В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Аналитическая геометрия (1152752), страница 5
Текст из файла (страница 5)
1.11). Пусть точка М имеет декартовы координаты х и у и полярные координаты р и ср. Очевидно, х=р сов ср, у=рз!пср. (1.16) Полярные координаты р и ср точки М определяются по ее декартовым координатам х ну, очевидно, следующим образом: р =,/х~ + у . Для того чтобы найти величину угла ср, нужно, используя знаки х и у, определить квадрант, в котором находится точка М (см. и.
1 $ 2 этой главы и рис. 1.6), и, кроме того, воспользоваться тем, что тангенс угла ср равен у сх. 2. Цилиндрические координаты. Цилиндрические координаты в пространстве вводятся следующим образом. Выберем на фиксированной плоскости П некоторую точку О и выходящий из нее луч Ох (рис. 1.12).
Кроме того, рассмотрим ось Ог, проходящую через О перпендикулярно плоскости П. Пусть М вЂ” любая точка пространства, Л! — проекция этой точки на плоскость П, а М, — проекция М на ось Ог. Цил и ндр ичес к им и к о ар ди и от а м и т о чк и М называются три числа р, ср и г, первые два из которых (р и ср) являются полярными координатами точки О1 в плоскости П относительно полюса О и полярной оси Ох, а число г есть величина отрезка ОМ,. Точку М с цилинд- Рис 1.12 рическими координатами р, ср и г обозна- чают М (р, ср, г).
Наименование «цилиндрические координаты» связано с тем, что координатная поверхность р = сопз! (те. иове рхн ость, все точки которой имеют одну и ту же координату р) является цилиндром, прямолинейные образуюшие которого параллельны оси Ог (на рис. 1. ! 2 такой цилиндр изображен штриховыми линиями). Если выбрать оси декартовой прямоугольной системы координат Охуг так, как указано на рис. !.12, то декартовы координаты х, у, г точки М будут связаны с ее цилиндрическими координатами р, ср, г соотношениями х = р соз ср, у = р гйп ср, г = г. (1. 17) 3 а м е ч а н и е. Так как первые две цилиндрические координаты р и «р являются полярными координата,ии проекции )У точки М на плоскость П, то к этим двум координатам относятся замечание и выводы, сделанные в предыдушем пункте.
СИСТЕМЫ КООРДИНАТ ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ 24 1гл 1 Сферические координаты. Для введения сферических координат в транстве рассмотрим три взаимно перпендикулярные оси Ох, Оу и О общим началом О (рис. 1.13). Пусть М вЂ” любая, отличная от О т пространства, тУ вЂ” ее проекция на плоскость Оху, р — расстояние М от О. Пусть, далее, 0 — угол, который образует направленный отрезок ОМ с осью а, а гр — угол, на который нужно повернуть против часовой стрелки ось Ох ) до совмещения с лучом Оттг. Углы 0 и гр называют широтой и долготой соответственно. \ Сферическими координатами точки Мназогеаются три числа: р, сри 0 ).
Наименование «сферические координатыь связано с тем, что координатная поверхносто р = сопз1 1т.е. поверхность, все точки которой имеют одну и ту же координату р) является сферой (на рис. 1.13 такая сфера изображена штриховой линией). Для того чтобы соответствие между точками пространства и тройками сферических координат 1р, ср, О) было взаимно однозначным, обычно считают, что р и тр изменяются в следующих пределах: х Рис 1.13 0<р<ч-сю, 0<гр<2к. Координата 0 по самому определению заключена между 0 и я. Отметим, что в задачах, связанных с непрерывным перемещением точки в пространстве, часто отказываются от указанных ограничений на изменение сферических координат 1см.
замечание в п. 1 этого параграфа). Если выбрать оси декартовой прямоугольной системы координат так, как указано на рис. 1.13, то декартовы координаты х, у, а точки М связаны с ее сферическими координатами р, ср, 0 соотношениями х=ргйп0созгр, у=рз)п0з)пгр, а=рсоз0. (1.18) ДОПОЛНЕНИЕ К ГЛАВЕ 1 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ВТОРОГО И ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКОВ 1.
Понятие матрицы и определителя второго порядка. Прямоугольную таблицу из чисел, содержащую произвольное число т строк и '1 Если при этом смотреть на вращение Ох со стороны положительного направления осн Ол. 1 Если точка А4 совпадает с точкой О, то р = О Для точки О координаты Чг и а не имеют определенного значения ьт ПОЛЯРНЫЕ, ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ И СФЕРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ 25 произвольное число и столбцов, называют матра!(ей. Для обозначения матрицы используют либо сдвоенные черточки, либо круглые скобки. Например, или 72 1 О 2 5 !31 7,2 1 О -9 7 6 Если число строк матрицы совпадает с числом ее столбцов, то матрица называется квадратной. Числа, входящие в состав матрицы, обычно называют ее элементами.
