В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Аналитическая геометрия (1152752), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Выше (см. и. 6 предыдущего параграфа) уже отмечалось, что прямую линию в пространстве, являющуюся линией пересечения двух различных и не параллельныхплоскостей,определяемыхуравнениямиА х+В у+ С г+1), =О иАах+ Вау+ Сг+ Оа = О '), можно задаватьлибодвумя уравнениями этих плоскостей, либо двумя любыми различными уравнениями пучка и (А,х + В,у + С,г + 7),) + 1) (Азх е Взу + Сзг -Р 1)г) = О (отвечающими произвольно взятым числам а и ))), При решении многих задач более удобным является специальный вид уравнений прямой в пространстве, к выводу которого мы и переходим. Договоримся называть любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой, направляющим вектором этой прямой.
Выведем уравнения прямой, проходящей через данную точку пространства М,(хы уы г,) и имеющей заданный направляющий вектор с( = (1, т, п). Для этого заметим, что точка М (х, у, г) лежит на указанной прямой тогда и только тогда, когда векторы М, М = (х - х Р у — у ы г — г, ) и с( = (1, т, и) коллинеарны, т.е. тогда и только тогда, когда координаты этих векторов пропорциональны (см.
следствие из теоремы 2.17) лиш:иныв оьгхзы 1зв А, В, В, С, А, С, делителей второго порядка отличен от нуля Ат Вэ В, Сз Аэ Сз (см. Дополнение к гл. 1 п. 1). Пусть ради определенности отличен от нуля А В, определитель А . Тогда, взяв вместо г произвольное число г, и подставив его в уравнения (5.52), определим из системы (5.52) соответствуюшие этому г, значения х, и и,: В,(С,г, ь0,)-В,(Сг, ь0,) х1 —— А, — А В, Аз (С,г, ж О, ) — А, (С, г, ж О.
) у~ = А,В, — А,В, (5. 53) В частности, можно взять г, = О. Тогда, воспользовавшись формулами (5.53), мы получим, что прямая (5.52) проходит через точку [ В,0, — Вз0, Ат0, — А,0з ~ А,вт — А В, А, — А,В, Для нахождения координат й т, п направленного вектора г[ прямой (5.52) заметим, что вектор г) ортогонален каждому из нормальных векторов и, = [Ао Вн С,) и пе = [Аз, Вн Са) плоскостей (5.52), так что можно положить вектор о = [1, т, л) равным векторному произведению [п,п,].
Пользуясь выражением векторного произведения в координатах (см. и. 6 3 3 гл. 2), мы получим: 1= В,Са — ВаСо т = С~Аз — СеАо а =А,Вз -АаВо Таким образом, для случая, когда отличен от нуля определитель А, В, , канонические уравнения прямой (5.52) имеют вид Аа В А20, — А,0э у А,В, — А~В, в10з -в,0, х — —— А,Вз — Аз В, С,Аз — С,А, А,В, — Атв, в,с — в с, привести к каноническому виду (5.51). Достаточно найти: 1) хотя бы одну точку М,(хн у о г,), через которую проходит прямая (552); 2) направляющий вектор г) = [1, т, а) прямой (5.52).
Начнем с нахождения координат хо уь г, точки Мо через которую проходит прямая (5.52). Так как плоскости, определяемые уравнениями (5.52), не параллельны и не сливаются, то нарушается хотя бы одна из А, В, С, пропорций — = — = —. Это означает, что хотя бы один из трех опре- А, Вз Сэ пРямАя линия В ПРОСТРАнсгвв 137 Аналогично записываются канонические уравнения прямой (5.52) для В, С, А, С, случая, когда отличен от нуля определитель и С или А 2. Уравнения прямой, проходящей через две различные точки М,(хн ун г,) и Мг(хг, ум гг). Эти уравнения имеют вид х — х, у — у, г — г, у у Для получения нх достаточно заметить, что прямая проходит через точку М,(хп ун г,) и имеет направляющий вектор о = М,М = (хг — хп уа — ун гг — г,), и воспользоваться каноническими уравнениями (5.5!).
3. Параметрические уравнения прямой в пространстве. Параметрические уравнения прямой в пространстве элементарно получаются из канонических уравнений (5.51) этой прямой. Примем за параметр 1 каждое из отношений (5.51). Так как один из знаменателей (5.51) отличен от нуля, а соответствующий числитель может принимать какие угодно значения, то областью изменения параметра 1 является вся вещественная осгя — х <1< я- х. Мы получимх — х, =11, у — у, = т1, г — г, = п1, или окончательно х=х, +11, у=у, жт1, г=г, жп1.
