В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Аналитическая геометрия (1152752), страница 6
Текст из файла (страница 6)
В свмом аеле, пУсть, напРимеР, а = О и а, = О, т. е адат = ЬКЬт и Ьгуйз — — Ьгуьг Тогдз из этик пропорций получим, что адат =ьдьг, т, е, аз=о. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ 3. Определители третьего порядка. Рассмотрим квадратную матрицу, состоящую из девяти элементов: а, Ь, с, аз Ьз сз аз Ьз сз !Д1. 1О) Определителем трет ь его пор я дна,соответствующим матрице !Д1Л0), назьзвается число, равное а,Ьзсзч-Ь,сзазч-с,азЬз-с,Ьзаз-Ь,а,сз-а,сзЬз !Д!.1!) и обозначаемое символом а, Ь, с, аз Ьз сз аз Ьз сз Итак, по определению Ь, с, Ьз сз = а!Ьзсз ч- Ь,сзаз ч- с,азбз — с,Ьзаз — Ь,азсз — а,сзЬЗ. Ь сз а, а.
аз !Д1.12) а! Ь, .с, з / Ф 'Ьз сз Последние же три слагаемых, стоящих в !Д1.11) со знаком минус, пред- ставляют собой произведение элементов, взятых по три так, как указано различными пунктирами на следующей схеме: Как и в случае определителя второго порядка, элементы матрицы !Д1.10) будем называть элементами самого определителя. Кроме того, договоримся называть диагональ, образованную элементами ап Ьз и сз, главной, а дна~аваль, образованную элементами аз, Ь, и сн — побочной. Для запоминания конструкции слагаемых, входящих в выражение для определителя !Д1.11), укажем два правила.
Заметим, что первые три слагаемых, стоящих в (Д1.11) со знаком плюс, представляют собой произведение элементов определителя, взятых по три так, как указано различными пунктирами на нижеприведенной схеме: ДОПОЛНЕНИЕ К ГЛАВЕ ~ аь,цз с, а2,Ь2 ',,'с2 (, аз Ьз сз Правило составления шести слагаемых, входящих в выражение 1Д!.11) для определителя, опирающееся на указанные две схемы, обычно называют правилом треугольника. Укажеми другое п р а в и л о составлениявыражениядляопределителя, требующее еще меньшего напряжения внимания и памяти. Для этого к матрице, из которой составлен определитель, допишем справа первый, а затем второй столбец. В полученной при этом матрице а, Ь, с, а, Ь, а, Ь, с, аз Ьз аз Ьз с,з а, аз аз Ь, Ьз Ь, 1Д1. 13) С, Сз С, Для доказательства этого свойства достаточно расписать определители, стоящие в левой и в правой частях (Д1.13), по правилу треугольника сплошной чертой соединены три тройки членов, получаемые параллельным переносом главной диагонали и отвечающие трем слагаемым, входящим в выражение 1Д!.11) со знаком плюс; пунктирной же чертой соединены три другие тройки членов, получаемые параллельным переносом побочной диагонали и отвечающие трем слагаемым, входящим в выражение (Д1.11) со знаком минус.
4. Свойства определителей. В этом пункте мы установим ряд свойств определителей. Эти свойства мы будем формулировать и устанавливать применительно к определителям третьего порядка, хотя, конечно, они справедливы и для определителей второго порядка и, как выяснится позже 1см. выпуск «Линейная алгебра»), эти же свойства справедливы и для определителей любого порядка и (там же см. понятие определителя порядка и).
Свойство 1. Величина определителя не изменится, если строки и столбцгя этого определителя поменять местами, т.е. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ зо )гл ! (или подругому указанному в предыдущем пункте правилу) и убедиться в равенстве полученных при этом членов. Свойство 1 устанавливает полную равноправность строк и столбцов. Поэтому все дальнейшие свойства определителя можно формулировать и для строк, и для столбцов, а доказывать или только для строк, или только для столбцов. Свойство 2.
Перестановка двух строк(или двух столбцов) определителя равносильна умножению его на число — 1. Доказательство также получается из правила треугольника (мы предоставляем его читателю). Свойство 3. Если определитель имеет две одинаковые строки (или два одинаковых столбца), то он равен нулю. В самом деле, при перестановке двух одинаковых строк, с одной стороны, определитель Л не изменится, а с другой стороны, в силу свойства 2 он изменит знак на противоположный. Таким образом, Л = — а, т.е. 2Л = О, или тт = О. Свойство 4.
Умножение всех элементов некоторой строки (или некоторого столбца) определителя на число ).равносильно умножению определителя на это число ).. Иными словами, общий множитель всех элементов некоторой строки (или некоторого столбца) определителя можно выносить за знак этого определителя. Например, Хс, Ха, ХЬ, а Ь аз "з а, Ь, с, аа Ьа сз аз Ьз сз = А.
Для доказательства этого свойства достаточно заметить, что определитель выражается в виде суммы (Д1.12), каждый член которой содержит один и только один элемент из каждой строки и один и только один элемент из каждого столбца. Свойство 5. Если все элементы некоторой строки (или некоторого столбца) определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю. Это свойство вытекает из предыдущего (при ) = 0). Свойство б. Если элементы двух строк (или двух столбцов) определителя пропорциональны, то определитель равен нулю. В самом деле, в силу свойства 4 множитель пропорциональности можно вынести за знак определителя, после чего остается определитель с двумя одинаковыми строками, равный нулю, согласно свойству 3. Свойство 7.
