В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Аналитическая геометрия (1152752), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Очевидно, если точки А и В лежат по одну сторону от первой плоскости и по одну сторо- ну от второй плоскости, то эти точки лежат в о д н о м у г л у, образо- ванном данными плоскостями. Если точки А и В лежат по одну сторону от одной плоскости и по разные стороны от другой плоскости, то эти точки лежат в с м е ж н ы х у г л а х. Если, наконец, точки А и В ле- жат по разные стороны и от той, и от другой плоскости, то эти точки лежат в вертикальных углах. 5.
Уравнения прямой, проходящей через данную точку М,(хп уп г,) и перпендикулярной данной плоскости Ах+ Ву+ Сг+ х — х, у — у, г — г, 4-0=0. Эти уравнения имеют вид ' = ' = ', ибо направ- А В С ляюгцим вектором искомой прямой служит нормальный вектор плоско- сти и =(А, В, С). 6. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку Мо(хо, Уо, го) и паРаллельной заданной плоскости А,х+ ВЕУ+ СЕг+ +ААЕ = О. Это уравнение имеет вид А,(х-хо) + В,(у -уо)+ С,(г — го) = О. В самом деле, искомая плоскость принадлежит связке плоскостей (5.50) и имеет тот же нормальный вектор и = (Аь Вн С, ), что и данная плоскость. 7. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку х — х 1 Мо(хо, уо1 го) и перпендикулярной заданной прямой у — уе 2 — г, — — Это уравнение имеет вид 1(х — хо) + т(У вЂ” Уо) + ЕИ л + а(г — г„) =О. В самом деле, искомая плоскость принадлежит связке плоскостей (5.50) и имеет в качестве нормального вектора направляю- щий вектор заданной прямой 4) = (й т, а).
ли!ь-:ньпп:. оврдзы ~гл з А(х, — хо)-«В(у, — уо)+С(г, — го) =О, А! + Вт + Сп = О. (5.64) Точка Мо(хо, уо, го) по условию не лежит на данной прямой. Это ознахо У1 Уо чает, что нарушается хотя бы одна из пропорции т г, — го ", и поэтому из системы (5.64) два из коэффициентов А, В, С п можно определить через третий.
Выбрав затем произвольно этот тре- тий коэффициент (например, положив его равным единице), мы по- лучим уравнение искомой плоскости. 9. Уравнение плоскости, проходящей через данную прямую х — х, у — у, г — г, и параллельной другой данной прямой т, в, х — х у — у г — г 2 2 2 '). Пусть Ах+ Ву+Сг+0=0 — уравнение (2 та ва искомой плоскости. Используя условия (5.60) принадлежности данной прямой к искомой плоскости, получим Ах, + Ву, + Сг, + д) = О, А(, + Вт, + Сп, = О. Кроме того, используя условие (5.59) парал- лельности искомой плоскости и второй данной прямой, получим А(г+ Втд+ Сп, = О.
В результате получим систему трех уравнений: Ах, + Ву, + Сг, +() =О, А(, -«Вт ~ 4- Сп! - — О, А(з+ Втз+ Спз = О, из которой три из коэффициентов А, В, С, 0 могут быть выражены через четвертый (в силу того, что две данные прямые не параллельны и наруша- етсЯ хотЯ бы одна из пРопоРций ! )(г = тнгтг = и (пд, полУчим, что хотЯ бы один из определителей третьего порядка матрицы х, у, г, ! т, п, гпп пд О ) Предполагается, по две данные пряные не парааяе.ъны 8. Уравнение плоскости, проходящей через данную прямую х — х, у — у, г — г, 1 т в и через заданную не лежащую на этой прямой точку Мо(хо, уо, го).
Искомая плоскость принадлежит связке плоскостей (5 50), т.е. определяется уравнением А (х — хо) + В (у — уо) + + С (г — го) = О. Используя условия (5.60) принадлежности данной прямой к искомой плоскости, получим следующие равенства: У 51 иекотОРьп: зАДАчи пА ИРямую и плоскостьв ПРОстРА!к:тве 143 отличен от нуля, и поэтому какие-то три из коэффициентов А, В, С, 1) можно выразить через четвертый).
Положив указанный четвертый коэффициент равным единице, мы получим уравнение искомой плоскости. 10. Уравнение плоскости, проходящей через заданную прямую Ь, и перпендикулярной заданной плоскости н. Эта задача сводится к предыдущей. Чтобы убедиться в этом, мы сначала через точки М, прямой Е, проведем прямую 7.5 перпендикулярную плоскости и (такая задача решена в п. 5), и затем через прямую 7ч проведем плоскость, параллельную прямой Лм 11.
Уравнения перпендикуляра, опущенного из заданной точки Мо на данную прямую Ц. Искомый перпендикуляр представляет собой линию пересечения двух плоскостей: 1) плоскости, проходящей через точку Мс и прямую 7., (такая плоскость найдена в и. 8); 2) плоскости, проходящей через точку Мс и перпендикулярной к прямой 1ч (такая плоскость найдена в п. 7). 12.