(5.54) Уравнения (5.54) и есть искомые параметрические уравнения прямой. Если принять параметр 1 за время, отсчитываемое от некоторого начального момента, то параметрические уравнения (5.54) определяют закон движения материальной точки по прямой линии с постоянной ско' " ь...- --. --;---.".). 4. Угол между прямыми в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Пусть две прямые в пространстве Ь, и ).г заданы своими каноническими уравнениями: х — х, у — у, г — г, т, и, х — х5 у — уз г — гз и т5 н5 Тогда задача определения угла между этими прямыми сводится к определению угла 1р между их направляющими векторами: т(, =(1н тн п1) и Уа — — (1п тп Яа).
1,1,, е т,т., -Р я,л,, СО51Р = (5.55) Пользуясь определением скалярного произведения г(,г(5 = (г(, ~ ~ цз ~ соз 1р и выражением в координатах указанного скалярного произведения и длин векторов с(, и цл мы получим для определения угла у следующую формулу: ЛИ1П:ИНЫВ ОЬВКЗЫ 1зи 1гл з Условие параллельности прямы (., и Ц, эквивалентное условию коллинеаРностн вектоРов Ч, и Чг заключаетсЯ в пРопоРциональности координат этих векторов, т.е. имеет вид ) (5. 56) Условие перпендикулярности прямых Е, и Ег может быть извлечено из формулы (5.55) (при соз ер = О) илн выражено равенством нулю скалярного произведения Ч,Ч,.
Оно имеет вид 1,1 + т,т + п1п, = 0, (5.57) 5. Условие принадлежности двух прямых к одной плоскости. Две прямые в пространстве 1о и (.г могут: 1) пересекаться; 2) быть параллельными; 3) скрещиваться. В первых двух случаях прямые сч и Ц лежат в одной плоскости. Установим условие принадлежности одной плоскости двух прямых, заданных каноническими уравнениями х — х, у — уа г-га н 12 те пе х — х, у — у, г — г, т, и, хе — х, уе — у~ га — г, (5.58) т, и, (е те па Если прямые Л, и Ег удовлетворяют условию (5.58), то они либо пересекаются, либо параллельны. Так как условие параллельности прямых сч и сг имеет вид (5.56), то для пересечения прямых сп и (.г необходимо и достато сна, чтобы они удовлетворяли условию (5.58) и чтобы нарушалась хотя бы одна из пропорций 1,Д= т,(та= п1(пм 6.
Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости. Рассмотрим плос- 1 Каи и всюду выюе, любую пропорцию и/Ь =сМ поиимасм в смысле равенства пи = Ьс. Очевидно, что для принадлежности двух указанных прямых одной плоскости необходимо н достаточно, чтобы три вектора М1Ма = (хв -хо ув — ум ге — г1),Ч~ =(11 ты п|)иЧа= ((ь т, пг) были компланарны,для чего в свою очередь необходимо н достаточно, чтобы смешанное произведение указанных трех векторов равнялось нулю. Записывая смешанное произведение указанных трех векторов в координатах (см. и.
7 з 3 гл. 2), приходим к следующему необходимому и достаточному условию принадлежности двух прямых Е, и Ев одной плоскости ПРЯМАЯ ЛИНИЯ В ПРОСТРАНСГБН кость я, заданную общим уравнением Ах+ Ву+ Сг+ Р = О, и прямую ь, х — х, у — у, г — г, заданную каноническими уравнениями т и Поскольку угол ср между прямой ь и плоскостью я является дополнительным к углу лр между направляю- щим вектором прямой е) = 11, т, и) и нормальным век- тором плоскости и = (А, В, С ) (рис. 5.10), то из опре- деления скалярного произведения с)п = ~с)~!и ~ соз лр и из равенства соз лр = гйп трмы получим для опре- деления угла ср между прямой В и плоскостью я следующую формулу: Рис. 5.! О А1 е Вт е сп 51П19 = Г;7, еч7,.т,.* А1+ Вт + Сп = О. (5.59) Условие перпендикулярности прямой ь и плоскости я эквивалентно условию параллельности векторов и и д и выражается пропорциональностью координат этих векторов ): Ау'1 = В/т = С/и.
х — х, у — у, г — г, 7. Условия принадлежности прямой ' = ' = ' к и и плоскости Ах+ Ву+ Сг+ Р = О. Эти условия выражаются двумя равенствами: Ах, + Ву, + Сг, + Р = О, А1+ Вт+ Сп = О, (5.60) первое из которых означает, что точка М1(х1, уь г,), через которую проходит прямая, принадлежит плоскости, а второе есть условие параллельности прямой и плоскости (5.59). 8.
