В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Аналитическая геометрия (1152752), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Остановимся подробнее на случае, когда уравнение (6.60) эллиптического типа определяет эллипс. При этом мы будем считать, что это уравнение нормировано так, что 1, > О. Координаты (хь, уь) центра этого эллипса представляют собой решение систе- кеивыь втоеого понядкл $5! мы (6.74). Так как новая ось О'х" является одной из главных осей эллипса (это вытекает из того, что в системе О'х "у" уравнение эллипса имеет канонический вид, и поэтому оси координат О'х" и О'у" совпадают с главными осями эллипса (см.
п. ! 6 2 этой главы)), то угол наклона зр этой оси со старой осью Ох может быть найден по формуле (6.79). Наконец, из уравнения (6.82) вытекает, что полуоси эллипса Г:7 )' -7 равны (, и ~,, причем коэффициенты а, и а';, выражаются через коэффициенты ач исходного уравнения (6.60) (см. первую и третью формулы (6.67); при этом нужно положить а, = а;, и азз — — а;,). Итак, зная инварианты и формулы преобразования координат, можно вычислить полуоси эллипса и выяснить его расположение относительно исходной системы координат Оху. 2'.
Линии гиперболического типа (!з < 0). Справедливо следующее утверждение. Теорема 6.7. Уравнение (6.60) линии ! гиперболического типа при 1, е 0 представляет собой гиперболу, а при !з = 0 — пару пересекаю- и(ихся прямвзх. Д о к а з а т е л ь с т в о, Так как для уравнения (6 8!) 1з = а';,а за, то из условия !а < 0 вытекает, что а, и а';, имеют разные знаки. Для определенности будем считать а, > О, а';а < 0 (случай а",, < О, а,';, > 0 рассматривается аналогично).
Тогда уравнение (6.8!) может быть записано следующим образом: (6.86) при 1з — — 0 у =! при 1з>0 (6. 87) Очевидно, уравнение (6.85), отвечающее случаю 1, < О, представляет собой каноническое уравнение гиперболы, для которой ось Оу является действительной осью, а ось Ох — мнимой осью, причем мнимая и действитель- 1з 1з ная полуоси этой гиперболы соответственно равны ~ „ и 1гап 1з ( азз) ~ГЛ 6 180 ЛИПНН ВТОРОГО ПОРЯДКА Уравнение (6.87), отвечающее случаю 1, > О, также представляет собой каноническое уравнение гиперболы, для которой ось Ох является действительной осью, а ось Оу — мнимой осью, причем мнимая и действительная 1з 1з полуоси этой гиперболы соответственно равны '„и ~ 1) 1г ( агв) 'т'1гап Уравнение (6.86), отвечающее случаю 1, = О, можно записать в виде Этому последнему уравнению удовлетворяют лишь координаты точек, расположенных на прямых + =О, — ' =О.
1 1 ' 1 1 з/ап з1 — агг з/аг', х( — а.гг Для завершения доказательства теоремы достаточно заметить, что каждое из уравнений (6.85) — (6.87) эквивалентно исходному уравнению (6.60) соответственно для случаев 1з < О, 1з = О, 1з > О, и поэтому сделанные выше геометрические выводы для уравнений (6.85) — (6.87) справедливы и для уравнения (6.60). Теорема доказана. 3 а м е ч а н н е 6. Остановимся подробнее на случае, когда уравнение (6.60) гиперболического типа определяет гиперболу, т.е. когда 1, ~ О. Координаты (х„, уо) центра этой гиперболы представляют собой решение системы (6.74).
Угол наклона <р оси Ох ' (являющейся либо действительной, либо мнимой осью гиперболы) со старой осью Ох может быть найден по формуле (6.79). Наконец, в процессе доказательства теоремы были указаны величины действительной и мнимой полуосей гиперболы. Их значения вычисляются через 1,, 1,, а, и а",,. Коэффициенты а';, и агг выражаются через коэффициенты ач исходного уравнения (6.60) (см. первую и третью формулы (6.67); при этом нужно положить а",, = а,', и а'.,'., = а;,). Уравнения асимптот гиперболы без труда могут быть найдены по ее каноническим уравнениям (6.85) или (6.87). Итак, зная инварианты и формулы преобразования координат, можно вычислить действительную и мнимую полуоси гиперболы и вьшснить ее расположение относительно исходной системы координат Оху. 6. Упрощение уравнения линии параболического типа (1з = 0).
Классификация линий параболического типа. Заметим, во-первых, что для уравнения (6.60) параболического типа инвариант 1, отличен от г г г нуля. Всамомделе, если1, =ап+а„=О, то1,=ап+агг++2апагг=О, кривыь второ)о порядкл 8 5) 181 11У 52а1зх +2аззУ ьазз = О. 2 (6.88) Дальнейшее упрощение уравнения (6.88) может быть достигнуто путем специального параллельного переноса системы координат Ох'у'.
Пред- варительно перепишем (6.88) в следуюзцей форме: 2 азз а,', У + — ! +2а2зх ч азз — — = О 1, (6.89) Вид уравнения (6.89) подсказывает, как выбрать специальный параллельный перенос системы координат Ох 'у'. Нам нужно, чтобы первое слагае° 2 мое 1, у'+ — "~ в левой части (6.89) имело вид 1,у "2, а остальные слагае- 1 мые сохранили свой вид. Поэтому следует положить у" равным у'+ —, а 23 1, х" равным х'. Итак, перейдем теперь к новой системе координат, полу- ченной путем следующего параллельного переноса: х" =х', у" = у'+ — '. (6.90) ) 12сли ой но, из —— О, то 11 — — ой и вместо уравнения 1688) мы получим уравнение бх 2 е 2о(зх'+аззУ'аозт —— О, котоРое пУтем изыенеииа обозначений х' на У', У' на х', о(з иа озз и озз иа о~з пеРеходит в УРавнение (6.88).
