В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Аналитическая геометрия (1152752), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Иными словами, в слое между плоскостями г = — с и г = с не содержится точек рассматриваемой поверхности; в силу симметрии относительно плоскости Оху она состоит из двух полостеи, расположенных вне указанного выше слоя. ') При ) А ( < с полнаренное выражение в формулах (7.41) отрицательно. двуполостного гиперболоида вытекает, что координатные плоскости являются его плоскостями симметрии, а начало координат — его Иентром симметрии. Линии ?.а пересечения двуполостного гиперболоида плоскостями г = Ь представляют собой эллипсы, уравнения проекций которых на плоскость Оху имеют вид повегх! юсти ВТОРОГО !югядкА На рис.
7.5 изображена экартаь верхней полости двуполостного гиперболоида. Из формул (7.41) следует, что при увеличении и эллипсы (7.40) неограниченно увеличиваются, так что полости двуполостного гиперболоида представляют собой бесконечные чаши. На рис.
7.6 изображен двуполостный гиперболоид. Отметим, что сечения двуполостного гиперболоида плоскостями Оуг и Охг представляют собой гиперболы (см. рис. 7.6). 3. Параболоиды. 1'. Эллиптический параболоид Обращаясь к каноническому уравнению (7.28) эллиптического параболоида х д 2 у2' (7.28) Рис. 7.5 Рис 7б х у + =1 (7.42) где а"=а Й, Ьс=б Й.
(7.43) Из формулы (7АЗ) следует, что при увеличении гс эллипсы (7.42) неограниченно увеличиваются, так что эллиптический параболоид представляет собой бесконечную чашу. На рис, 7.7 изображен эллиптический параболоид. мы видим, что для него Охз и Оуг являются плоскостями симметрии. Ось Ог, представляющая линию пересечения этих плоскостей, называется осью эллиптического параболоида. Из уравнения (7 28) вытекает, что эллиптический параболоид расположен в полупространстве г > О. Линии ! „пересечения эллиптического параболоида плоскостями г = и, и > О, представляют собой эллипсы, проекции 2'.*„Которых на плоскости Оху определяются уравнением исслвдовлиик еоимы поввихиостви втоиого погадка шэ уз! Обратимся к сечениям эллиптического параболоида плоскостями у = Й и х = Ь, параллельными соответственно координатным плоскостям Охг и Оуг. Плоскость х = Ь, например, пересекает эллиптический параболоид по параболе Ь2 2 з — —, а (7.44) Очевидно, парабола (7.44) получается таким параллельным переносом параболы г =у~/Ь~, х=О, (7.45) х у з = — —— а Ь (7.29) гиперболического параболоида вытекает, что плоскости Охг и Оуг являются плоскостями симметрии.
Ось Ог называется осью гиперболического параболоида. Линии г =Ь пересечения гиперболического параболоида с плоскостями г = 6 представляют собой при Ь > 0 гиперболы х у — =! а*э (7.46) с полуосями а=а lЬ, Ь*=ЬЛ (7.47) а при Ь < 0 — сопряженные гиперболы для гипербол (7.4б) х у ам Ьи (7.48) с полуосями а* = а / — Ь, Ь" = Ь чс — Ь. (7.49) представляющей собой сечение эллиптического параболоида плоскостью х = О, при котором ее вершина, имеющая координаты (О, О, О), переходит в точку с координатами (х = Ь, у = О, г = Ь~/а ). Иными словами, эллиптический параболоид образуется путем параллельного перемещения параболы (7.45), когда ее вершина движется вдоль параболы з а г=х /а, у =О, представляющей собой сечение эллиптического параболоида плоскостью у = О. Совершенно аналогично можно убедиться в том, что эллиптический параболоид может быть получен путем параллельного перемещения параболы, представляющей собой сечение параболоида плоскостью у = 0 вдоль сечения плоскостью х = О.
2'. Гиперболический параболоид. Из канонического уравнения (7.29) 200 ПОВЕРХности ВТОРОГО ООРЯДКА Используя формулы (7.46) — (7.49), легко построить «карту» гиперболического параболоида (рис. 7.8). Отметим еще, что плоскость г = 0 пересекает гиперболический параболоид по двум прямым: Ь у = + — х.
а Из формул (7.47) и (7.49) вьиекает, что прямые (7.50) являются асимптотами гипербол (7.46) и (7.48). Карта гиперболического параболоида дает представление о его пространственной форме (рис. 7.9). Как н в случае эллиптического параболоида, можно убедиться в том, что гиперболический параболоид может быть получен путем параллельного перемещения параболы, представляющей собой сечение плоскостью Охг (Оуг), когда ее вершина движется вдоль параболы, являющейся сечением параболоида плоскостью Оуг (Охг). Рис. 7.9 Рис. 7.З 4.
