В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Аналитическая геометрия (1152752), страница 2
Текст из файла (страница 2)
' = — — -'- к плоскости щ л ЛхэВрч Сгч 0=01139) 8 Связка пряиык !139) Некоторые задачи на прямую и плоскость в пространстве 1 Усзпвие пересечения трех пласкостеи в однои и только в однои точке !140) 2 Нахождение биссе ктральн их ил оскостеи лву гран на го угла, образованного лвумя данными плоскостями Н40) 3 Условия, при котпрых данная плоскость пересекает данныиотреюкЛВП41) 4 Определение местоположениядвухданныхточекАи В относительно двуграииых углов, образованных данными плоскостями 1141) 5 Уравнения прямой, проходя шеи через данную точку М !хи уи з ) и пер не иди ку. лирнои даннои плоскости Ах ь Вр э Сз ь О = О !141) 6 Уравнение плоскости, проходящей через данную точку Мв)хв, ул, з„) и парад.лелыюй задаинаи плоскости А хэ В у э С зэ В, =0!141) 7 Уравнение плоскостипроходвшеичереззаданнуюточ- ОГЛАВЛЕНИЕ Г л а н а 7 Поверхности второго порядка 184 184 $1 Понятие поверхности второго порядка ..
1 Преобразование коэффициентов уравнения поверхности второго порядка прн перехаае к казан декартовой системе каорлннат(1851 2 Инварианты ураваення поверхности второго парялка(1861 3 Центр поверхности втараы порядка(187) 4 Станаартное упрощение любага уравнения поверхности второго парялка путем поворота осей(1871 9 2 Классификация поверхностен второго порядка 1 Классификация центраавных поверхностей (1891 2 Классг~фнкацня нецентральных поверлнастен второго порядка (192! 9 3. Исслелонание формы поверхностен второго порядка по их каноническим уравнениям 1 Эллипсоид(1941 2 ГнпероазаиаыП961 3 Параболонлы(1981 4 Конус и цнлннлры второго порядка (2001 5 Пряллазнненные образующие поверхностен второго парялка(2021 189 П р и л о ж е н и е. Проблемы оснований геометрии и обоснования метода координат 205 9 1 Аксиомы элементарнаи геометрии 205 1.
Аксиомы принадлежности (2051, 2. А кон аллы порядка (2071. 3. Аксиомы кон груэнтнасти(209). 4 Аксиомы непрерывности (2 Н1 5. Обоснование метала каарли наг (21 П 6 Аксиома параллельности(236) 9 2. Схема доказательства непротиворечивости геометрии Евклида ........
217 6 3. Схема доказательства непротиворечивости геометрии Лобачевского 220 9 4. Заключительные замечания о проблемах аксиоматики ............. 222 ОТ РЕДАКТОРОВ СЕРИИ Данный выпуск серии представляет собой учебник по курсу аналитической геометрии.
Кроме традиционно излагаемого материала, он содержит изложение некоторых вопросов, находящих применение в физике и в теоретической механике гпонятие о барицентрических координатах, выяснение роли углов Эйлера в вопросах преобразования координат, представление произвольного преобразования в виде трансляции и одного поворота в пространстве, оптические свойства кривых второго порядка и т.п.). Представляет интерес и приложение, содержащее аксиоматику Гиль- берта, обоснование метода координат и дающее представление о неевклидовой геометрии. А. Тихонов, В.Ильин,А. Свешников ПРЕДИСЛОВИЕ Эта книга возникла на основе лекций, читавшихся авторами на физическом факультете МГУ в течение ряда лет.
Отметим некоторые особенности изложения. Во-первых, отметим, что по всей книге идет параллельное рассмотрение случаев плоскости и пространства. Весьма подробно излагается векторная алгебра. При ее изложении сразу же вводится понятие линейной зависимости векторов, н на его основе устанавливается возможность однозначного разложения вектора по аффинному базису. Отличаются от общепринятых доказательство распределительного свойства векторного произведения и формулы для двойного векторного произведения.
В связи с потребностями теоретической механики детально рассматривается преобразование декартовых прямоугольных координат. Выясняется роль углов Эйлера и устанавливается, что, каковы бы ни были два базиса одной ориентации, один из них может быть преобразован в другой посредством параллельного переноса и одного поворота вокруг некоторой оси в пространстве.
При описании линейных образов, наряду с изложением традиционного теоретического материала, рассмотрено большое число задач идейного характера. Нам кажется, что разбор этих задач принесет пользу студентам, приступаюшим к упражнениям. Не оставлены без внимания и имеющие прикладной характер вопросы теории образов второго порядка (оптические свойства, полярные уравнения и т.п.). Приложение к книге содержит материал, не входящий в традиционные курсы аналитической геометрии. Здесь дается представление об аксиоматике Гильберта. Проводится обоснование метода координат, дается представление о системе развертывания основных геометрических понятий, об евклидовой и неевклидовой геометриях и о доказательствах их непротиворечивости. По программе, действующей в настоящее время, этот материал не входит ни в один математический курс.
