В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Аналитическая геометрия (1152752), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Доказанные свойства имеют фундаментальное значение. Они позволяют при скалярном перемножении векторных многочленов выполнять деиствия почленно, не заботясь при этом о порядке векторных множителей и сочетая числовые множители. Указанная возможность будет существенно использована в следующем пункте. 4. Выражение скалярного произведения в декартовых координатах. Теорема 2.!2. Если два вектора а и Ь определены своими декартовгями прямоугольнььяи координатами а=(Хп Уп ~,), Ь=(Х., Уги к ), то скалярное произведение этих векторов равно сумме попарных произведений их соответствуюи(их координат, т.е.
(2.33) аЬ=Х,Хз+ У,УзеУ,кз. Д о к а з а т е л ь с т в о. Составим из тройки базисных векторов ю, 1 и К все возможные пары и для каждой из пар определим скалярное произведение. Учитывая, что базисные векторы являются попарно ортогональными и имеют единичную длину, получим 11=1, 11=0, К)=0, (2.34) 11=0, 11 = 1, 1с1= 0, 11с = О, 1 1с = О, 1с 1с = 1. Вг ктОРИОе и смнплнггОе пРОизВедения ВектОРОВ фзг 63 аЬ=ХгХЗ11+Х,УЗ11+Хглз!Ь+ УгХ511+ У,УЗ)1+ Углз)Ь Р +г,ХВЬ1+г,У,Ц+г,г,ЬЬ. Из последнего равенства и соотношений (2.34) вытекает формула (2.33). Теорема доказана. Следствие 1. Необходимым и достаточным условием ортогои ил ьност и векторов а=1Хг, Ун У,) и Ь=)ХВ, Уз, лз) является равенство Х,ХЗ+ У,УЗ+ХгХЗ=О. Это следствие непосредственно вытекает из теоремы 2.10 и формулы (2.34). Следствие 2. Угол гр между векторами а =1Хг, Ун х,г) и Ь =1ХЗ, Уз, лз) определяется по формуле Х Х, + Угуз э КД созгр = Х,г+Уг -РХгз Х~ Руг +Х.з (2.35) аЬ В самом деле, созгр = , и нам остается воспользоваться фор- (аЙЬ( мулой (2.33) для скалярного произведения и формулой (2.27) для длины вектора.
й 3. Векторное и смешанное произведения векторов 1. Правые и левые тройки векторов и системы координат. Определение !. Три вектора называются у и о р я д о ч е н н о й т р о й к о й (и ги просто т р о й к о й), если указано, какои из этих векторов является первым, какой — вторым и какой — третьим. При записи тропки векторов мы всегда будем располагать эти векторы в порядке их следования.
Так, запись Ьас означает, что первым элементом тройки является вектор Ь, вторым — вектор а и третьим— вектор с. Определение 2. Троика некомпланарньгх векторов аЬс назьгвается и р а в о й (л е в о й), если выполнено одно из следующих трех условий: Далее, учитывая,чтоа=Х, г + У)+ сгЬ,Ъ=Х,г ч- Уэ)ЯЛВЬ, иопираясь на установленную в предыдущем пункте возможность почленного скаляр- ного перемножения векторных многочленов, получим Ввктогнля ллгевгд ~гл 2 1' если эти векторы, будучи приведены к оби(ему началу, располагаются так, как могут быть расположенгя соответственно большой, несогнутый указательный и средний пальцы правой (левой) руки; 2' если после приведения к общему началу вектор с располагается по ту сторону от плоскости, определяемой векторами а и Ь, откуда кратчайгиий поворот от а к Ь кажется совершакхцимся против часовой стрелки (по часовои стрелке); 3' если, находясь внутри телесного угла, образованного приведенными к общему началу векторами а, Ь, с, мгя видим поворот от а к Ь и от него к с совершающимся против часовой стрелки (по часовой стрелке).
Легко проверить, что условия 1', 2' и 3' эквивалентны между собой. Предоставляем читателю с помощью каждого из условий 1', 2' и 3" убедиться в том, что тройка аЬс, изображенная на рис. 2.15, является правой, а тройка аЬс, изображенная с на рис. 2.16, является левой. 3 а м е ч а н и е.
Понятие правой и левой тройки теряет смысл для компланарных века торов. а ь Если две тройки векторов либо обе являются правыми, либо обе являются левыми, то говорят, что эти тройки одной ориентации. В противном случае говорят, что рассматриваемые две тройки противоположной ориентации. Всего из трех векторов а, Ь и с можно составить следующие шесть троек: (2.36) аЬс, Ьса, саЬ, Ьас, асЬ, сЬа.
(2.37) С помощью условия 3' определения 2 легко проверить, что все три тройки (2.36) той же ориентации, что и троика аЬс, а все три тройки (2.37) имеют ориентацию, противоположную аЬс. Определение 3. Аффинная или декартова система координат иазгявается и р а в о й (л е в о й), если три базисных вектора образуюгп правую (левую) тройку.
Ради определенности договоримся в дальнейшем рассматривать только правые системы координат. 2. Определение векторного произведения двух векторов. Определение. Векторным произведением вектора а на вектор Ь назьчвается вектор с, обозначаемый символом с = (аЬ] и удовлетворяющии следуюи(им трем требованиям: 65 ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ У 31 !) длина вектора с равна произведению длин векторов а и Ь на синус угла ту между ними '), т.е. |с| = | [аЬ] | = |а| |Ь! з!и гр; (2.38) 2) вектор с ортогонален к каждому из векторов а и Ь; 3) вектор с направлен так, что тройка векторов аЬс является правой ). Понятие векторного произведения также родилось в механике.
