В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Аналитическая геометрия (1152752), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Рассмотрим в пространстве декартову систему координат Охуг и точки М,(хп ун г,) и Ма(х,„у, гз) (рис. 1.9). Очевидно, расстояние р(МЗ, М;) между точками М, и М„равное длине направленного отрезка М,МЗ, равно также длине диагонали параллелепипеда, грани которого параллельны координатным плоскостям и проходят через точки М, и М, (на рис.
1.9 этот параллелепипед изображен штриховой линией). Длина параллельного оси Ох ребра этого параллелепипеда равна, очевидно, абсолютной величине проекции отрезка М,МЗ на ось Ох, т.е., согласно формуле (! .5), равна ~ ха - х, ~ . По аналогичным соображениям длины ребер, параллельных осям Оу и Ог, равны соответственно ~ уэ — у, ~ и ~ га — г, (.
ПРОСТЕИШИЕ ЗЛДЛЧИ ЛНЛЛИТИЧЕСКОИ ГЕОМЕТРИИ 3. Деление отрезка в данном отношении. Рассмотрим в пространстве две различные точки М, и М, и прямую, определяемую этими точками. Выберем на этой прямой некоторое направление (рис. 1.10). На полученной оси точки М, и М, определяют направленный отрезок М,М, . Пусть М вЂ” любая отличная от М, точка указанной выше оси.
Число (1.9) М,М отрезков. Поэтому отношение ' в правой части формулы (1.9) не ММЕ зависит от выбора направления на прямой М,Мз Рассмотрим задачу о вычислении координат точки М, делящей отрезок М~МЕ в отношении Х, считая известными координаты точек М, и Мз и число Х, где ), не равно — !. Рассмотрим в пространстве декар- х тову прямоугольную систему коордиРис нат Охуг, и пусть в этой системе координат точки Мп М, и М имеют соответственно координаты (хп уп г,), (х,, у„гз) и (х, у, г). Спроецируем точки Мь М, и М на координатные осн (на рис. 1.10 указаны лишь проекции Мы, Мз, и М, точек Мп Мз и М на ось Ох).
Очевидно, точка М,. делит направленный отрезок М„Мсх в отношении ),. Поэтому МОМ, М,М,, (1.! О) Согласно теореме 1.2 М„М,. = х — хо а М,.МЕ, = хз — х. Отсюда и из соотно- Х, Р )Х. шения (1.10) найдем, что х равняется . Совершенно аналогично 1-'; Х вычисляются координаты у и г точки М. Таким образом, х~ и)"хз У~+)"Ус х= , у= , г= 1эХ 1э). 1е)с называется отношением, в котором точка М делит направленный отрезок М Мз . Таким образом, любая, отличная от Мз точка М делит отрезок М,МЕ в некотором отношении )., где ). определяется равенством (1.9).
3 а м е ч а н и е ! . При изменении направления на прямой, проходящей через точки М, и Мз меняют знак величины всех направленных СИСТЕМЫ КООРДИНАТ ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ 20 !ГЛ ! Формулы (1.11) называются формулами деления отрезка в данном отношении ) . 3 а м е ч а н и е 2, Очевидно, если ). = 1, то точка М делит отрезок М,МЗ пополам.
Получающиеся при этом из соотношений (1.11) формулы называются формулами деления огпрезка пополам. 3 а м е ч а н и е 3, Для положительных значений ), точка М лежит между точками М, и Ма (в этом случае, как это видно из (1.9), отрезки М,М и ММЗ одинаково направлены), а для отрицательных значений— вне отрезка М,МИ 3 а м е ч а н и е 4. Соотношения (1.11) имеют смысл для любых значений Х ~ — 1. Этим, в частности, и объяснялось указанное ранее ограничение для значений ) . П р и м е р. Решим задачу о вгячислении координат центра тяжести системы материальных точек. Используем следующие два допущения, отвечающие известным физическим предпосылкам: 1) Центр тяжести системы из двух точек М, и Ма с массами соответственно т, и т, находится на отрезке М,М, и делит этот отрезок в отношении) =тз/тн 2) Центр тяжести системы точек Мн М„..„М„И М„с массами соответственно ть т,, т,, т„совпадает с центром тяжести системы из двух точек, одна из которых является точкой М, с массой т„, а другая находится в центре тяжести системы точек Мн Мм ...
„., М„, (с массами тн т.„..,, т,,) и имеет массу т, + т,е... ч-т„н Из первого допущения и формул (1.11) вытекает, что координаты х, у и г центра тяжести системы из двух точек М,(хн ун г,) и Мя(хз, ум г,) т1х1 + тзх2 т~у1 + тчуз с массами т, и тз равны соответственно ' ' ' ', 'у' зу' и т| '- тч т) ч тз т,г, + тгг, . Поэтому следует ожидать, что координаты х, у и г центра т, -~-т, тяжести системы из п точек М, (х„у„г,), 1 = 1, 2, ..., и, с массами т, мо- гут быть вычислены по формулам т,х, е ... ч- т„х„т,у, э ...
"; т„у„ х= "", у= т, +...+т„ т( е...-~-т„ (1.12) тлг1 е '' ч тчг г= В справедливости этих формул можно убедиться по индукции, если использовать второе допущение. В самом деле, пусть эти формулы справедливы для системы точек Мн ..., М„, с массами от ть ......, т„, Тогда, например, для абсциссы х рассматриваемой системы точек Мн ..., М„, 21 431 ПРОСТЕИШИЕ ЗЛДЛЧИ ЛНЛЛИТИЧЕСКОИ ГЕОМЕТРИИ согласно второму допушению и формуле для абсциссы х системы из двух точек, получим выражение т,х, е.., ем„,х„, (т, ч- ...
