В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Аналитическая геометрия (1152752), страница 34
Текст из файла (страница 34)
пер пенди кузю рнон его оси и не проходпщеи через его вершину, представляет собои окружность, т.е, эллипс, эксцентриситет е которого равен нулю Рассмотрим плоскость к", не перпендикулярную оси АВ конуса К и не проходящую через его вершину 01рис 613). Пусть) "— линия пересечения эгон плоскости и конуса Впишем в конус А сферу 5. касаюгдуюся плоскости к* в точке Г Пусть ю — плоскость окружности )т, по которои Рис.
6.13 сфера 5 касается конуса К. и 0 — прямая. по которои пересекаются плоскости и" и со. Убедимся, что й удовлетворяет требованиям определения, сформулированного в предыдушем пункте, т.е, является либо отли шым от окружности эллипсом, либо параболои, либо гиперболои. В процессе рассуждении выясним, что в зависимости от наклона плоскости к" и от величины угла, которыи составляют образуюшие конуса с его осью, кривая й* может иметь любой положительный эксчентриси тем е. Этим. очевидно, н будет завершено доказательство теоремы, так как гюбзые две кривые второго порядка ') г одииаковыя зксцентриситетам подобны Гсм пп 3 и 4 й 2 этои главы и замечание 2 п 1 $ 3 ) При этоы эллипс может представлять собой окружность ) То есть эллипс, гипербола или парабола ДИРЕКТРИСЫ ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ И ПАРАБОЛЫ $ 61 165 этои главы), а согласно сделанному перед доказательством теоремы замечанию, люоая кривая Ы подобная линии Е" нервов гения конуса К с плоскостью л", также представляет собой тчнию пересе«ения этого конуси с некоторой пггоскостью л.
Пусть М вЂ” произвотшная точка кривои Е',МР— перпендикуляр из этой точки на плоскость ш, МΠ— перпендикуляр из М на прямую О,МР— отрезок, соединяюшии точки М и Р,МАг — отрезок образуюгпей конуса (эта образуюгпая проходит через точку М, а Аг — точка пересечения с окружностью Р). Так как МР и МА' — касательные к сфере 5 из одной точки М, то (МР( = !Мдгр Обозначим через Р угол, который составляет образуюшая конуса К с его осьиз, а герез а — угол между п.зоскостями л' и ю.
Очевидно, значения Р заклгочены в пределах О < Р < л(2, а значения а — в пределах О < а < л/2 '). Из рассмотрения треугольников МРК и МРЯ, а также из равенства !МА') = !МР) вытекает, что (М!'! = )А!Р((соз Р. (МЦ! = )МР!)яп и Таким образом, для любои точки М кривои А' справедливо равенство (МР) /(МО! = яп а/соз Р Поскольку для заданного конуса К и фиксированиои плоскости к' отношение яп а('соз Р не зависит от точки М, то для кривой Е выполнены условия определения пргдьгдущгго пункта, т.е.
эта кривая Е" является либо отли«нылг от окружности эллипсом, либо гиперболой, либо параболои. При этом экспептриситет в кривой 1 ыожет быть вычислен по формуле в=юла(соз р (6 45) Докажем, что путем выбора углов и и Р можно получить для и любое положительное значение. Выберем, во-первых, Р так, чтобы величина е соз Р была ыеньше 1. Такои выбор Р возможен, так как Р— любое число из интерва.ва (О, л('2) Остается выбрать а так, чтобы выполнялось равенство яп а = асов Р (эта формула представляет собои записанную иначе формулу (6.45)). Очевидно, достаточно положить о = агсяп (е соз Р).