Тем не менее этот материал актуален не только с точки зрения логических принципов построения геометрии, но и для понимания ряда разделов современной физики. При написании этой книги мы широко пользовались советами и дружеской критикой А.Н. Тихонова и А.Г. Свешникова, которым приносим свою глубокую благодарность. Нам хочется также поблагодарить Н.В. Ефимова и А.Ф. Леонтьева за прочтение рукописи и сделанные ими замечания. 1968 г.
В. Ильин, Э. Позняк ВВЕДЕНИЕ Аналитическая геометрия имеет своей задачей изучение свойств геометрических объектов при помощи аналитического метода. В основе этого метода лежит так называемый метод координат, впервые систематически примененный Декартом ). Основные понятия геометрии (точки, прямые линии и плоскости) относятся к числу так называемых начальных понятий. Эти понятия можно описать, но всякая попытка дать определение каждого их этих понятий неизбежно сведется к замене определяемого понятия ему эквивалентным.
С научной точки зрения логически безупречным методом введения указанных понятий является аксиоматический метод, в развитии и заверд шенин которого величайшая заслуга принадлежит Гильберту ). Аксиоматический метод излагается в Приложении в конце настоящей книги. Там дается представление о всей системе аксиом геометрии но так называемой неееклидоеои геометрии, к которои приводит замена одной из аксиом (так называемой аксиомы параллельности) утверждением, ее отрицающим. Там же выясняется вопрос о непротиворечивости как евклидовой, так и неевклидовой геометрии и устанавливается, что конкретной реализацией совокупности объектов, удовлетворяющих аксиомам геометрии, является введение точек как всевозможных упорядоченных троек (х, у, г) вещественных чисел, прямых — как множества троек (х, у, г), удовлетворяющих системе двух линейных уравнений, и плоскостей — как множества троек (х, у, г), удовлетворяющих одному линейному уравнению.
Аксиоматический метод закладывает фундамент и для лежзщего в основе аналитической геолтетрии метода координат. Ради простоты рассмотрим вопрос о введении координат на прямой. Возможность введения координат на прямой основывается на возможности установления езаимнооднозначноеосоотеетстеия междумножестеомесехточекпрямои и множеством всех вещественных чисел.
Доказательство возможности установления такого соответствия базируется на аксиомах геометрии и на аксиомах (свойствах) множества вещественных чисел ') и приводится в з Приложении к настоящей книге. ') Рене Декарт — великий французскии математик н философ (1596 — 1656), ) Давид Гильбсрт — великии немецкии математик (!869-)943) ) Свойства вещественных чисел и аксиоматическин метод введения множества вещественных чисел излагаются в гл 2 и в Приложении к вывуску ) настоящего курса 12 ВВЕДЕНИЕ Таким образом, в Приложении к настоящей книге читатель найдет обоснование как системы развертывания основных геометрических понятий, так и лежащего в основе аналитической геометрии метода координат.
Метод координат представляет собой глубокий и мощный аппарат, позволяющий привлекать для исследования геометрических объектов методы алгебры и математического анализа. ГЛАВА 1 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ. ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ В этой главе вводятся декартовы координаты ) на прямой, на плоскости и в пространстве. Рассматриваются простейшие задачи аналитической геометрии (расстояние между двумя точками, деление отрезка в данном отношении). Дается понятие о других системах координат (полярных, цилиндрических и сферических). ф 1. Декартовы координаты иа прямой Ось ) Коордпнажь«(ог латинских слов со — совместно, огйпв)пз — упорядоченный, опрепеленный) — числа, заданием которых определяется положение точки нз прямои, на плоскости или в пространстве !соогвегсгвенно на линии или нв поверкности) Заслуга введения метода координат, с помонгью которого задачи геометрии могут быть истолкованы пз языке математического анализа, н, обратно, факты анализа могут приобрести геометрическое толкование, принадлежит фрвнцузскоь«у ученому Р Декарту ) В Приложении в конце эгон книги рассматривается зксиомвтн «еское ввслсние основных геометрических понятии !гочек, прямых.
плоскосгеи) Кроме того, в этом же Приложении устанавливается связь между геометрическим понятием прямой линии и понятном числовой осп )см. вып, ! сысновы математического вязлнзз«). 1. Направленные отрезки иа оси. Прямую лияию ') с указанным на ней направлением будем называть осью. Отрезок на осн называется направленным, если указано, какая нз его граничных точек является началом и какая — концом. Будем обозначать направленный отрезок с началом в точке Л и концом в точке В символом АВ (на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