аыз а22 2 т.е. а„азз = — — — †. Так как?2=апазз — аы — — О, то, используя толь- 2 2 ко что полученное выражение для апазз, найдем, что — — — — = аш, ай аз. 2 2 откуда следует, что ап = азз — — ам — — О. Но, по предположению, по крайней мере один из коэффициентов ам, аз„а,з отличен от нуля. Итак, 1 ~ О. Произведем стандартное упрощение уравнения (6.60): 1) если а,з = О, то оставим систему координат Оху неизменной и изменим лишь обозначение х на х', у на у', а„на а,',; 2) если ам ~ О, то перейдем к повернутой системе координат Ох 'у ', вычисляя угол поворота по формуле (6.?9) и используя при этом формулы (6.67).
В обоих указанных случаях уравнение (6 60) примет вид (6 80). Так как для уравнения (6 80) 1, = а;, + а;2, 12 = а,', азм то из условия 1, ~ О, 12 — — 0 вытекает, что один из коэффициентов а;, и а;2 равен нулю, а другой не равен нулю. Для определенности будем считать а,', =О, а(2 ~0 (случай а,', ~0, азз = 0 рассматривается аналогично). При этом предположении 1, = азз, так как 1, = а;, -ь а;2 Итак, уравнение линии (6.60) параболического типа после стандартного упрощения может быть записано в следующей форме '): линии второго порядкд Введем обозначения а,з агз = аг'3, азз = азз — =' 1, В силу соотношений (6.89), (6.90) и (6.91) уравнение линии Г. параболического типа в новой системе координат О "х "у" примет вид Ггу +2агзх +азз =О.
(6.92) О О а, 0 1, 0 = — Г,аг»з~. а,з 0 азз 13 —— (6.93) Так какГ, «еО, то при Гз~О и а",,~0, если жеГз=О, то ив",а=О. Используя этот вывод, мы можем записать уравнение (6.92) следующим образом: при Гз~О (т.е, при а змО) Г,у" + 2а,'з х" +, ~ = О, 2агз ) (6.94) при Гз=О (т.е, при а",з=О) Ггу ч азз — О. (6.95) Очевидно, уравнение (6.94), отвечающее случаю Гз -— О, представляет собой параболу. Чтобы убедиться в этом, совершим следующий парал- лельный перенос системы координат: 2а,"з (6.96) и введем обозначение р = 1 а 1'з Г'Гг ! Тогда вместо (6.94) мы получим уравнение У' = 2рХ или У' = — 2рХ, которое является каноническим уравнением параболы.
) Термин «мнимые параллельные прямые» будет раз вяснен в процессе доказательства Докажем теперь следующее утверждение. Теорема б.8. Уравнение (6.60) линии Г. параболического типа при Гз ~ 0 представляет собой параболу, а при Гз = 0 — либо пару параллвльньгх действительных прямых (которые могут быть слившимися), либо пару мнимых параллельных прямых '). Д о к а з а т е л ь с т в о. Выясним вопрос о связи между величинами а з и Г,. Для уравнения (6.92) имеем кривыь второ(о порядкл Уравнение (6.95), отвечающее случаю!з — — О, может быть записано так: у = пззггг. (6.98) Если — атзгг!г > О, то уравнение (6.98) представляет собой пару параллельных пРЯмых: У" =,/ — азз)(г и У" = —,~ — азиз!)г; если -а'з(!, =О, то (6.98) представляет собой ось Ох", уравнение которой у" = 0 (это уравнение можно рассматривать как предельный случай при азз -э О, т.е.
как пару слившихся прямых). Если, наконец, — а;;,(I, < О, то уравнению (6.98) не удовлетворяют координаты никакой точки плоскости, т.е. геометрический образ является мнимым, Обычно говорят, что в последнем случае уравнение (6.98) определяет пару мнимгнх парпллельньлх прямых. Теорема доказана. 3 а меча н и е 7.
Для случая!змО, когда уравнение (6.60) параболического типа определяет параболу, читатель без труда найдет параметр р этой параболы и ее расположение относительно исходной координатной системы Оху. Для этого нужно использовать переход от уравнений (6 60) к уравнению (6 88), описанный в начале этого пункта, и формулы (6.90), (6.9! ), (6.96), (6.97). 7. Распадающиеся кривые второго порадка.
Линию ь' второго порядка, определяемую уравнением (6 60). будем называть раснадаюи(вйся, если левая часть этого уравпения может быть представлена в зиле произведения лвух многочленов первой степени. Очевидно, если в даннои декартовои прямоугольнои системе координат линия ь является распадающеися, то она будет распадающеися в любой другои декартовои п рямоугольпой системе коорлинат, при преобразовании координат многочлен первои степени остается многочленом первой степени и каждыи многочлен-сомножнтель преобразуется независимо от других сомножителеи. Это своиство многочленов позволяет сформулировать пеобхолимое и достаточное условие распадения крнвои второго порядка.
Теорема б.р. х(ля того чтобы шнил й второго порядка был раллпадающейл:лл, необходимо и достаточно обращение в нуль инварианта )з Дока з а тел ьс т во. Мы доказали (см, теоремы 6.6-6.8), по уравнение любой линии 6 второго порядка может быть приведено к одному нз видов (6 82)-(6 87), (6.94) и (6.95) Распадающимися среди этих линии являются лишь те, для которых 6 = 0 и, наоборот, если !з = О, то уравнение линии привопится к виду, из которого, очевидно, следует свойство распадения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