Конус и цилиндры второго порядка. 1'. Конус второго порядка. В предыдущем параграфе мы назвали вещественным конусом второго порядка поверхность 5, определяемую уравнением (7.21): ха — -~ — — — = О. а Ь с Убедимся, что вещественный конус 5 образован прямыми линиями, проходяи(ими через начало О координат, Естественно называть точку О вершинои конуса. Для доказательства сформулированного утверждения, очевидно, достаточно установить, что прямая ь, соединяющая произвольную, отличную от начала координат точку Мс(хо, уе, ге) конуса (7.21) и начало координат О (рис. 7.10), целиком располагается на конусе, т.е.
ко- исследОВАник ФОРмы пОВВРхностви ВТОРОго пОРядкА 20! ез! ординаты 1х, у, з) любой точки М прямой ь удовлетворяют уравнению 17.21). Так как точка Мо1хо, уо, го) лежит на конусе (7.21), то г — + — — — = О. хо уо зо 17.51) г ! 2 г Координаты 1х, у, з) любой точки М прямой й равны соответственно )хо, )уо, !го, где !— некоторое число. Подставляя эти значения для х, у и г в левую часть 17.21), вынося ! за скобки и учитывая (7.51), мы убедимся в том, что М лежит на конусе.
Таким образом, утверждение доказано. Представление о форме конуса может быть получено методом сечений. Легко убедиться, что сечения конуса плоскостями г = Ь представляют собой эллипсы с а „. Ь полуосями а* = — Ь, Ь"' = — Ь. с с 2'. Ци гиндрь! второго порядка, В проРис. 7 )О цессе классификации поверхностей второго порядка нам встретились эллиптический, гиперболический и параболический цилиндры. Уравнения этих поверхностей соответственно имеют вид )',2) уо зо) х у — + — =1, а Ь г — — — =1, у =2рх ). х у Ьг (7.52) Рисунок 7.11 дает представление о форме этих цилиндров.
Эллиптический цилиндр Гиперболический цилиндр Параболический цилиндр Рис. 7.! ! ') Уравнение параболического цилиндра у = 2рх легко получается из уравнения (7 33) путем переименования осеи координат и простых арифметических операний. 202 ПОВЕРХ1ЮСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 1ГЛ. 7 Заметим, что цилиндры (7.52) состоят из прямых линий, параллельных оси Оа.
5. Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка. Кроме конуса и цилиндров, поверхностями второго порядка, состоягцими из прямолинейных образующих, являются однополостный гиперболоид и гиперболический параболоид. Более точно, справедливо следующее утверждение. г)ерез каждую точку однополостного гиперболоида и гиперболического параболоида проходят две разлииньге прямые линии, целиком располагающиеся на указанньгх поверхностях. Таким образом, однополостный гиперболоид и гиперболический параболоид покрыты двумя различньгми семействами прямолинейных образующих. На рисунках 7.12 и 7.13 показано расположение прямолинейных образующих соответственно на однополостном гиперболоиде и гиперболическом параболоиде. Рис 7 13 Рис.
7.12 Рассмотрим сначала однополостный гиперболоид, заданный своим каноническим уравнением з х у г а' Ьа с- Очевидно, любая прямая Рм определяемая как линия пересечения плоскостей 17. 53) при любом отличном от нуля значении ). целиком располагается на гиперболоиде (7.19), ибо уравнение 17.19) представляет собой алгебраи- исследование еоямы повгвхностви втогого погядкл % з! аоз ческое следствие уравнений (7.53)(уравнение(7.19) получается из ураву х г пений (7.53) путем их перемножения). Прямая Г: 1 — — ' = О, — + — = 0 Ь а с соответствует уравнениям (7.53) при Х = ж.
Точно так же легко убедиться, что любая прямая Гм определяемая как линия пересечения плоскостей — ' — — =). 1+ —, ). — +- =! — —, куда включается прямая Г ': 1+ — = О, — + — = О, соответствующая у х г Ь а с ) = оо, при любом значении Х располагается на гиперболоиде (7.19). Нетрудно заметить, что прямые Гх и Г~ различны. Таким образом, на однополостном гиперболоиде имеются два различных семейства прямых Гх и Гм Для завершения доказательства утверждения достаточно убедиться, что через любую точку гиперболоида проходит некоторая прямая семейства Гх и некоторая прямая семейства Гм Мы ограничимся доказательством этого лишь для семейства Гх, ибо для семейства Гх доказательство аналогично. Пусть точка Мо(хм уо, го) находится на гиперболоиде (7.20), так что уо ао о о а Ь с (7.54) Если точка Мо лежит на прямой Г или Го, то утверждение очевидно. В противном случае выберем такое значение Х, чтобы числа хо, уо, го удовлетворяли первому из уравнений (7.53), и обозначим его через )чо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