Если каждый элемент и-й строки (или и-го столбци) определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, первый из которых имеет в и-й строке (в и-м столбце) первые из упомянутых слагаемых и те же элементы, что и исходный определитель, дополнение к главе. ~ в остальных строках 1столбцах), а второй определитель имеет в и-й строке 1в и-м столбце) вторые из упомянутьях слагаемых и те же эле- менты, что и исходный определитель, в остальных строках1столб- цах). Например, а,' + а," Ь; + Ь с,' + с," а Ь с аз Ь, с, а,' Ь, с,' а, Ь, с аз Ьз сз а, Ь," с," ж а Ь с аз Ьз сз Л = а|А, + Ь,В, +с, Сп Л = азАз + ЬзВз+ сзСз, Л = азАз + ЬзВз + сз Сз А=а,А, +азА,+азА,, Л=Ь~В, +Ь,В,+ЬзВ, Л = с, С, + сеСз + сзСз. 1Д1.14) 1Д!.15) Для доказательства этого свойства снова достаточно заметить, что определитель выражается в виде суммы слагаемых, каждое из которых содержит один и только один элемент из каждой строки и один и только один элемент из каждого столбца.
Свойство В. Если к элементам некоторои строки(или некоторого столбца) определителя прибавить соответствуюзцие элементы другой строки 1другого столбца), умноженные на произвольньяй множитель )„то величина определителя не изменится. В самом деле, полученный в результате указанного прибавления определитель можно (в силу свойства 7) разбить на сумму двух определителей, первый из которых совпадает с исходным, а второй равен нулю вследствие пропорциональности элементов двух строк (или столбцов) и свойства 6.
Для формулировки еще одного фундаментального свойства определителя нам понадобятся новые понятия. 5. Алгебраические дополнения и миноры. Соберем в выражении 1Д1.12) для определителя члены, содержащие какой-нибудь один элемент этого определителя, и вынесем указанный элемент за скобки; величина, остающаяся при этом в скобках, называется алгебраическим дополнением указанного элемента. Алгебраическое дополнение данного элемента мы будем обозначать большой латинской буквой того же наименования, что и данный элемент, и снабжать тем же номером, который имеет данный элемент.
Например, алгебраическое дополнение элемента Ьз будем обозначать через В„алгебраическое дополнение элемента а, — через Аз и т.д. Непосредственно из выражения для определителя (Д1.12) и из того, что каждое слагаемое в правой части (Д1. 12) содержит один и только один элемент из каждой строки и один и только один элемент из каждого столбца, вытекают следующие равенства: СИСТЕМЫ КООРДИНАТ ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ 32 !Гл ! Эти равенства выражают следующее свойство определителя: определитель равен сумме произведений элементов какои-либо строки (какого-либо столбца) на соответствующие алгебраические дополнения элементов этой строки (этого столбца). Равенства (Д1.14) принято называть разложением определителя по элементам соответственно первой, второй или третьей строки, а равенства (Д! .15) — разложением определителя по элементам соответственно первого, второго или третьего столбца.
Введем теперь важное понятие минора данного элемента определителя. М и н о р о м данного элемента определителя и-го порядка ') назьтвается определитель (и — 1)-го порядка, получаемыи из данного определителя путем вьтеркивания той строки и того столбца, на пересечении которых стоит даннтяй элемент. Ь, с, Например, минор элемента а, равен , минором элемента а, Ьа ст Ь, с, служит определитель , и т.д.
а а Предлагаем читателю самому убедиться в том, что алгебраические дополнения и миноры связаны между собой по следующему п р а в и л у: алгебраическое дополнениелюбого элемента определителя равняется минору этого элемента, взятому со знаком плюс, если сумма номеров строки и столбца, на пересечении котортях стоит даннтяй элемент, есть число четное, и со знаком минус — в противном случае. Таким образом, соответствующие алгебраическое дополнение и минор могут отличаться только знаком. Следующая таблица дает наглядное представление о том, каким знаком связаны соответствующие алгебраическое дополнение и минор: Установленное правило позволяет в формулах (Д1.14) и (Д1.15) разложения определителя по элементам строк и столбцов всюду вместо алгебраических дополнений писать соответствующие миноры (с нужным знаком).
Так, например, последняя из формул (Д1.! 4), дающая разложение определителя по элементам третьей строки, принимает вид а, Ь, с, Ь, с, а, с, и, Ь, и, Ь, са = аз — Ьз ч-сз . (Д1.!6) Ьа са аа са аа Ьа а Ь. ) В рассматриваемом случае и = 3 зз дОпОлнение к гллве ! В заключение установим следующее фундаментальное свойство определителя. Свойство 9. Сумма произведений элементов какого-лабо столбца определителя на соответствующие алгебраические дополнения элементов этого(другого) столбца равна величине этого определителя (равна нулю). Конечно, аналогичное свойство справедливо и применительно к строкам определителя. Случай, когда алгебраические дополнения и элементы отвечают одному и тому же столбцу, уже рассмотрен выше. Остается доказать, что сумма произведений элементов какого-либо столбца на соответствующие алгебраические дополнения элементов другого столбца равна нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
