и его фокусы расположены на йолвпюй оси, которая перпендикулярна директрисам Поэтому с учетом расположения центра, фокуса и отвечаюгцей ему директрисы (рис 6 ) 0) р равно а?е — с. 0 так как эллипс отличен от окружности, то его фокусы не совпадают. как указано на рис.
6.10. Тогда, очевидно, уравнения директрис 1),() =1, 2) эллипса можно записать следующим образом: диРектРисы эллипсА, Ги!гг:Рьолы и ИАРАБОлы у з! Найдем теперь расстояния а*, от точки М эллипса до директрис О,. Используя уравнения директрис О,(см, формулы 16.26)), легко убедиться в том, что нормированные уравнения директрис имеют вид 1см. п. 7 з 1 гл. 5): нормированное уравнение директрисы Об — х — — = О, е (6.29) аеех и — ех йз е е 16.30) Используя формулы (6.28) и 16.30), найдем, что г,.,гд, = е, г = 1, 2. Теорема доказана.
2'. Директрисьг гипербольг. Обозначим через с половину расстоя- ния между фокусами с"г и сз гиперболы, через а ее действительную по- луось и через О ее центр !рис. 6.11). Пусть е — эксцентриситет этой гиперболы и я — плоскость, в которой расположена гипербола. Мнимая ось гиперболы разбивает эту плоскость иа две полуплоскости. Обозначим через к, 1г = 1, 2) ту из этих полуплоскостей, в которой лежит фокус с, 1г = 1, 2).
Определение. Директрисой О, 1г = 1, 2) гипербо,гы, отвечающей фокусу с", !! = 1, 2), назывиется прямая, расположенная в полуплоскости я, 1г = 1, 2) перпендикулярно действительнои оси гиперболы на расстоянии а!е от ее центра. 3 а м е ч а н и е 5. Выберем начало Рис Б!! декартовой прямоугольной системы координат в середине отрезка сггз, а оси Ох и Оу направим так, как указано на рис.
6.1!. Тогда, очевидно, уравнения директрис О, 1г = 1, 2) гипер- больг можно записать следующим образом: уравнение директрисы Об х = -а/е, уравнение директрисы Оз! х = а/е. 16.31) а нормированное уравнение директрисы Оег х — — = 0 . е Так как точка М 1х, у) эллипса и начало координат находятся по одну сторону от каждой из директрис (см. замечание 3 этого пункта), то расстояние агг и йз от точки М 1х, у) до директрис О, и О, равны соответствующим отклонениям М!х, у) от О, и О.„взятым со знаком минус, и мы получим 1в силу (6.29) и теоремы 5.!): 1Щ1 6 линии ВТОРОГО ИОРядкА 160 3 а м е ч а н и е 6. Директрисы гиперболы целиком расположены в области 6, не содержащей точек гиперболы 1см. 2' п.
2 Э 2 этой главы и рис. 6.6). В самом деле, в 2' п. 2 э 2 этой главы мы убедились, что полоса 6и определяемая в выбранной в замечании 5 системе координат Оху неравенством ~х ~ < а, содержится в области 6. Но эта полоса содержит директрисы гиперболы, так как, согласно (6.31), для точек директрис ~ х ~ = — < а, ибо для гиперболы е > 1. Расположение директрис гипербое лы указано на рис. 6.11.
3 а м е ч а н и е 7. Только что сделанное замечание позволяет обосновать расположение директрис гиперболы, указанное на рис. 6.! 1. Именно, очевидно, что точки левой 1правой) ветви гипербольг и ее центр О расположены по разные сторонгы от директрисы Р, (Оа), а точки правой 1лееой) ветви гиперболы и ее центр О расположены по одну сторону от директрисьг 0,(7)а). 3 а м е ч а н и е 8. Обозначим через р расстояние от фокуса гиперболы до соответствующей этому фокусу директрисы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
