В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Аналитическая геометрия (1152752), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Таким образом, хо хо ) 1 уо (7.55) ~о+во 1 „уо (7.56) Перемножая (7.55) и (7.56), получим неравенство 2 хо ао уо — — — „~1 — —, а с Ьо Убедимся, что при выбранном значении ). = Хд числа хо, уо, го удовлетво- ряют и второму из уравнений (7.53), что означает, что точка Мо(хо, уо, го), принадлежащая гиперболоиду, принадлежит также и прямой (7.53). Допустим, что это не так. Тогда 204 ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОП> ПОРЯДКА ~гл 7 которое противоречит соотношению (7.54).
Таким образом, прямая Г, располагается на гиперболоиде и проходит через заданную его точку Мо(хо уо ао). Совершенно аналогично рассуждая, можно убедиться, что гипербох у лический параболоид а = —, — — покрыт двумя семействами прямых а- Ь~ Пх и Пм котоРые соответственно заДаютсЯ УРавнениЯми (х у) х у а=) — ч- —, А ~а Ь7~ а Ь 7х у) х у г =). ~ — — — ~, 7. = — 4- —, где Ае( — ОО, СО). а Ь а Ь ПРИЛОЖЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ ОСНОВАНИЙ ГЕОМЕТРИИ И ОБОСНОВАНИЯ МЕТОДА КООРДИНАТ ф 1. Аксиомы элементарной геометрии Будем рассматривать три множества объектов любой природы: объекты первого множества будем именовать точками и обозначать большими латинскими буквами А, В, С, ..., объекты второго множества будем именовать прямыми и обозначать малыми латинскими буквами а, Ь, с, ..., объекты третьего множества будем именовать плоскостями и обозначать греческими буквами и, !з, у, ...
Будем считать, что в рассматриваемых множествах каким-либо способом определены с о о т н о ш е н и я между объектами, выражаемые тремя терминами: принадлежит, лежит между и конгруэнтен '). Например, точка А принадлежит прямой а или плоскости а; точка В, принадлежащая прямой а, лежит между принадлежащими той же прямой точками А и С; отрезок прямой а, ограниченный принадлежащими этой прямой точками А и В, конгруэнтен отрезку прямой Ь, ограниченному принадлежащими этой прямой точками С и В.
Будем требовать, чтобы указанные соотношения удовлетворяли формулируемым ниже двадцати аксиомам ). Все аксиомы разделяются на пять групп. Группа 1 содержит восемь аксиом принадлежности. Группа!1 содержит четыре аксиомы порядка. Группа 111 содержит пять аксиом конгруэнтности. Группа!Ч содержит две аксиомы непрерывности. Группа Ъ' содержит одну аксиому параллельности.
Переходим к формулировке аксиом по группам. Одновременно будем указывать некоторые утверждения, вытекающие из формулируемых аксиом. Это поможет нам выяснить основные принципы логического развертывания геометрии и обосновать возможность установления взаимно однозначного соответствия между множеством всех точек прямой и множеством всех вещественных чисел, т.е. обосновать метод координат. 1.
Аксиомы принадлежности. 1,!. Каковы бы ни были две точки А и В, суитествует прямая а, которой принадлежат обе эти точки. ) То есть «равен«, ) Во всем остальном как при роли самих объектов, так и способ залаоия соотношений межлу этими объектами являются произвольными. НРИЛОЖВ1ИЕ ПРОБЛЕМЫ ОС1ЮВАНИИ ГЕОМЕТРИИ 206 1, 2. Каковы бьт ни были две различньге точки А и В, существует не более одном прямой, которой принадлежат эти точки. 1, 3. Каждой прямои а принадлежат по крайней мере две точки. Существуют по крайней мере три точки, не принадлежащие одной прямой. Указанные три аксиомы исчерпывают список аксиом принадлежности планиметрии.
Следующие пять аксиом вместе с указанными тремя аксиомами завершают список аксиом принадлежности стереометрии. 1, 4. Каковы бы ни были три точки А, В и С, не принадлежащие одной прямой, существует плоскость се, которой принадлежат эти три точки. Каждой плоскости принадлежит хотя бы одна точка. 1, 5.
Каковы бы ни были три точки А, В и С, не принадлежащие одной прямой, существует не более одной плоскости, которой принадлежат эти точки. 1, 6. Если две принадлежащие прямой а различньге точки А и В принадлежат некоторои плоскости а, то каждая принадлежащая прямой а точка принадлежит указанной плоскости.
1, 7. Если существует одна точка А, принадлежащая двум плоскостям а и )), то существует по крайней мере еще одна точка В, принадлежащая этим плоскостям. 1, 8. Существуют по крайней мере четыре точки, не принадлежащие одной плоскости. С целью использования привычной для нас геометрической терминологии договоримся отождествлять между собой следующие выражения: 1) «точка А принадлежит прямой а (плоскости ся)»; 2) «прямая а (плоскость 1х) проходит через точки Агн 3) «точка А лежит на прямой а (на плоскости 1х)»; 4) «точка А является точкой прямой а (плоскости а)» и т.п. С помощью указанных аксиом уже могут быть докззаны некоторые теоремы.
Так, из аксиомы 1, 2 непосредственно вытекает следующее утверждение. Теорема 1. Две различные прямые не могут иметь болыие одной оби(ей точки. Предоставляем читателю доказательство следующих утверждений, вытекающих из аксиом 1, 1 — 8 '). Теорема 2. Две плоскости либо совсем не имеют общих точек, либо имеют общую прямую, на которой лежат все их общие точки. Теорема 3. Плоскость и не лежащая на ней прямая не могут иметь болыие одной общей точки. Теорема 4.
