В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Аналитическая геометрия (1152752), страница 3
Текст из файла (страница 3)
1.1 изображены направленные отрезки АВ и СР ). Мы будем рассматривать также и так называемые нулевьге направленньге отрезки, у которых начало и конец совпадают. С каждым направленным отрезком сопоставляется его числовая характеристика — так Рис !.! называемая величина направленного отрезка. Величиной АВ направленного отрезка АВ называется число, равное длине отрезка АВ, взятой со знаком плюс, если направление АВ совпадает с направлением оси, и со знаком минус, если направление АВ противоположно направлению оси. Величины всех нулевых направленных отрезков считаются равными нулю. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ )4 )ГЛ ! 2.
Линейные операции над направленными отрезками. Основное тождество. Предварительно определим равенство направленных отрезков. Направленные отрезки мы будем перемешать вдоль оси, на которой они лежат, сохраняя при этом их длину и направ.тение ). Два ненулевых направленных отрезка называются рав~ьгми, если при совмещении начал этик отрезков совпадают и их концы.
Любые два пулевых на правлен ньгх отрезка считаются равньгми. Очевидно, необкодимым и достаточным условием равенства двух направленных отрезков на даннои оси является равенство величин этих отрезков. Линейными операциями над ыаправлеынымн отрезками будем называть операции сложения таких отрезков и умножения направленного отрезка на вещественное число. Перейдем к определению этих операций. Для определения с у м м ы направленных отрезков АВ и СР совместим начало С отрезка СР с концов! В отрезка АВ !рис. ! .2).
Полученный при этом направленный отрезок АР называется суммой направленных отрезков АВ и СР и обозначается символом АВ ж СР. Справедлива следуюшая основная теорема. Теорема 1.1. Вели чина суммы направленных отрезков равна сумме величин слагаемых отрезков. До к а за т е л ь ство. Пусть хотя бы один из отрезков АВ и СР является нулевым. Если, например, отрезок СР нулевой, то сумма АВ + С1) совпадает с отрезком АВ, и утверждение теоремы справедливо. Пусть теперь оба отрезка АВ и СР ненулевые.
Совместим начало С отрезка СР с концом Вотрезка АВ.Тогда АВ ж СР = АР. Нам нужно доказать справедливость равенства АВ + СР = АР . Рассмотрим случай, когда оба отрезка АВ и СР направлены в одну сторону(рис. 1.2). В этом случае длина отрезка АР равна сумме длин отрезков АВ и С1) и, кроме того, направление отрезка АР совпадает с направлением каждого из отрезков АВ и СР. Поэтому интересующее нас равенство АВ ч- СР = АР справедливо. Рассмотрим, наконец, еше один возможный случай, когда отрезки АВ и СР направлены в противоположные стороны !рис.
1.3). С' Р 0 С А В Рис. !.2 Рис !.3 В этом случае величины отрезков АВ и С1) имеют разные знаки, и поэтомудлинаотрезка АР равна !АВ+ СР!.Таккакнаправлениеотрезка АР совпадает с направлением наибольшего по длине из отрезков АВ и СР, ) Вопрос о возможности перемещения отрезков связан с аксиомами коигруэнтности !см, Приложение в конце книги и, а частности, сноску на с. 209) !б декартовы координлты нл прямои еп то знак величины отрезка АР совпадает со знаком числа АВ ь СР, т.е. справедливо равенство АВ ч- СР = АР. Теорема доказана. Следствие. При любом расположении точек А, В, С на числовой оси величинся направленнгях отрезков АВ, ВС и АС удовлетворяют соотношению АВч-ВС=АС, (1.1) которое называется основным тождеством, Операция умножения направленного отрезка на вещественное число и определяется следующим образом.
Произведением направленного отрезка АВ на число и называется направленный отрезок, обозначаемый и ° АВ, длина которого равна произведению числа )и~ на длину отрезка АВ и направление которого совпадает с направлением отрезка АВ при и > О и противоположно направлению АВ при и < О. Очевидно, величина направленного отрезка и АВ равна и АВ. 3. Декартовы координаты на прямой. Декартовы координаты на прямой вводятся следующим образом. Выберем на прямой определенное направление ) и некоторую точку Π— начало координат (рис. 1А).
Кроме того, укажем 1 единицу масштаба. Рассмотрим теперь произвольную точку М на прямой. Д е к а р т оРнс. Нл вой координатой х точки М будем называть величину направленного отпрезка ОМ . Тот факт, что точка М имеет координату х, символически обозначают так: М (х). 3 а м е ч а н и е. Введение декартовых координат на прямой представляет собой один из способов, с помощью которого любой точке М прямой ставится в соответствие вполне определенное вещественное число х.
Вопрос о том, исчерпывается ли при этом способе все множество вещественных чисел, т.е. будет ли указанное соответствие взаимно однозначным, положительно решается в Приложении в конце книги. (См. по этому поводу также Приложение к вып.!.) Пусть М,(х,) и М.,(ха) — две точки на оси. В следующем утверждении устанавливается выражение величины М,Ма направленного отрезка М,М через координаты х, и ха — его начала и конца. Теорема 1.2.