Теорема доказана. (6.46) Рассмотрим теперь кривую !'., представляющую собой отличный от окружности эллипс или параболу. Пусть Š— фокус кривой )., 0 — отвечающая этому фокусу директриса, р — расстояние от Р до Й и е — эксцентриситет !'.. Пусть полюс полярной системы координат совпадает с Р, а полярная ось перпендикулярна 0 н направлена так, как указано на рис. 6.14. Пусть М вЂ” любая точка !'.. Согласно определению й (см. п. 3 этого параграфа) ( РМ ~ ) МР ! (6.47) )а н О, так как плоскость л' не перпендикулярна оси конуса. б.
Полярные уравнения эллипса, гиперболы и параболы. Обратимся сначала к окружности радиуса /с. Если полюс полярной системы поместить в центр окружности, а полярную ось — произвольно в плоскости окружности, то, очевидно, искомое полярное уравнение будет иметь вид 1гл 6 166 липни второго порядкд Так как 1РМ) = р, а )МР) = )1РНэ-т]гМ) =р жр соз ср '), то из 16А7) находим следующее выражение для р: ре Р= 1 — есов]р Соотношение (6.48), представляет собой полярное уравнение отличного от окружности эллипса или параболы. 1]ис, 6.14 Рис, 6.15 Обратимся теперь к гиперболе. Пусть Р— один из ее фокусов, Р— отвечающая этому фокусу директриса, р — расстояние от Е до В, е— эксцентриситет гиперболы. Пусть Ю'] — ветвь гиперболы, отвечающая фокусу Р, а Ут'а — другая ветвь гиперболы гна рис.
6.15 Š— правый фокус гиперболы и Ж', — правая ее ветвь). Рассуждая, как и в случае эллипса или параболы, легко убедиться, что полярное уравнение ветви )вт] гиперболы имеет вид (6,48), Для ветви )а"в полярное уравнение имеет иной вид. Заметим, во-первых, что для точек М ветви Ю; справедливо соотношение 16.47). Выражения для 1РМ~ и ~1МР~ имеют следующий вид: (РМ) =р, ~МР~ = ~МДт — РХ~ = — р сок ср — р ). (6.49) Используя формулы 16.49), найдем из (6.47) следующее полярное уравнение ~с~~~ )Г,: — ре Р= 1ч-есовф Таким образом, полярное уравнение гиперболы имеет вид ре для ветви )рп 1 — есовф 16.50) -ре для ветви Ф~.
1~-есовф ') Эта формула верна и в случае, когда Л) находится левее Р]]], ибо в этом случае соэ З] < О 2 ) таК КаК ДЯЯ ВЕТВИ )Рт УГОЛ Д] тУПОИ, тО СОВ ф < О, И ПОЭТОМУ МХ = — Р СОВ ф. КАСА!'ЕЛЬНЫЕ К ЭЛЛИПСУ, ГИПЕРБОЛЕ И ПАРАБОЛЕ 167 В 4. Касательные к эллипсу, гиперболе и параболе 1. Уравнения касательных к эллипсу, гиперболе и параболе. Убедимся, что каждая из кривых Е, являющаяся эллипсом, гиперболои или параболой, представляет собой объелииенне графиков лвух функции. Рассмотрим, например, каноническое уравнен ~ив эллипса (6 4) Из этого уравнения следует, что часть эллипса, точки которои имеют неотрицательные ординаты у, есть график функции г,' у=Ь (! — —, при — а<к<а, а з (6 51) а часть эллипса, точки которой имеют неположительные ординаты, есть график функции у = -Ь, 1 — при -а < х < а.
а 2 (6 52) Обращаясь к каноническому уравнению гиперболы (6 9), наидем, что гипербола представляет собой объединение графиков функции ху=Ь ~ —,— 1 и у= — Ь~ —,,— ! при х>а и х< — а, а а- (6.53) а из канонического уравнения параболы (6.15) вытекает, что эта кривая есть объелине- ние графиков функций у =,72рк и у = †.)2рх при х > 0 (бхп) Рассмотрим теперь вопрос о касательных к эллипсу, гиперболе и параболе.