Если вектор Ь изображает приложенную в некоторой точке М силу, а вектор а идет из некоторой точки О в точку М, то вектор с = [аЬ] представляет собой момент силы Ь относительно точки О. 3. Геометрические свойства векторного произведения. Теорема 2.18. Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является равенство нулю их векторного произведения. Д о к а з а т е л ь с т в о. !) Необходимость вытекает из самого определения векторного произведения: для коллинеарных векторов а и Ь векторное произведение по определению равно нулю (см. формулу (2.38) и сноску )).
2) До с тат о ч ность. Пусть векторное произведение [аЬ] равно нулю. Докажем, что векторы а и Ь коллинеарны. Прежде всего исключим тривиальный случай, когда хотя бы один из векторов а или Ь является нулевым (нулевой вектор имеет неопределенное направление, и его можно считать коллинеарным любому вектору). Если же оба вектора а и Ъ ненулевые, то | а | > О и | Ь | > О, н позтому из равенства [аЬ] = О и из формулы (2.38) вытекает, что гйп тр = О, т.е.
векторы а и Ь коллинеарны. Теорема доказана. Теорема 2.!4. Длина (или модуль) векторного произведения [аЬ] равняется площади 5 параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах а и Ь. Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как площадь параллелограмма равна произведению смежных сторон этого параллелограмма на синус угла между ними, то теорема непосредственно вытекает из формулы (2.38).
' В соответствии с договоренностью, припятои в п 2 ГЗ 2, е качестве угла между векторами берем тот угол ф, которыд ие превосходят я, При этом всегда ып ф > О и величина 12.38) неогрица~ельна. Из формулы (2 38) следует также. что в случае коллянеарньт векторов а и Ь определяемый вектор с = [аь) является нулевым ) Требования 1) и 2) определяют вектор с с точностью до двух взаимно противоположных направлении. Требование 3) отбирает одно из этих лвух направлении.
В случае, когда а и Ь коллииеарпы, тройка аЬс является компланарнои, но в этом случае уже нз требования 1) вытекает. что с = О. ') Если векторы а и Ь коялинеарны (и, в частности, если хотя бы один из векторов а и Ь нулсвои), формула 12 39) остается справедливои. ибо в этом случае равны нулю как векторное произведение [аЬ), так и площадь 5 построенного на векторах а и Ь параллелограмма. 66 ВЕКГОРНЛЯ ЛЛГЕЕРЛ 1ГЛ 2 Чтобы получить следствие из теоремы 2.14, введем понятие орта.
Определение. О р т ам произвольного ненулевого вектора с назовем единичный вектор, коллинеарный с и имеющий одинаковое с с направление. Следствие из теоремы 2.14. Если е — орт векторного произведения [аЬ], а 5 — площадь параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах а и Ь, то для векторного произведения [аЬ] справедлива следующая формула: [аЬ] = Зе. 3 а м е ч а н и е. Из определений орта и векторного произведения вытекает, что троика аЬе является правой (ибо тройка аЬ[аЬ] является правой). Следующее свойство устанавливает важную для дальнейшего формулу. Теорема 2.1б. Если с — какой-нибудь вектор, я — любая содержащая его плоскость, е — единичный вектор, лежащий в плоскости я и ортогональный к с, я — единичньгй вектор, ортогональный к плоскости я и направленный так, что тройка еса является правой, то для любого лежащего е плоскости я вектора а справедлива формула [ас] =пр„а 1с~ д.
(2.40) Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно доказать, что векторы, стоящие в левой и правой частях (2.40): 1) имеют одинаковую длину, 2) коллинеарны, 3) имеют одинаковое направление. В силу теоремы 2.14 ] [ас] ~ = 5, где 5 — площадь построенного на приведенных к общему началу векторах а и с параллелограмма. Длина вектора, стоящего в правой части (2.40), равна ~ с ~ ] прс а], т.е. тоже равна к 5, ибо если за основание указанного параллелограмма принять вектор с, то высота его й будет равна ~прка~, (рис. 2.!7). Колл инеарность векторов, стоящих в левой и правой частях (2.40), вытекает из того, что оба эти вектора ортогональны Рис 2 17 к плоскости я (вектор [ас] в силу определения векторного произведения, а вектор пре а ° ~с~ я в силу того, что вектор я по условию ортогонален к плоскости к).
Остается проверить, что векторы, стоящие в левой и правой частях (2.40), одинаково направлены. Для этого достаточно заметить, что векторы [ас] и я одинаково направлены (противоположно направлены), когда тройка ася является правой (левой), т.е. когда векторы а и е лежат по одну сторону от с (по разные стороны от с )) и проекция пр„ а является положительной (от- ) 11ри этом мы исктючаек1 тривиальныи случай, когда вектор а коллинеарен вектору с.
В этом тривиальном случае [ас) = О и пр, а = О. так что равенство (240) очевилно бт ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ чз) рицательной), но это и означает, что векторы [ас] и пре а ~ с] и всегда одинаково направлены. Теорема доказана. 4. Смешанное произведение трех векторов. Пусть даны три произвольных вектора а, Ь и с. Если вектор а векторно умножается на вектор Ь, а затем получившийся при этом вектор [аЬ] скалярно умножается на вектор с, то в результате получается число [аЬ] с, назыеаемоесмеша нн ым произведением век торов а, Ьи с. Геометрический смысл смешанного произведения поясняет следующая теорема.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