Величина М,М, направленного отрезка М,Мз равна ха-хь т.е, (1.2) ММ = Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим на оси три точки О, Мы М,. Согласно теореме 1.1 справедливо равенство (1 В) ОМ, +М,Мз=ОМж ) Напомним, нто прямая с указанным на ней направлением, называется осью СИСТЕМЫ КООРДИНАТ ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ !Гл ! Так как ОМ, = хо ОМз = хж то из 11.3) вытекает нужное нам соотношение (1.2). Теорема доказана. Следствие. Расстояние р (Мн Ма) между точками М!(х!) и М,(х,) может бь!ть найдено по формуле рГМПМ ) = !х — х, ~. 2 2. Декартовы координаты на плоскости и в пространстве 1. Декартовы координаты на плоскости. Две перпендикулярные оси на плоскости с общим началом и одинаковой масштабной единицей (рис. 1.5) образуют декартову прямоугольную систему координат на плоскости. Одну из указанных осей называют осью Ох или осью абсцисс, другую — осью Оу или осью ординат.
Эти оси называют также координатными осями. Обозначим через М,. и М~ соответственно проекции произвольной точки М плоскости на оси Ох и Оу. Декартовыми прямоугольнь!ми координатами х и у точкиМбудем называть соответственно вели чинь! направленных отрезков ОМ„и ОМ„. р Декартовы коордийаты х и у точки М называют- ся соответственно ее абсциссой и ординатой. Тот факт, что точка М имеет координаты х и у, символически обозначают так: М (х, у). Координатные оси разбивают плоскость на четыре квадранта, нумерация которых указана на рис. 1.6. На этом же рисунке указана расстановка знаков координат точек в зависимости от их расположения в том или ином квадранте.
2. Декартовы координаты в пространстве. Декартовы координаты в пространстве вводятся в полной аналогии с декартовыми координатами на плоскости. Три взаимно перпендикулярные оси в пространстве (координатные оси) с общим началом О и одинаковой масштабной единицей 1рис. 1.7) образуют декартову прямоугольную систему координат в пространстве. Одну из указанных осей называют осью Ох или осью абсцисс, другую — осью Оу или осью ординат, третью — осью Ог или осью оппли кит.
Г!усть М„М„ и М, — проекции произвольной точки М пространства на оси Ох, Оу и Ог соответственно. Декартовь!ми прямоугольными координатами х, у и г точки М будем называть соответственно величинь! направленнь!х отрезков ОМ,, ОМ„и ОМ, . 17 ПРОСТЕИШИЕ ЗАДАЧИ АНАЛИТИЧЕСКОИ ГЕОМЕТРИИ Декартовы координаты х, у и г точки М называются соответственно ее абсписсои, ординатой и аппликатой.
Тот факт, что точка М имеет координаты х, у и г, символически обозначают так: М (х, у, г). Рис. Е7 Рис 16 Попарно взятые координатные оси располагаются в так называемых координатных плоскостях хОу, уОг и гОх (рис. 1.7). Эти плоскости разбивают пространство на восемь октантов. Читатель без труда выяснит расстановку знаков координат точек в зависимости от их расположения в том или ином октанте. ф 3. Простейшие задачи аналитической геометрии 1. Понятие направленного отрезка в пространстве. Проекция направленного отрезка на ось. Отрезок в пространстве называется направленнсям, если указано, какая из его граничных точек является началом и какая — концом. Как и в п.
1 ф 1 этой главы символом АВ будем обозначать направленный отрезок с началом в точке А и концом в точке В. Рассмотрим в пространстве направленный отрезок М,Мя и ось Ох (рис. 1.8). При этом будем считать, что на оси Ох введены декартовы координаты точек. Проекцией направленного отрезка М,Мз на ось Ох (прои М,МЗ ) называется величина направленного отрезка МыМзи, началом М„.
которого служит проекция начала отрезка М,Ма, а концом ̄— проекция конца отрезка М,Мз. Пусть точки Мы и Ма, имеют на оси Ох координаты х, и х, соответственно. Из определения про, М,МР и теоремы 1,2 вытекает справедливость соотношения (1.5) прои ЯМЗ Установим еще одну формулу для вычисления про,. М,МЗ . Для этого перенесем направленный отрезок М,М, параллельно самому себе так, чтобы его начало совпало с какой-либо точкой оси Ох (на рис. 1.8 этой точкой является точка М„). Обозначим через ср наименьший угол между направлением оси Ох и направлением отрезка МпМЗ,, полученного СИСТЕМЫ КООРДИНАТ ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ !ГЛ ! Рис. Ез Рис. Е9 Используя теорему Пифагора, получим следующую формулу для р (Мь М,): р(МИ Ма) = (1.7) 3 а м е ч а н и е.
Формула расстояния между двумя точками в случае их расположения в плоскости Оху имеет следующий вид: указанным выше параллельным переносом отрезка М,МЗ . Отметим, что угол ср заключен между О и и. При этом очевидно, что угол ср острый, если направление отрезка МЫМЗ, совпадает с направлением Ох, и тупой, если направление МЫМа, противоположно направлению Ох.
Используя это, легко убедиться в справедливости следующей нужной нам формулы: про, М,МЗ вЂ” — ~ М,Ма ~ соз ср, (1.6) в которой ~ М,Ма ~ обозначает длину отрезка М,МЗ . 2. Расстояние между двумя точками. В этом пункте мы установим формулу для вычисления расстояния между двумя точками по известным координатам этих точек. Эта задача уже решена для случая точек на прямой в п. 3 Э ! этой главы (см. формулу (1.4)). Ради определенности подробно остановимся на случае, когда точки расположены в пространстве.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
