В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Аналитическая геометрия (1152752), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Для доказательства свойства 4' определим вектор а', противоположный вектору а, как вектор, коллинеарный вектору а, имеющий одинаковую с вектором а длину и противоположное направление ). Очевидно, что взятая, согласно определению 1, 2 сумма вектора а с таким вектором а' дает нулевой вектор. В а О Рис. 2 4 Рис 23 Для доказательства свойства 1' приложим два произвольных вектора а и Ь к общему началу О (рис. 2.4). Обозначим буквами А и В концы векторов а и Ь соответственно и рассмотрим параллелограмм ОВСА. Из определения равенства векторов следует, что ВС = ОА = а, АС = ОВ = Ь.
Из определения 1 и из рассмотрения треугольника ОАС следует, что диагональ ОС указанного параллелограмма представляет собой сумму векторов а+ Ь, а из рассмотрения треугольника ОВС следует, что та же самая диагональ ОС представляет собой сумму векторов Ь+ а. Тем самым свойство 1 установлено. Остается доказать свойство 2'. Для этого приложим вектор а к произвольной точке О, вектор Ь к концу вектора а и вектор с к концу векто- ') См, внп, 1, гл, 2.
) Для получения А' достаточно поменгпь местами начало и конец вектора А. линеиные оперлции нлд векторлми 45 ра Ь (рис. 2.5). Обозначим буквами А, В и С концы векторов а, Ь и с соответственно. Тогда (а+Ь)+с = (ОА+АВ) 4. ВС = ОВ;-ВС = ОС, а ч (Ь 4- с) = ОА + (АВ + ВС) = ОА + А С = ОС, т.е. свойство 2' доказано. 3 ам е ч а н и е !.
При доказательстве свойства !' обосновано еще одно правило сложения векторов, называемое правилом параллелограмма: если векторы а и Ь приложены к общему началу и на них построен параллелограмм, то сумма а+ Ь (или Ь+ а) этих векторов представляет собой ьв диагональ указанного параллелограмма, иду- Ьэс 1 эс с щую из общего начала векторов а и Ь ). с Доказанные свойства !'-4' позволяют опери- ~„,с\ ровать с суммой векторов так же, как с суммой Ь,Ь)" вещественных чисел.
В частности, при сложении О трех векторов а, Ь и с нет необходимости указывать, как мы понимаем сумму а+ Ь+ с (как а+(Ь+с) или как (а+Ь)+с). Свойства !' — 4' позволяют нам распространить правило сложения на сумму любого конечного числа векторов. При этом нет необходимости производить сложевз Аз ние последовательно, фиксируя каждый промежуточный результат; сумма любого числа векторов может в, быть построена с помощью следующего п р а в и л а: и лг если приложить вектор ая к концу вектора аь вектор аз к концу вектора ая,..., вектор а„к концу вектора а„п то сумма а, + ад + ав+... + а„будет представлять собой вектор, идущий из начала вектора а, в конец вектора а„.
Рис. 2.6 Сформулированное правило сложения, проиллюстрированное на рис. 2.6, естественно назвать правилом замьгкания,гоманои до многоугольника (на рис. 2.6 ломаная ОА,АгАз ... А, замыкается до многоугольника путем добавления звена ОАв ). Наконец, свойства !' — 4' позволяют исчерпывающим образом решить вопрос о вычитании векторов. Определение 2. Раз н ос т ь ю а — Ь векгпора а и вектора Ь называется такой вектор с, который в сумме с вектором Ь дает вектор а.
Рис. 2.5 Аг а, О мч ) Следует особо оговорить случаи, когда векторы в и Ь коллииеврны В эхом случае пврвллелогрвмы. построенный нв векторах в и Ь. вырождается в отрезок, понятие его ливгоизли теряет смысл, в сумма векторов в и Ь может быть получепв из определения 1. 46 Вектогнля ллгевгл ~гл а С помощью свойств 1' — 4' элементарно доказывается, что существует, и притом единственный, вектор с, представляющий собой разность а — Ь, причем этот вектор равен с = в+ Ь', где Ь' — вектор, противоположный Ь.
