В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Аналитическая геометрия (1152752), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Для доказательства первого из этих утверждений достаточно заметить, что, каковы бы ни были три некомпланарных вектора а, Ь и с, они линейно независимы (в силу следствия 2 из теоремы 2.5), и для любого вектора с( найдутся вещественные числа )ч р и т такие, что справедливо равенство (2.17) (в силу следствия из теоремы 2.6).
Утверждение 2) доказывается аналогично (с помощью следствия 1 из теоремы 2.4 и следствия 1 из теоремы 2.5). В дальнейшем для определенности будем рассматривать базис в пространстве. Итак, пусть а, Ь, с — произвольный базис в пространстве, т.е. произвольная тройка некомпланарных векторов. Тогда (по определению базиса) для любого вектора д найдутся такие вещественные числа )ь, р и у, что будет справедливо равенство б = ).а + рЬ+ ис. (2.17) Принято называть равенство (2.17) разложением вектора б по базису а, Ь, с, а числа )ь, р и и — координатами вектора С( относительно базиса а, Ь, с, Докажем, что каждьгй вектор с( может быть е д и н с т в е нн ьс м с и о с о б о м разложен по базису а, Ь, с, или (что то же самое) координаты каждого вектора с( относительно базиса а, Ь, с о и р е д еляются однозначно.
Допустим, что для некоторого вектора б, наряду с разложением (2.17), справедливо еще и другое разложение по тому же самому базису д = Х'а ж р'Ь + у'с. (2. 19) Почленное вычитание равенств (2.17) и (2.19) приводит к соотношению ') (). — Х')а ч- (р — р') Ь ж (ч — тг)с = О. (2.20) В силу линейной независимости базисных векторов а, Ь, с соотношение (2.20) приводит к равенствам Х вЂ” 2.'=О, р — р'=О, и — о'=О, или )с = )ь', р = р', т)= у'.
Единственность разложения по базису доказана. ') Возможность почленного вычитания равенств (2 17) и (2 19) и произволимои группировки членов вытекают из своиств линеинык операций нал векторами (см. и. 2). 55 ЛИНЕИНЫЕ ОПЕРЛПИИ НЛД ВЕКТОРЛМИ Основное значение базиса состоит в том, что линейные операции над векторами при задании базиса становятся обычными линейными операциями над числами — координатами этих векторов. Именно справедливо следующее утверждение. Теорема 2.7. При сложении двух векторов д, и с(а их координаты (относительно любого базиса а, Ь, с) складываются.
При умножении вектора д, на любое число а все его координаты умножаются на это число. Доказательство. Пусть д,=),а+)),Ь+т,с, с)а=)аа+ + ))аЬ+ чэс. Тогда в силу свойств 1' — 7' линейных операций (см. п. 2) д, ж дэ = (Х, ч- ) з) а + ()г, + )гз) Ь + (т, + тэ) с, ад, = (Ы,) а ж (а)г,) Ь + (св,) с. В силу единственности разложения по базису теорема доказана. Перейдем теперь к определению так называемых аффинных ) координат точки. Аффинньге координатьч в пространстве определяются заданием базиса а, Ь, с и некоторой точки О, называемой началом координат.
Аффинными координатами любой точки М называются координатов вектора ОМ (относительно базиса а, Ь, с). А Так как каждый вектор ОМ может быть, и притом единственным способом, разложен по базису а, Ъ, с, А' то каждой точке пространства М однозначно соответствует тройка аффинных координат )., р, ю и Разумеется, декартовы прямоугольные координаты являются частным случаем аффинных координат, соответствующим тройке взаимно ортогональных и единичных базисных векторов. Более подробно этот важный частный случай рассматривается в п.
9 настоящего параграфа. В заключение заметим, что свойства базиса и понятие аффинных координат на плоскости вполне аналогичны случаю пространства. 8. Проекция вектора иа ось и ее свойства. Прежде всего определим проекцию вектора а = АВ на произвольную ось и. Обозначим буквами А' и В' основания перпендикуляров, опущенных на ось и из точек А и В соответственно (рис. 2.12). Проекцией вектора а= АВ на ось иназываетсявеличина А'В' направленного отрезка А'В' оси и.
Договоримся обозначать проекцию вектора а на ось и символом пр„а. Построение проекции вектора а = АВ на ось и иллюстрируется на рис. 2.12, где символом сх и !) обозначены две проецирующие плоскости ) Термин «аффиниый«происходит от латинского слова а)пи|в, что означает смежныи, или соседнии.
Векторнля ллгезрл ~ГЛ 2 (т.е. плоскости, перпендикулярные оси и и проходящие через концы А и В вектора а = АВ ). Для дальнейшего нам понадобится понятие у гл а и а кл о и а вектора а= АВ коси и. Этотугол можетбытьопределенкакугол гр между двумя выходящими из произвольной' точки М лучами, один из которьгх имеет направление, совпадающее с направлением вектора а = АВ, а другой — направление, совпадающее с направлением оси и (рис. 2.12). Очевидно, на величину угла наклона вектора а к оси и не влияют выбор точки М выхода указанных выше лучей и замена оси и любой другой осью о, имеющей то же направление, что и ось и. Докажем следующее утверждение. Теорема 2.8.