Связка прямых. Совокупность всех прямы, проходяи)их через данную точку М,(хь уп г,), назьлвается связкой прямых (с центром в точке М,). Легко убедиться в том, что у р а в н е н и я связки прямых с центром в точке М1(х1, уп г,) имеют вид х — х, у — у, г — г, 1 т и (5.61) где 1, т и и — какие угодно числа, не равные одновременно нулю. ~) Как всегда, всякую пропорцию а1Ь = сМ ионил|аеы в смысле равенства аа' = Ьс. Условие параллельности прямой ь и плоскости я (включающее в себя принадлежность й к я) эквивалентно условию перпендикулярности векторов и и с) и выражается равенством нулю скалярного произведения этих векторов: линвйньщ овехзы ~ГЛ 5 !40 ф 5. Некоторые задачи на прямую и плоскость в пространстве 1.
Условие пересечения трех плоскостей в одной и только в одной точке. Для того чтобы три плоскости, соответственно определяемые уравнениями Л,х+В,у+ С,г+(), =О, Лзх+ Взу+ Сзг + ()з = О, Лзх+ Взу+ Сзг+ 05 = О, (5,62) пересекались в одной и только в одной точке, необходимо и достаточно, чтобы был отличен от нуля определитель А, В, С, Аз Вз Сз Аз Вз Сз (5.63) В самом деле, в этом и только в этом случае система (5.62) имеет единственное решение (см. Дополнение к гл. 1).
2. Нахождение биссектральных плоскостей двугранного угла, образованного двумя данными плоскостями. Запишем уравнения двух данных плоскостей в нормированном виде. Пусть это будут: х 005 п~ + у 005 ))~ + г 005 у~ — р~ = О их 005 сзз+ у 005 ()з+ г с05 (т — рз = О. Левые части этих уравнений соответственно равны отклонениям 5, и бз точки М(х, у, г) от первой и от второй плоскостей. На одной из биссектральных плоскостей (отвечающей тому двугранному углу, в котором лежит начало координат) эти отклонения равны и по модулю, и по знаку, на другой биссектральной плоскости отклонения 6, и 5, равны по модулю и противоположны по знаку. Таким образом, уравнения искомых биссектральных плоскостей имеют вид (х соз аз + У соз 1), + г соз У, — Р,)— — (х с05 па+ У с05 ~)з+ г с05 (з — Ра) = О, (х сов зхз + У соз(зз + г соз У, — Р,) + + (х соз аз + У соз ))я + г соз Уз — Рз) = О.
В самом деле, всякая прямая, определяемая уравнениями (5.61), проходит через точку М,(хь уо г,). С другой стороны, если С вЂ” наперед заданная прямая, проходязцая через точку М,(хо уо г,), то эта прямая однозначно определяется заданием, кроме точки М,(хь уь г,), еще направляющего вектора 41 = ((, т, и) и потому определяется каноническими уравнениями (5.51), совпадающими с уравнениями (5.61). У 51 некОтОРые зАдАчи нА ПРямк10 и плоское гьв ПРОстРАЕк:тва 141 3. Условия, при которых данная плоскость пересекает дан- ный отрезок АВ. Записав уравнение данной плоскости в н о р м и- р о в а н н о м виде и подставив в левую часть последнего уравнения сначала координаты точки А, а затем координаты точки В, найдем от- клонения Ьл и Ьз точек А и В соответственно от данной плоскости. Для того чтобы данная плоскость пересекала отрезок АВ, необходи- мо и достаточно, чтобы точки А и В лежали по разные стороны от плос- кости, т.е.
необходимо и достаточно, чтобы отклонения Ьл и Ьз имели разные знаки. 4. Определение местоположения двух данных точек А и В относительно двугранных углов, образованных данными плос- костями. Пусть заданы две пересекающиеся плоскости и требуется определить: в одном, в смежных или в вертикальных углах, образо- ванных двумя данными плоскостями, лежат две данные точки А и В. Записав уравнения данных плоскостей в нормированном виде, вы- числим отклонения Ьлен и Ьлеое точки А от первой и второй плоскостей и отклонения Ьз11' и Ьзд~~ точки В от первой и второй плоскостей. По знакам этих четырех отклонений заключаем, по одну или по разные стороны от каждой из плоскостей лежит каждая из точек А и В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