В самом деле, если с = а+ Ь', то на основании свойств 1' — 4' с+Ь=(в+Ь)+Ь=а+(Ь+ Ь) = а+О = а, т.е. вектор с представляет собой разность а — Ь. Убедимся теперь в однозначности разности в — Ь. Предположим, что, кроме вектора с = а+ Ь', существует еще один вектор д такой, что д+Ь=а. Тогда, с одной стороны, (с(+Ь)+Ь'= а+Ь'=с, с другой стороны, (д + Ь) + Ь' = д + (Ь + Ь) = д + О = д, т. е. с = д. Непосредственно из определения 2 и из правила треугольника сложения векторов вытекает следующее и р а в н л о п о с т р ое н и я р а з н о с т и а — Ь: разность а — Ь приведенных к общему началу векторов а и Ь представляет собои вектор, идущий из конца вьтитаемого вектора Ь в конец уменыиаемого вектора а.
Это правило иллюстрируется на рис. 2.7. Перейдем, наконец, к рассмотрению операции умножения вектора на вещественное число. Определение 3. П р о и з в е д е н и е м аа (или аа) в е к т о р а в на вещественное ч и ело а называется вектор Ь, коллинеариый вектору а, имеющий длину, равную 1гх~ ° ~ в ~, и имеющий а а-Ь направление, совпадающее с направлением вектора а в случае а > О и противоположное направлению вектора в в случае а < О. Ь 0 3 а м е ч а н и е 2. В случае, когда гх = О или а = О, произведение аа представляет собой нулевой вектор, Рис ты направление которого неопределенно. Геометрический смысл операции умножения вектора на число можно выразить так: при умножении вектора в на число а вектор а «растягивается» в гх «раз». Конечно, надо тут же оговорить условность термина «растягивается», ибо действительное растяжение происходит лишь прн а > 1; при О < о'.< 1 происходит не растяжение, а сжатие, а при отрицательном сь, кроме растяжения (при ! а ) > 1) илн сжатия (при ) ст ) < 1), происходит еще изменение направления вектора на противоположное.
Операция умножения вектора на число обладает следующими тремя свойствами: 5" а(а+ Ь) = аа+ сгЬ (распределительное свойство числового сом но- жителя относительно суммы векторов); 6' (а+ 1))в = гха + ))а (распределительное свойс~во векторного сомножителя относительно суммы чисел); ЛИНЕИНЫЕ ОПЕРЛЦИИ НЛД ВЕКТОРЛМИ 47 ВΠ— = — Х, ОА 12. 1) ) Термин «растяжение» следует понимать в указанном выше условном смысле Рисунок 2 8 отвечает случаю а > ) .
з) Тривиальный случай, когда вектор Ь нулевои н направление его неопределенно, можно исключить из рассмотрения. ибо в этом случае равенство Ь =ха реализуется при Х = О. ) В этом случае векторы а и Ь совпадают и равенство Ь = Ха реализуется при Л = ) 7' о)1))а) = 1а)з)а (сочетательное свойство числовых сомножителей). Для доказательства свойства 5' приложим векторы а и Ь к общему началу О и построим на них параллелограмм, диагональ которого будет представлять собой сумму а+ Ь !рис.
2.8). При «растяжении» ') сторон этого параллелограмма в се раз в силу свойств подобия диагональ также «растягивается» в а раз, но это и означает, что сумма аа + ссЬ равна тх(а + Ь). Свойства 6' и 7' почти очевидны из нагляд- О иЬ ных геометрических соооражений. С учетом Рис 2 8 оговоренной выше условности термина «растяжение» свойство б' означает, что при «растяжении» вектора а в 1сг+ !з) раз получается такой же вектор, как при сложении вектора а, «растянутого» в о) раз, с вектором а, «растянутым» в )) раз. Свойство 7' в тех же терминах означает, что при «растяжении» вектора а сначала в !з раз, а потом еще в о) раз получается такой же вектор, как и при «растяжении» вектора а сразу в гг)) раз. Итак, мы установили, что линейные операт)ии над векторами обладают свойствами 1' — 7'.
