В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Аналитическая геометрия (1152752), страница 43
Текст из файла (страница 43)
ЛКСИОМЫ ЭЛЕМЕНТЛРНОИ ГЕОМЕТРИИ Аксиомы, приведенные выше, позволяют упорядочить и точки, принадлежащие произвольной плоскости а. Предлагаем читателю доказать следующее утверждение ). Теорема 16. Каждая прямая а, принадлежащая плоскости а, разделяет не лежащие на ней точки этой плоскости на два непустых класса так, что любые две точки А и В из разных классов определяют отрезок АВ, содержащий точку прямой а, а любтяе две точки А и Л' из одного класса определяют отрезок АА', внутри которого не лежит ни одна точка прямой а. В соответствии с утверждением этой теоремы мы будем говорить, что точки А и А' (одного класса) лежат в плоскости а по одну сторону от прямой а, а точки А и В (разных классов) лежат в плоскости а по разные стороны от прямой а. 3.
Аксиомы конгруэнтности. 111, 1. Если А и  — две точки на прямои а, А' — точка на тои же прямой или на другой прямой а', то по данную от точки А' сторону прямой а' найдется, и притом только одна, точка В' такая, что отрезок А'В' конгруэнтен отрезку АВ. Каждый отрезок АВ конгруэнтен отрезку ВА ). 111, 2. Если отрезки А 'В' и А "В" конгруэнтньт одному и тому же отрезку АВ, то они конгру энтны и между собой.
111, 3. Пусть АВ и ВС вЂ” два отрезка прямой а, не имеющие общих внутренних точек, А'В' и В'С' — два отрезка той же прямой или другой прямой а ', также не имеющие общих внутренних точек. Тогда, если отрезок АВ конгруэнтен отрезку А'В', а отрезок ВС конгруэнтен отрезку В'С', то отрезок ЛС конгруэнтен отрезку А'С'. Сформулированные три аксиомы относятся к конгруэнтности отрезков. Для формулировки двух следующих аксиом нам понадобится понятие угла и его внутренних точек. Пара полупрямых й и й, выходящих из одной и той же точки О и не лежащих на одной прямой, называется углом и обозначается символом к(п, lт) или к(й, Й). Если полупрямые й и )т задаются двумя своими точками ОА и ОВ, то мы будем обозначать угол символом АЛОВ или кВОА. В силу теоремы 4 любые два луча гт и й, составляющие угол л(г«, й), определяют, и притом единственную, плоскость а.
) В случае затруинений см. книгу И,В. Г ф и м о в а «Высшая геометрия» гсм, сноску на с 206). т) Из этои аксиомы вытекает возможность перемещения отрезка ЛВ вдоль прямои, на которой ои лежит Гс сокранениел«его алины и направления). Ьулем говорить, оо поправленный отрезок С0 получен в разу,тьжепте перемещения непронзенного омрезко ЛВ, сслн отрезок С0 конгруэнтен отрезку ЛВ и если либо отрезок Л0 лежит внутри отрезка ВС.
либо отрезок ВС лежит внутри отрезка Л0 шо пеиложвниг. пгоьлвмы основянии гвомш гни Внутренними точками ~(Ь, й) будем называть те точки плоскости сь которые, во-первых, лежат по ту сторону от прямой, содержащей луч и, что и любая точка луча я, и, во-вторых, лежат по ту сторону от прямой, содержащей луч й, что и любая точка луча й. 111, 4. Пусть даны ~(К я) на плоскости а, арямая а' на этой же или на какой-либо другой плоскости а' и задана определенная сторона плоскости а' относительно прямой а'.