ч- т„,) ' ' " ' " ' е т,х„ т, ч-. ет„, х= (т, + ... ч- т„, ) э т, из которого сразу же вытекает первая формула (1.12). Выражения для у и а получаются аналогично. 3 а м е ч а н и е. Если система точек Лдг с массами то расположена в плоскости Оху, то координаты х и у центра тяжести этой системы могут быть найдены по первым двум формулам (1.12). (1 13) тг э пг э тз = 1, что диииая точка М (х, у) б)гдет центром тяжестп системы точек Мь Мз, Мз с массами тг, тг, т, соответственно. Ниже мы убедимся, чго при сформулированных требованиях числа ти ть тз определяются однозначно для каждой тоти М.
Они называются барацеитрическама координатами почки М относительно базисных точек Мь М, и Мз. Сформулированная задача о существовании чисел то тг, тз при условии (1.13) сводится, очевидно, к исследованию вопроса об однозначной разрешимости следующеи системы трех линейных уравнений ) относительно т и тг,тз. гпг э тт ч тз т,х,, тгхз э тгхг =х, югу ! ' тгуг е тзрз = У (1 14) Известно, что для однозначной разрешимости квадратнои системы линейных уравне- ний (система, у которой число уравнений равно числу неизвестных) необходимо и достаточно. чтобы определитель этой системы был отличен от нуля (см. Дополггегтие к этои шгаве) Для рассматриваемои системы этот определитель имеет вид ! 1 ! хг хг хз уг уз уз =(хз -х,)(уз-у,)-(хз-х,)(уз-у,).
) Последние два уравнения этан системы врсдставяяют собои следствия первых двух соотношений (1.12) и соотяошения (!.!3). 4. Барицентрические координаты. Формулы (1.!2) используются для введения так называемых барацеипраческах коордаиап. Рассмотрим барицентрические координаты на плоскости В целях упрощения рассуждении будем считать, что на плоскости введены и декартовы координаты Оху. Рассмотрим какие-либо три различные точки М,(хь у,), Ме(хг, уг), Мз(хм уз), пе лежащие яа алкой прямой, и любую данную точку М(х. У). Выясним, существуют ла покое три число ть тг, тз, удовлетворяющее условию СИСТЕМЫ КООРДИНАТ ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ 22 )гл 1 хз - х, ух - у~ Этот определитель отличен от нуля, иначе мы получили бы пропорцию — = — — =— хт — хг Ю вЂ” я и, обозначив кажлое нз указанных отношении через — Х(Хе — 1, нбо топки Мх и Мт различны), пришли бы с точностью до обозначении к первым двум равенствам (1.11) Это означало бы, что точка М, делит отрезок МзМт в отношении А, т е означало бы, что точки Мо Ме н Мз лежат на одной прямой.
Таким образом. система (1.14) олпозначно разрешима относительно то ть тз. Следовательно, положение любои точ- ки М на плоскости однозначно определяется относительно базисных точек гИь Мз.Мз этои плоскости посредством барицентрических координат ть тэ и тз. Барицентрические координаты в пространстве вводятся совершенно аналогично Дтя этого используются четыре базисные точки, не располагающиеся в одной плоскости. й 4.Полярные,цилиндрические нсферическиекоординаты 1. Полярные координаты.
Полярные координаты на плоскости вводятся следующим образом. Выберем на плоскости некоторую точку О (полюс) и некоторый выходящий из нее луч Ох (рис. 1.11). Кроме того, укажем единицу масштаба. Полярными координатами гп о ч к и М иазьгваюгпся два числа р игр, первое из которых (полярный радиус р) равно расстоянию точки М от полюса О, а второе (полярМг М ньш угол гр) — угол, на который нужно повернуть Р против часовой стрелки луч Ох до совмещения с лучом ОМ ).
Точку М с полярными координатами р и гробо- 0 М х значают символом М(р, гр). Рис 1.11 Для того чтобы соответствие между отличны- ми от полюса точками плоскости и парами полярных координат (р, гр) было взаимно однозначным, обычно считают, что р и гр изменяются в следуюгцих границах: (1. 15) О < р < ч- оо, О < гр < 2я.
3 а м е ч а н и е. В некоторых задачах, связанных с непрерывным перемещением точки по плоскости, требуется непрерывное изменение полярных координат этой точки. В таких задачах удобнее отказаться от ограничений для р и гр, указанных в соотношениях (1.15). Если, например, рассматривается враи(ение гпочки по окружности против часовой стрелки (р = сопз!), то естественно считать, что полярный угол этой точки может принимать, при большом числе оборотов, значения, ббльшие 2я. Если же рассматривается движение точки по прямой, проходящей через полюс ) При этом предполагается, ~то точка М отлична от полюса Для полюса О полярный радиус р равен нулю, а полярный угол неопределенныи, т.е, ему можно приписать, любое значение.
э«1 ПОЛЯРНЫЕ, ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ И СФЕРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ 23 (ср = сопз1), то естественно считать, что при переходе через полюс ее полярный радиус меняет знак. Закон изменения величин р и ср выясняется в каждом конкретном случае. Установим связь между полярньсми координатами точки и ее декартовыми координатами. При этом будем предполагать, что начало декартовой прямоугольной системы координат находится в полюсе, а положительная полуось абсцисс совпадает с полярной осью (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
