В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Аналитическая геометрия (1152752), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Очевидно, инвариантность величин 1ь 12, 12 достаточно доказать отдельно для параллельного переноса системы координат и для поворота. Рассмотрим сначала параллельный перенос системы координат.Мы установили в 1' предыдущего пункта, что при этом преобразовании координат коэффициенты группы старших членов не изменяются. Поэтому не изменяются и величины 1, и 12. Займемся величиной 1,. В новой системе координат О'х'у' величина 1, равна ли1ии ВТОРОГО ИОРядкА 1Щ1 6 174 (см.
замечание 2 предыдущего пункта). Докажем теперь инвариантность 1ц !2 и 11. Имеем, согласно (6.68), 1; = а,', е а22 — — 2В = ац е а22, 2 22 12 — — а,'1а;2 — а,'2 — —  — А = аца22 — а12. Таким образом, инвариантность 1, и !2 доказана. Обратимся теперь к ац ац й12 й(2 а(2 й22 йз аз а22 Разлагая этот определитель по элементам последнего столоца, учитывая только что доказанную инвариантность 1,, т.е. равенство ац а,2 а,~ йц = 12 й(2 й22 а~2 й22 и равенство азз — — а„(см.
последнюю из формул (6.67)), получим а12 й2, ац а12 !з = а1з ° ° азз ° ° + паз!2. (3 й22 й!2 й23 (6.70) а,'2 а!2 А соя(242+ а) -Аз)п (222+ а) + В а,',, = Сз)п(гр+ 14) й~з а22 С21п(22+()) С соя(22+ Р) = С2 з)п(<р-» 1))(Асов(<р 4- а — ()) — В з)п (1р+ 12)). (671) Совершенно аналогично получается равенство азз " " — — С соз(2р+ р)(А з1п(гр 4- а — р) ч- В сов(2р 4-р)). (6.72) а12 а2: Из соотношений (6.70)-(6.72) получаем 1з = АС" з!и (2Р— а) — ВС 2+ азз12 (6.73) Так как величины А, В, С, углы а, 12 и !2 не зависят от угла 1р (это вытекает из инвариантности 12 и замечания 2 предыдущего пункта), то из (6.
73) следует, что 12 также не зависит от угла 2р, т.е. при любом значении ср имеет одно и то же значение. Но а,', = а„при 2р = О, и поэтому 1,'= 1,. Таким образом, инвариантность 11 также установлена. Теорема доказана. Согласно формулам (6.68) первое слагаемое в правой части (6.70) мо- жет быть преобразовано следующим образом: 175 кгиныв втогого пооядкл 4 51 Геометрические характеристики линий второго порядка и их расположение вполне определяются значениями инвариантов ?о ?г и 7,.
В зависимости от знака инварианта !г эти линии разделяют на следующие три типа: эллиптичгскии тип, если ?г > О, гиперболическии тип, если ?г < О, параболический тип, если ?г = О. Очевидно, тип линии не меняется при изменении декартовой системы координат. Ниже мы дадим полную классификацию каждого из указанных типов линий. 3. Центр линии второго порядка. В предыдущем пункте мы установили, что при параллельном переносе декартовой системы изменяются лишь коэффициенты группы линейных членов уравнения линии второго порядка. Попытаемся найти такую декартову систему координат О'х'у'(полученную параллельным переносом системы Оху), в которой уравнение (6.62) данной линии 7.
второго порядка не содержало бы слагаемых 2а;,х ' и 2аг,у', т.е. коэффициенты а;з и а~з были бы равны нулю. Пусть хо и уо — координаты начала О' искомой системы. Обращаясь к формулам (6.63), найдем, что величины хо, уо представляют собой решение следующей системы линейных уравнении: а~ ~хо ч- а|гуо+ а1з = О, а,гхо ч- аггуо ч- агз = 0 (6 74) Уравнения (6.74) называются уравнениями центра линии второго порядка, а точка О' с координатами (хо, уо), где х„и уо — решения системы (6.74), называется центром этой линии.
Поясним смысл наименования «центрч линии. Пусть начало координат перенесено в центр О'. Тогда уравнение линии Л примет вид а„х'г ч. 2а1гх'У'.ь аггу ч. азз — — О. г (6.?5) Пусть точка М (х', у') расположена на 7.. Это означает, что ее координаты х' и у' удовлетворяют уравнению (6.75). Очевидно, точка Мч( — х', — у'), симметричная с М относительно О', также расположена на Л, ибо ее координаты также удовлетворяют уравнению (6.
75). Таким образом, если у линии 7. существует центр О', то относительно центра почки 7 располагаются симметрично парами, т.е. центр линии ь является гг центром симметрии. 3 а м е ч а н и е 3, Если линия Л второго порядка имеет центр, то инварианты ?г, ?з и свободный член а;, в уравнении (6.75) связаны соотношением (6.76) ?з = ?газ ЛИПИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА ~ГЛ 6 176 В самом деле, в силу инвариантности 1з получим в системе координат О'х'у' ап аы О 1з = а„а„О О О а,', аих' ч- 2а!ах'у' е атау' е — = О. 2 Гз 1т (6.77) Действительно, после переноса начала в центр уравнение линии примет вид(6.75).
Так как для центральной линии 1а и О, то из формулы (6.76) найдем, что азз — — 1зтт!ь ПодставлЯЯ это выРажение длЯ аз, в фоРмУлУ (6.75), мы получим уравнение (6.77). 4. Стандартное упрощение любого уравнения линии второго порядка путем поворота осей. Докажем, что любое уравнение (6.60) линии Е второго порядка путем специального поворота координатной системы может быть приведено к уравнению, е котором не будет содержаться слагаемое 2а;„х'у', т.е. коэффициент а, 'будет равен нулю.