Нахождение расстояния от данной точки Мо до данной прямой Ц. В предыдущем пункте найдены уравнения перпендикуляра ).е, опущенного из точки Мс на прямую Л Р Решая совместно уравнения прямых ~, и Лз мы найдем точку М, основания указанного перпендикуляра, а затем и искомое расстояние, равное длине отрезка МоМ, . 13. Нахождение общего перпендикуляра к двум скрещивающимся прямым 1ч и Ьз. Проведем через прямую Л, плоскость кс, параллельную прямой Ц (эта задача решена в п. 9). После этого проведем две плоскости и и и.„, перпендикулярные плоскости и„ и проходящие через прямые ~, и Л, соответственно (см.
п. 10). Искомый перпендикуляр представляет собой линию пересечения плоскостей и, их, 14. Нахождение кратчайшего расстояния между двумя данными скрещивающимисн прямыми Ь, и Ьз. Для решения этой задачи достаточно построить плоскость яс, указанную в предыдущем пункте, и найти расстояния от любой точки прямой Лз до плоскости пс. ГЛАВА б ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА В этой главе изучаются геометрические свойства эллипса, гиперболы и параболы, представляющих собой линии пересечения кругового конуса с плоскостями, не проходящими через его вершины. Эти линии часто встречаются в различных вопросах естествознания.
Например, движение материальной точки под воздействием центрального поля силы тяжести происходит по одной из этих линий. Исследуются также кривые второго порядка, т.е. линии, определяемые в декартовых координатах, алгебраическими уравнениями второй степени. В частности, выясняется, что эллипс, гипербола и парабола являются такими линиями и что этими тремя линиями и изученными в предыдущей главе линейными образами исчерпываются все линии, определяемые алгебраическими уравнениями второй степени. ф 1. Канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы В начале этой главы мы говорили о том, что эллипс, гипербола и парабола представляют собой линии пересечения кругового конуса с плоскостями, не проходяи(ими через его еергиину.
Именно, если секущая плоскость пересекает все прямолинейные образующие одной полости конуса, то в сечении получится линия, называемая эллипсом (рис. 6.1 а). Если секущая плоскость пересекает образующие обеих полостей конуса, то в сечении получится линия, называемая гиперболой (рис. 6.1 б). И, наконец, если секущая плоскость параллельна одной из образующих конуса (на 6.1 е — это образующая АВ), то в сечении получится линия, называемая параболой. Рисунок 6.1 дает читателю наглядное представление о форме рассматриваемых линий.
В этом параграфе даются специальные определения эллипса, гиперболы и параболы, основанные на их фокальных свойствах, и выводятся так называемые канонические уравнения этих кривых. Ниже, в п. 4 Э 3, будет установлена равносильность этих специальных определений и определений эллипса, гиперболы и параболы как конических сечений. 1. Эллипс. Определение. Эл л и и с ам называется геометрическое место точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксиро- КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 146 ванных точек с1 и ра этой плоскости, назьгваемых ф о к у с а м и, есть величина постоянная ). Эллипс Гипербола Г)арабола Рис.
6.1 При этом не исключается совпадение фокусов эллипса. Очевидно, если фокусы совпадиют, то эллипс представэгяет собой окружность. Для вывода канонического уравнения эллипса выберем начало О декартовой системы координат в середине отрезка Г,Г2, а оси Ох и Оу направим так, м(л,у) как указано на рис. 6.2 (если фокусы г"г н У) Ра совпадают, то О совпадает с с г и Ра, а за гг ось Ох можно взять любую ось, проходяшую через О). Г,(-с,о) О Гг(с,о) х Пусть длина отрезка и гРа равна 2с. Тогда в выбранной системе координат точки Рис 62 г"г и сд соответственно имеют координаты ( — с, 0) и (с, 0). Обозначим через 2а постоянную, о которой говорится в определении эллипса. Очевидно, 2а > 2с, т.е.
а > с. Пусть М вЂ” точка плоскости с координатами (х, у)(рис. 6.2). Обозначим через г, и га расстояния от точки М до точек сг и с'г соответственно. Согласно определению эллипса равенство г, + гав - 2а (8.1) является необходимым и достаточным условием расположения точки М (х, у) на данном эллипсе. Используя формулу расстояния между двумя точками (см. формулу (1.8) и. 2 ~ 3 гл. 1), получим ; =чг" )' .г', э =41:г' гь (8.2) ') Если М вЂ” точка эллипса (Рис 6 2), то )МГ~ ! Э 1МГг! = 2о, а так как сУмма двУх сторон Мдг и МГН треугольника Мд,ге больше третьей стороны Е,Гз = аг, то 2и э 2с. Случаи 2о = 2с естественно исключить, так как тогда точка М располагается на отрезке Гппг и эллипс вырождается в отрезок линии ВТОРОГО ИОРядкА !ш! 6 146 Из (6.1) и (6,2) вытекает, что соотноитение (6.3) представляет собой необходимое и достаточное условие расположения точки М с координатами х и у на данном эллипсе.
Поэтому соотношение (6.3) можно рассматривать как уравнение эллипса. Путем стандартного приема «уничтожения радикалов» это уравнение приводится к виду х у — + — =1, 2 12 (6.4) где !2 2 2)) (6.5) с с г, =а+ — х, )2 =а — — х, а а (6.6) т.е. г, + гз = 2а, и поэтому точка М располагается на эллипсе. Уравнение (6.4) называется каноническим уравнением эллипса. Величины а и Ь называются соответственно большой и малой полуосями эллипса (наименование «большая» и «малая» объясняется тем, что а > Ь).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