Естественно, что касательные к этим кривым будут также касатезщными к графикам функции (6.51)— (6 54) Вопрос о касательных к графикам функции подробно рассыотрен в вып, 1 настоящего курса (см вып, 1, гл 5, 9 1, и 4). Наидем. например. уравнение касательной к эллипсу в его точке А( (х, у), считая при этому е 0 (пусть ради определенности у > 0) Пусть Х, У вЂ” текущие координаты точки касательнои. Так как ее угловой коэффициент Ь = у', хЬ где у' = — — производная функции (6.51), вычисленная в точке х, то уравнех а ат иие касательнои имеет вид г) у-у=- 'Ь (Х- ) т а 1 —-- з (6 5гт) ') Сьь гл. 5, уравнение (5.! 0) 3 а м е ч а н и е. Знаьгенатель в правой части соотношений (6.48) и (6.50) не обращается в нуль В случае эллипса. когда 0 < е < 1, это очевидно.
Для параболы е = 1, но ф изменяется на интервале(0, 2л), и поэтому ~е соз ф! < 1. В случае гиперболы легко убе- 1 диться, что для ветви (Р, угол ф изменяется на интервале (агссоз †, 2л — агссоз — 1, и е е поэтому произведение е соз ф либо заключено между пулем и единицей, либо отрица! й! тельно. Для ветви )Уз угол ф изменяется на (агссоз — — 71, 2л — агссоз( — ».
Для этих е е» значении ф выражение е соч гр отрицательно. но больше 1 по абсолютнои величине. ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА !П) 6 168 Учитывая, что точка М (х, у) лежит на эллипсе (т.е ее координаты х и у удовлетворяют уравнениям (6 51) и (6 4)), получим после несложных преобразовании уравнение каса- тельнои к эллипсу в следу|оп!ей форме. Хх Уу — ч- — =1 (6 56) Рассуждая аналогично для случая гиперболы и параболы, получим следующие уравне- ния касательных к этим кривьпг Хх Уу лля гиперболы. —, — —,, =1, а- Ь (6 57) для параболы Уу = р(Х эх) (6 58) 3 а меч а и не !.
В предыдущих рассужлениях был исклю ~ен случай у=О. В соответствующих точках эллипса, гиперболы и параболы касательные вертикальны. Легко уоедиться, что уравнения (6 56)-(6.58) справедливы и в этом случае 3 а м е ч а и и е '2. Отметим, что касательная к эллипсу имеет с пим только одну общую точку — точку касания Аналогичным своиством обладают касательные к гиперболе и параболе. 2.
Оптические свойства эллипса, гипер- Е,* М балы и параболы. Установим следующее оппт тическое своиство эллипса лучи света, исходяи!ие из одного фокуга Е, эллинги, после зерЪ ка юного отражения от э шанса проходят эгргз в ~арой фокус (гз (рис. 6 16) Геометричесг ки указанное свойство означает, что отрезки МЕ, и МЕэ образуют с касательной в точке М эллипса равные углы. Допустим,*юо эллипс пе обладает указанным свойством, т.е.а, наг(рис 6 16). Пусть Е; — зеркальное отражение фокуса Е, относительно касательнои К в точке М. Соединим Е, с М и Еэ Так каки, ипз, то точка М" пересечения прямой Е, Ег с касательной К не совпадаег с з оч кон М. Поэтоыу ~Е,М" ~ э ~ЕеМ'~ = ~Е,".Еэ~ < ~Е,М~ ч- ~ ЕэМ ~ =2а (6.59) (а — длина большой полуоси эллипса).
Будем теперь перемещать точку М по касательнои Кот точки М. При таком перемещении сумма ( Е~М ) э !ЕзМ' ) нгограгшчгнио узаличиаагтся В начальный момент перемещения эта сумма, согласно (6.59), была меньше 2а. Поэтому в некотории момент эта сумма будет равна 2а, а это означает, что на касатетьной К, кроме точки М, будет еще олпа точка М* эллипса, отличная от А!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