Такое упрощение уравнения второго порядка мы будем называть стандартным. Естественно, мы будем предполагать, что е исходном уравнении (6.60) коэффициент а,, не равен нулю, ибо в случае аы — — 0 поставленный вопрос является решенным. Пусть ср — угол поворота искомой повернутой системы координат. Обращаясь ко второй из формул (6.67), найдем, что искомый угол ср является решением следующего тригонометрического уравнения; ! — — (а„— азз)сбп2ср ч-аш соз2тр = О, 2 ) Таким образом, центральная линия имеет единственныи центр Из последней формулы и вытекает соотношение (6.76). Наличие центра у линии второго порядка связано с разрешимостью уравнений центра (6.74).
Если уравнения центра имеют единственное решение, то линию Л второго порядка будем называть и е н тр а л ь н о и' '), Так как определитель системы (6.74) равен 1а, а необходимым и достаточным условием существования единственного решения этой системы является неравенство нулю ее определителя, то мы можем сделать следующий важный вывод: линии эллиптического типа (1а > 0) и гиперболического типа (1а < 0) — и только эти линии — являются центральными. 3 а м е ч а н и е 4. Если начало координат перенесено в центр О' центральной линии Е второго порядка, то уравнение этой линии будет иметь вид 177 кеивыс втого1о пояядкл й 51 в котором, по предположению, ам м О.
При этом предположении очевид- но, что (6.78) имеет следующее решение: (6.79) с1п 2ф = (ап — атт)72аш. Итак, если мы повернем систему координат на угол гр, определенный из равенства (6.79), то в повернутой системе координат уравнение линии 1. не будет содержать слагаемого 2а;тх'у' и, кроме того, согласно формулам (6.67), а;з = аз,. Иными словами, это уравнение будет иметь следующий вид: а,',х" е аззУ'в + 2а,'зх'+ 2а~зУ'+ азз — — О.
(6.80) 6. Упрощение уравнения центральной линии второго порядка (1а ~ О). Классификация центральных линий. Выводы, сделанные в предыдущих двух пунктах, позволяют решить вопрос о классификации всех центральных линий второго порядка. Решение этого вопроса мы проведем по следующей схеме. Во-первых, путем переноса начала координат в центр линии (6.60) мы приведем ее уравнение к виду (6.77).
После этого произведем стандартное упрощение уравнения (6.77): 1) если а,. = О, то оставим систему координат О'х'у' неизменной и изменим лишь обозначение х' на х", у' на у", а„на а",,; 2) если а„л О, то перейдем к повернутой системе координат О'х "у", вычисляя угол поворота <р по формуле (6.79) и используя при этом формулы (6.67) (с заменой а,, 'на а,",) и формулу (6.80). В обоих указанных случаях найдем, что уравнение любой центральной линии 1. в системе координат О'х "у" имеет вид 15 а,",х" +аззу" + — '= О.
(6.81) Лальнейшая классификация линий основывается на анализе уравнения (6.81). При этом используется связь коэффициентов а, и а',~з с инвариантами 1, и 1, Рассмотрим отдельно линии эллиптического типа и линии гиперболического типа. 1'. Линии эллиптического типа (1, > 0). Обратимся к исходному уравнению (6.60) линии 1. эллиптического типа. Так как 1,=апазз— — ага > О, то а нам > О, т.е. коэффициенты а, ~ и азз оба отличны от нуля з и имеют одинаковый знак, совпадающий со знаком 1н поскольку 1, =оп е а,.
Без ущерба для общности можно считать оба эти коэффициента положительными (этого всегда можно добиться нормировкой исходного уравнения (6.60), т.е. умножением его на — 1 (при такой нормировке знак инварианта 1, станет положительным, знак инварианта 1з не меняется).
~ГЛ В линии ВТОРОГО ИОРядкА Справедливо следующее утверждение. Теорема 6.6. Пусть уравнение (6.60) линии Л эллиптического типа (1,>0) нормировано так, что 1, >О. Тогда при 1,<0 это уравнение представляет собой эллипс. При 1з =0 уравнению (6.60) удовлетворяют координаты лишь одной точки. При 1з>0 уравнению (6.60) не удовлетворяют координаты никакой точки плоскости. При 1з -— 0 уравнение (6.60) называется уравнением вырожденного эллипса. При 1з > 0 (6.60) называешься уравнением мнимого эллипса. Д о к а з а т е л ь с т в о.
Так как для уравнения (6 81) 1, = а",, и а '.;ш а 1з — — а '~'~ а ';ш то из условия 1, > 0 и !з > 0 вытекает положительность а, и а зь Поэтому уравнение (6.81) линии ь может быть записано следующим образом: (6.82) (6.83) (6.84) Очевидно, что уравнение (6.82), отвечающее случаю 1з < О, представля- Г:7 Г:7 ет собой каноническое уравнение эллипса с полуосями ~ „и у 1за,1 )) 1за.
Уравнению (6.83), отвечающему случаю 1з — — О, удовлетворяют координаты лишь одной точки х" = О, у" = О. Уравнению (6,84) не удовлетворяют координаты никакой точки плоскости, ибо левая часть этого уравнения не отрицательна, а правая отрицательна. Для завершения доказательства теоремы достаточно заметить, что каждое из уравнений (6.82), (6.83), (6.84) эквивалентно исходному уравнению (6.60) соответственно для случаев 1з < О, 1, = О, 1з > О, и поэтому сделанные выше геометрические выводы для уравнений (6.82), (6.83) и (6.84) справедливы и для уравнения (6.60). Теорема доказана. 3 а м е ч а н и е 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