Через прямую и не лежащую на ней точку и ги через две различные прямые с общей точкой проходит одна и только одна плоскость. ) В случае возникновения затруднений отсылаем чигатела к книге Н В Ефимова «Высшая геометрия» — М Наука, Г978 рбт д г) ЛКСИОМЫ ЭЛЕМЕИТЛРНОИ ГЕОМЕТРИИ Теорема 5. Каждая плоскость содержит по крайней мере три точки. 2. Аксиомы порядка.
11, 1. Если точка В прямой а лежит между точками А и С той же прямой, то А, В и С вЂ” различные точки указанной прямой, причем В лежит также и между С и А. 11, 2. Каковы бы ни были две различньге точки А и С, на определяемой иии прямой существует по крайней мере одна точка В такая, что С лежит между А и В. П, 3. Среди любьгх трех различньгх точек одной прямой существует не более одной точки, лежащей между двумя другими. Сформулированные три аксиомы относятся к расположению геометрических объектов на прямой и поэтому называются»гинейными аксиомами порядка. Формулируемая ниже последняя аксиома порядка относится к расположению геометрических объектов на п л о с к о с т и, Для того чтобы сформулировать эту аксиому, введем понятие отрезка.
Пару различных точек А и В назовем отрезком и будем обозначать символом АВ или ВА. Точки А и В будем называть конг)ами отрезка АВ. Точки прямой, определяемой А и В, лежащие между А и В, будем называть внутренними точками или просто точками отрезка АВ. Остальные точки указанной прямой будем называть внешними точками отрезка АВ. 11, 4 (аксиома Паша). Если А, В и С вЂ” три точки, не лежащие на одной прямои, и а — некоторая прямая в плоскости, определяемой этими точками, не содержащая ни одной из указанных точек и проходящая через некоторую точку отрезка АВ, то эта прямая проходит также,гибо через некоторую точку отрезка АС, либо через некоторую точку отрезка ВС. Подчеркнем, что из одних аксиом порядка П, 1-4 еще не вытекает, что любой отрезок имеет внутренние точки.
Однако, привлекая еще аксиомы принадлежности 1, 1 — 3, можно доказать следующее утверждение. Теорема 6. Каковы бы ни бьгли две различньге точки А и В, на прямой, ими определяемой, существует по крайней мере одна точка С, лежащая между А и В. Предлагаем читателю, опираясь на аксиомы 1, 1-8 принадлежности и аксиомы 11, 1-4 порядка, последовательно доказать следующие утверждения ). Теорема 7. Среди любых трех различных точек одной прямой всегда существует одна точка, лежащая между двумя другими.
Теорема 8. Ес ги точки А, В и С не принадлежат одной прямой и если некоторая прямая а пересекает д) какие-либо два из отрезков ) Впрочем, доказательство всех приводимых ниже утверждении можно нанти в книге Н В Е ф и м о в а «Высшая геометрия» (см сноску на с 206) г ) Под термином «прямая пересекает гпрезок» мы подразумеваем, что указанная прямая содержит некоторую внутреннюю точку этого отрезка ЕОЕ ПРИЛОЖВ1ИС ПРОБЛЕМЫ ОСНОВАНИИ ГЕОМЕТРИИ АВ, ВС и АС, то эта прямая не пересекает третий из указаннь1х отрезков. Теорема 9.
Если В лежит на отрезке АС и С вЂ” на отрезке В0, то В и С лежат на отрезке А0. Теорема 10. Если С лежит на отрезке А0, а  — на отрезке АС, то В лежит также на отрезке А0, а С вЂ” на отрезке В0. Теорема 11. Между любыми двумя различными точками прямой существует бесконечно много других ее точек. Теорема 12. Пусть каждая из точек С и 0 лежит между точками А и В. Тогда если М лежит между С и О, то Мггежит и между А и В. Теорема 12.
Если точки С и 0 лежат между точками А и В, то все точки отрезка С0 принадлежат отрезку АВ (в этом случае мы будем говорить, что отрезок С0 лежит внутри отрезка АВ). Теорема 14. Если точка С лежит между точками А и В, то: 1) никакая точка отрезка АС не может быть точкой отрезка СВ, 2) каждая отличная от С точка отрезка АВ принадлежит либо отрезку АС, либо отрезку СВ. Указанные утверждения позволяют упорядочить множество точек любой прямой и выбрать на этой прямой направление. Будем говорить, что две различные точки А и В прямой а лежат по разнь1е стороны (по одну сторону) от третьей точки О той же прямой, если точка О лежит (не лежит) между А и В. Из указанных выше утвержлений вытекает следующая теорема.
Теорема!б. Произвольная точка О каждой прямой а разбивает все остальные точки этой прямой на деа непустых класса так, что любь1е дее точки прямой а, принадлежащие одному и тому же классу, лежат по одну сторону от О, а любые дее точки, принадлежащие разным классам, лежат по разные стороны от О.
Таким образом, задание на любой прямой двух различных точек О и Е определяет на этой прямой луч или полупрямую ОЕ, обладающую тем свойством, что любая ее точка и точка Е лежат по одну сторону от О. Выбрав на прямой а две различные точки О и Е, мы можем теперь определить порядок следования точек на прямой по следующему правилу: 1) если А и  — любые точки луча ОЕ, то будем говорить, что А предшествует В, если А лежит между О и В; 2) будем говорить, что точка О предшествует любой точке луча ОЕ; 3) будем говорить, что любая точка, не принадлежащая лучу ОЕ, предшествует как точке О, так и любой точке, принадлежащей лучу ОЕ; 4) если А и  — любые точки, не принадлежащие лучу ОЕ, то мы будем говорить, что А предшествует В, если В лежит между А и О. Легко проверить, что для выбранного порядка следования точек прямой а справедливо свойство тра из итиености: если А предшествует В, а В предшествует С, то А преди1естеует С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