Эти свойства имеют фундаментальное значение, ибо они позволяют производить выкладки в векторной алгебре по тем правилам, по которым производятся аналогичные выкладки в обычной алгебре. В заключение докажем следующее утверждение. Теорема 2.!. Если вектор Ь коллинеарен ненулевому вектору а, то существует вещественное число Л. такое, что Ь = Ха. Д о к а з а т е л ь с т в о. Приложим векторы а и Ь к общему началу О.
Тогда эти векторы расположатся на одной прямой, на которой мы выберем начало отсчета, масштабный отрезок и положительное направление. Возможны два случая: 1) векторы а и Ь направлены в одну сторону; 2) указанные векторы направлены в противоположные стороны ). На рис. 2.9 изображен первый из указанных случаев. Обозначим буквами А и В концы векторов а и Ь соответственно и заметим, что, поскольку вектор а ненулевой, точка А отлична от О. Но тогда, исключив тривиальный случай совпадения точек А и В '), мы 1в силу п.
3 9 3 гл. !) можем утверждать, что точка О делит направленный отрезок ВА в некотором отнотиении, которое мы обозначим через -), т.е. Векторнля ллгевРл )гл з или, что то же самое ), ОВ=Л ОА. (2.2) В случае, когда векторы а и Ь направлены в одну сторону (как на рис. 2.9), точка О лежит вне отрезка ВА, и потому отношение 12.1) отрицательно, а Л > О. Если же векторы а и Ь направле° р* ° .*р .,*.. о внутри отрезка ВА, и по~ему отношение (2.1) поло- А В жительно, а Л <О. Докажем, что в обоих случаях Ь = Ла. Достаточно доказать, что два вектора Ь и Ла 1) коллинеарны; 2) имеют одинаковую длину, 3) имеют одинаковое направление.
Коллинеарность векторов Ь и Ла вытекает из коллинеарности векторов а и Ь и определения произведения вектора на число. Равенство длин векторов Ь и Ла непосредственно следует из определения произведения вектора на число и соотношения (2.2). Наконец, тот факт, что векторы Ь и Ла имеют одинаковое направление, следует из определения произведения вектора на число и из того, что Л > О, когда а и Ь одинаково направлены, и Л < О, когда а и Ь противоположно направлены.
Теорема доказана. 3. Понятие линейной зависимости векторов. Л и н е й н о й к о мб и н а ц и е й и векторов ан а,, ..., а„будем называть сумму произведений этих векторов на произвольные веществеиньш числа, т.е. выражение вида (2.3) се)а, ч- гдзаа+ ... + сг„арн где а), ат, ..., а„— какие угодно вещественные числа. Определение 1. Векторьч аь аа, ..., а„называются л и н е й и о з ав и с им ы м и, если найдутся такие вещественные числа ир, аа, ..., а„, из которых хотя бы одно отлично от нуля, что линейная комбинация векторов аь аа, ..., ал с указаниьчми числами обращается в нуль, т.е. имеет место рзвенство а)а, + азав+ ... + седа„=О.
Векторы ан ам ..., а„, не являющиеся линейно зависимыми, будем иазьиать линейно независимтями. Дадим другое определение линейно независимых векторов, основанное на логическом отрицании содержания определения 1. Определение 2. Векторы ан а,, ..., а„называются л и и ей и о н е з а в и с и м ы м и, если равенство нулю их линейной комбинации 12 3) возможно лишь в случае, когда все числа ар, а,, ..., аа равны нулю.
Имеют место следующие два утверждения. Теорема 2.2. Если хотя бьр один из векторов ан а,, ..., ал является нулевым, то эти векторы являются линейно зависимыми. ) Здесь под ОА н ОВ следует понимать величины нанравленнык отрезков лииеиные оперлнии нлд ВектоРлми Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть, ради определенности, вектор а, является нулевым ), а остальные векторы аз, ..., а„произвольны. Тогда обращается в нуль линейная комбинация (2.3) указанных векторов с числами а~ = 1, аз = аз = ... = а„= О, одно из которых отлично от нуля. Теорема доказана. Теорема 2.З.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