Проекция вектора а на ось и равна длине вектора а, умноженнои на косинус гр угла наклона вектора а к оси и. Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим через о ось, проходящую через начало А вектора а и имеющую то же направление, что и ось и (рис. 2.12), и пусть С вЂ” проекция В на ось о. Тогда КВАС равен углу гр наклона вектора а = АВ к любой из осей и или о, причем точка С заведомо лежит в указанной на рис. 2.12 проецирующей плоскости )) (т.е. в плоскости, перпендикулярной оси и и проходящей через точку В). Далее, можно утверждать, что А'В' = АС '), ибо оси и и о параллельны и одинаково направлены и отрезки этих осей, заключенные между параллельными плоскостями сг и )з, равны. Так как по определению пр„а =А'В', то мы приходим к равенству (2.21) пр, а =АС.
Но величина АС представляет собой проекцию направленного отрезка АВ на ось о, которая (в силу п. 1 З 3 гл. 1) равна АС = ~ АВ ~ соз гр = ~а~ сов цз. Из сопоставления равенств (2.21) и (2.22) вытекает равенство пр, а = 1а! сакер. (2.23) Теорема доказана. О с н о в н ы е с в о й с т в а проекции вектора на ось заключаются в том, что линейные операции над векторами приводят к соответствующим линейным операциям над проекциями этих векторов (на произвольную ось). Именно справедливо следующее у т в е р ж д е н и е: При сложении двух векторов д, и «(в их проекции на произвольную ось и складываются.
При умножении вектора д, на любое ) Здесь под А'В' следует понимать величину направленного отрезка А'В' оси н, а под АС вЂ” величину направленного отрезка АС осн о. Вт линеиные Оперлции нлд векторлми число гх проекция этого вектора на произвольную ось и также умножается на число се. Доказательство этого утверждения отложим до и. 9. Описанные свойства проекции вектора на ось естественно назвать линейными свойствами. 9. Декартова прямоугольная система координат как частный случай аффинной системы координат. Как уже отмечалось выше, декартова прямоугольная система координат является частным случаем аффинной системы, отвечающей тройке взаимно ортогональных и единичных базисных векторов.
В случае декартовой прямоугольной системы базисные векторы принято обозначать не буквами а, Ь, с, а буквами 1, 1, 1с. Итак, каждый из векторов 1, 1, )с имеет длину, равную единице, причем эти три вектора взаимно ортогональны (обычно направления векторов 1, 1, к берут совпадающими с направлениями декартовых осей Ох, Оу и Оз соответственно). В силу основных результатов и. 7 каждый вектор д может быть, и притом единственным способом, разложен по декартову прямоугольному базису К1, (е, т.г. для каждого вектора д найдется, и притом единственная, тройка чисел Х, У и л ') такая, что справедливо равенство «( = Х!+ У1-~л 1с. (2.24) Числа Х, У, л называются декартовыми прямоугольными координатами вектора «(. Если М вЂ” любая точка пространства, то определенные в гл. 1 декартовы прямоугольные координаты этой точки совпадают с декартовыми прямоугольными координатами вектора ОМ .
Если вектор «1 имеет декартовы прямоугольные координаты Х, У, х, то мы будем использовать следующую символику: «1=(Х, У, г). Геометрический смысл декартовых прямоугольных координат вектора позволяет сделать следующее утверждение. Теорема 2.9. Декартовы прямоугольные координатея Х, У и Х вектора «( равнья проекииям этого вектора на оси Ох, Оу и Ог соответственно.
Д о к а з а т е л ь с т в о. В полной аналогии с рассуждениями, проведенными при доказательстве теоремы 2.6 (п. 6), приложим вектор к( к началу О декартовой системы и проведем через конец Т) этого вектора три плоскости, параллельные координатным плоскостям Оуг, Оха и Оху (рис. 2.13).
Точки пересечения указанных плоскостей с осями Ох, Оу и Оз соответственно обозначим буквами А, В и С. ) В слу гае декартовои прямоугольнон системы для координат вектора а вместо Л, и, у мы будем использовать обозначения Х, У, Х. ВектОРнля ллгевРл ~гл 2 Как и при доказательстве теоремы 2.6, получим, что г3 = ОА ьОВьОС Так как квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его сторон, то из равенств ОА = Х, ОВ = У и ОС = Х мы получим следующее выражение для длины вектора д через его координаты: ~ а ~ = гх'' + +~' + ~'. Из формул (2.26) и (2.27) вытекают следующие выражения для на- правляющих косинусов вектора д через координаты этого вектора: Х У сов сг = соз(3 = ° кт+к' Р г" .° «'+с л созу = ,Гхт+ ~' ° "г' (2.28) Дальнейшие рассуждения упомянутой теоремы (с учетом изменившихся обозначений) приводят нас к равенствам ОА = Х!, ОВ = У3, ОС = Лг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