Пусть и' — луч арямой а', исходящий из некоторой точки О'. Тогда на плоскости а' существует один и только один луч й' такои', что ~(й, й) конгруэнтен ~(Й', и'), и при этом все внутренние точки ~(6', я') лежат по заданную сторону от прямой а '. Каждый угол конгруэнтен самому себе. 111, 5. Пусть А, В и С вЂ” три точки, не лежащие на одной прямой, А', В' и С' — другие три почки, пакже не лежащие на одной прямой. Тогда, если отрезок АВ конгруэнтен отрезку Л'В', отрезок АС конгруэнтен отрезку А 'С' и гВАС конгруэнтен хВ А 'С', то кАВС конгруэнтен кА'В'С' и ПАСВ конгруэнтен кА'С'В'. Договоримся теперь о сравнении неконгруэнтных отрезков и углов.
Будем говорить, что отрезок ЛВ больше отрезка А'В', если на прямой, определяемой точками А и В, найдется лежащая между этими точками точка С такая, что отрезок АС конгруэнтен отрезку А'В'. Будем говорить, что отрезок АВ меньше отрезка А 'В', если отрезок А 'В' больше отрезка АВ. Тот факт, что отрезок АВ меньше отрезка А'В' (конгруэнтен отрез- ку Л'В'), символически будем записывать так: АВ<А'В' (АВ=А'В').
Будем говорить, что кЛОВ б о л ь ш е кЛ'О'В', если в плоскости, определяемой кАОВ, найдется луч ОС, все точки которого являются внутренними точками г.АОВ, такой, что кАОС конгруэнтен кА'О'В'. Будем говорить, что гАОВ меньше кА'О'В', если кЛ'О'В' больше АЛОВ. С помощью аксиом принадлежности, порядка и конгруэнтности можно доказать целый ряд классических теорем элементарной геометрии. Сюда относятся: 1) три широко известные теоремы о конгруэнтности (равенстве) двух треугольников; 2) теорема о конгруэнтности вертикальных углов; 3) теорема о конгруэнтности всех прямых углов; 4) теорема о единственности перпендикуляра, опущенного из точки на прямую; 5) теорема о единственности перпендикуляра, восстановленного из данной точки прямой; 6) теорема о внешнем угле треугольника; 7) теорема о сравнении перпендикуляра и наклонной.
Предлагаем читателю самому последовательно доказать только что перечисленные теоремы. ЛКСИОМЫ ЭЛЕМЕНТЛРНОИ ГЕОМЕТРИИ 2!! 4. Аксиомы непрерывности. С помощью аксиом принадлежности, порядка и конгруэнтности мы произвели сравнение отрезков, позволяюгцее заключить, каким из трех знаков <, = или > связаны данные два отрезка. Указанных аксиом, однако, недостаточно: 1) для обоснования возможности измерения отрезков, позволяющего поставить в соответствие каждому отрезку определенное вещественное число; 2) для обоснования того, что указанное соответствие является взаимно однозначным.
Для проведения такого обоснования следует присоединить к аксиомам 1, 11,!!! две аксиомы непрерывности. 1Ч, ! (аксиома Архимеда). Пусть АВ и С!) — произвольные отрезки. Тогда на прямой, определяемой точками А и В, существует конечное число точек А О А,,, А«, расположенных так, что точка А, лежит между А и А,, точка Аз лежит между А, и Аь ..., точка А„, лежит между А» а иА„, причем отрезки ААИА А„...,А„,А«конгруэнтны отрезку СТ) и точка В лежит между А и А„.
1Ч, 2 (аксиома линейной полноты). Совокупность всех точек произвольной' прямой а нельзя пополнить новыми обьектами (точками) так, чтобы: 1) на пополненной прямой были определены соотнои»ения «лежит между» и «конгруэнтенгп определен порядок следования точек и спраеедлиеГя аксиомы конгруэнтности 111, 1-3 и аксиома Архимеда!Ч, 1; 2) по отногиению к прежним точкам прямой определенные на пополненной прямой соотнои»ения «лежит между» и «конгруэнтен» сохраняли старый смысл. Мы сейчас докажем, что присоединение к аксиомам 1, 1 — 3, 11 и!11, ! — 3 аксиомы Архимеда 1Ч, ! позволяет поставить в соответствие каждой точке произвольной прямой а определенное вещественное число х, называемое координатой этой точки, а присоединение еще и аксиомы линейной полноты 1Ч, 2 позволяет утверждать, что координаты всех точек прямой а исчерпывают множество всех вещественных чисел.
5. Обоснование метода координат. Прервем на время изложение аксиом геометрии, чтобы на основании уже изложенных аксиом дать обоснование метода координат на прямой. Сначала докажем следующее утверждение. Первая основная теорема. Аксиомы 1, 1 — 3, 11, 111, 1 — 3 и аксиома 1Ч, ! Архимеда позволяют ввести на любой прямои а координаты так, что выполнены следующие требования: 1'. Каждой точке М прямой а соответствует определенное вещественное число х, называемое ее координатой. 2'. Разным точкам соответствуют разные координаты, причем точка Мз лежит между М, и Мз тогда и только тогда, когда либо х, < хз < хз, либо х1 > х1 > хз (здесь хп х, и хз — координаты точек Ми Мз и Мт соответственно).
ИРиложш1иг ИРОБлемы Основании 1'еометРии 212 3'. Отрезки М,МЕ и М1М1 конгруэнтны тогда и только тогда, когда х, — х1 — — хз — х; (здесь хи хм х', и хз — кооРдинаты точек Ми Мл М; и М~ соответственно). 4'. Если вещественные числа х, и х, представляют собой координать1 некоторых точек, то и вещественное число х, + х, представляет собой координату некоторой точки. Д о к а з а т е л ь с т в о.
Выберем на прямой а произвольную точку О в качестве начала координат и произвольную отличную от О точку Е в качестве точки с координатой единица. Пусть М вЂ” произвольная точка прямой а. Ради определенности предположим, что М лежит с той же стороны от О, что и Е (аксиомы 1, 1 — 3, П и 1!1, 1 — 3 обеспечивают возможность установления порядка следования точек на прямой а). Каковы бы ни были целое положительное число и и целое неотрицательное число т, мы можем, откладывая отрезок ОМ в одном н том же направлении последовательно и раз, построить отрезок и ОМ и аналогично построить отрезок т ° ОЕ (возможность откладывать конгруэнтный отрезок в любом направлении и брать сумму конгруэнтных отрезков, не имеющих общих внутренних точек, вытекает из аксиом 1, 1 — 3, 11 и 111, 1 — 3).
В силу только что упомянутых аксиом любые два отрезка мы можем сравнивать. Стало быть, и отрезки и . ОМ и т ОЕ при различных и и т будут связаны либо знаком <, либо знаком >. Рассмотрим все возможные рациональные числа т/и. Их можно разбить на два класса, относя к верхнему классу те из ннх, для которых и ° ОМ < т ° ОЕ, (П.1) и к нижнему классу те, для которых и ОМ >т ОЕ.
(П.2) Убедимся в том, что эти два класса однозначно определяют вещественное число х, которое мы и поставим в соответствие точке М н назовем ее координатой. Сначала убедимся в том, что любое рациональное число из верхнего класса болыие любого рационального числа из нижнего класса. Приводя, любые два рациональных числа из разных классов к общему знаменателю и обозначая последний через и, мы из (П. !) и (П.2) получим, что числитель числа из верхнего класса больше числителя числа из нижнего класса.
Отсюда и вытекает, что число нз верхнего класса больше числа из нижнего класса. Далее заметим, что оба класса не являются пустыми: нижнему классу заведомо принадлежит рациональное число нуль, а для установления непустоты верхнего класса достаточно положить и = 1 и заметить, что аксиома Архимеда 1У, 1 гарантирует существование такого натурального числа т, что при и = 1 справедливо неравенство (П.1). 213 ЛКСИОМЫ ЭЛЕМЕНТЛРНОИ ГЕОМЕТРИИ В силу теоремы о точных гранях непустого ограниченного сверху (снизу) множества ) существует точная верхняя грань х рациональных чисел нижнего класса и точная нижняя грань х рациональных чисел верхнего класса. Убедимся в том, что эти грани х и х заключены между как угодно близкими рациона гьными числами и поэтому совпадают.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