Рассмотрим квадратную матрицу, состоящую из четырех элементов: а, Ь, а, Ь (Д1.1) Определителем второго порядка,соответстеуюи(им матрице (Д1.1), называется число, равное а, Ь, — ааЬ! и обозначае- моесимволом а, Ь, аз Ьз Итак, по определению а, Ь, = а!Ьз — азЬР а, Ьь (Д1.2) ап ч-ь,у=йн азх+Ь у=ь (Д1.З) Элементы, составляющие матрицу данного определителя, обычно называются элементами этого определителя.
Справедливо следующее у т в е р ж де н и е: для того чтобы определитель второго порядка был равен нулю, необходимо и достаточно, чтобсч элементы его строк (или соответственно его столбцов) б!Яли пропорциональны. Для доказательства этого утверждения достаточно заметить, что каждая из пропорций а!/аз = Ь!/Ь, и а,(Ь! = аз/Ьз эквивалентна равенству а, Ь, = азЬ|, а последнее равенство в силу (Д1.2) эквивалентно обращению в нуль определителя. 2.
Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Покажем, как применяются определители второго порядка для исследования и отыскания решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными СИСТЕМЫ КООРДИНАТ ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ !Гл ! (коэффицненты он Ьп а,„Ьз и свободные члены 6, и Ьз считаются при этом заданными). Напомним, что пара чисел хо, уо называется решением системы (Д1.3), если подстановка этих чисел на место х н у в систему (Д1.3) обращает оба уравнения (Д1. 3) в тождества. Умножая первое уравнение системы (Д1.3) на Ьн а второе — на — Ь, и затем складывая полученные при этом равенства, будем иметь (Д1.4) (а, Ьз- азЬ ~) к = Ьзб, - 616щ Аналогично путем умножения уравнений системы (Д1.3) на — аз и а, соот- ветственно получим (Д1.5) (а, Ьз — азЬ;) У = а,6, — изб п Введем следующие обозначения: Ьз С помощью этих обозначений и выражения для определителя второго порядка уравнения (Д1.4) и (Д1.5) могут быть переписаны в виде (Д1.
7) х=А,, А у=А„. Определитель А, составленный из коэффициентов при неизвестных системы (Д1.3), принято называть определителем этой системы. Заметим, что определители А, и А, получаются из определителя системы А посредством замены первого или соответственно второго столбца свободными членами. Могут представиться д в а с л у ч а я: 1) определитель б системы отличен от нуля; 2) определитель этот равен пулю.
Рассмотрим сначала случай А е О. В этом случае из уравнений (Д1.7) мы сразу же получаем формулы для неизвестных, называемые формулами Крамера: х=Л,)А у=А„/Л, (Д1.8) Полученные формулы Крамера (Д1.8) дают решение системы (Д1.7) и потому доказывают единственность решения исходной системы (Д1.3). В самом деле, система (Д1.7) является следствием системы (Д1.3), и поэтому всякое решение системы (Д1.3) (в случае, если оно существует!) должно являться решением и системы (Д1.7). Итак, пока доказано, что если у исходной системы (Д1.3) существует при А и О решение, то это решение однозначно определяется формулами Крамера (Д1.8).
Легко убедиться и в существовании решения, т. е. в том, что при А ~ О два числа х и у, определяемые формулами Крамера (Д1.8), будучи подставлены на место неизвестных в уравнения (Д1.3), обращают эти уравне- 27 дополнение к Гллве г ния в тождества. (Предоставляем читателю самому расписать выражения для определителей б, бк и б, и убедиться в справедливости указанных тождеств.) Приходим к следующему выводу: если определитель ?ь системы (Д1.3) отличен от нуля, то существует, и притом единственное, решение этой системы, определяемое формулами Крамера (Д1.8). Рзс смотр им теперь случай, когда определитель ?у системы равен нулю. Могут представиться д в а п о д с л у ч а я: а) хотя бы один из определителей гвк или гзз отличен от нуля; б) оба определителя сз, и дгс равны нулю ).
В подслучае а) оказывается невозможным хотя бы одно из равенств (Д1.?), т. е. система (Д1.7) не имеет решений, а поэтому не имеет решений и исходная система (Д1.3) (следствием которой является система (Д!.7)). В подслучае б) исходная система (Д!.3) имеет бесчисленное множество решений. В самом деле, из равенств гз = йс = дгу — — 0 и из утверждения в конце п. 1 заключаем, что а,)газ = Ь,)Ьз = Агу йз т.е.
что второе уравнение системы (Д1.3) является следствием первого и его можно отбросить. Но одно уравнение с двумя неизвестными (Д1.9) агх+ Ьгу = Ьг имеет бесчисленно много решений (хотя бы один из коэффициентов а, или Ь, отличен от нуля, и стоящее при нем неизвестное может быть определено из уравнения (Д1.9) через произвольно заданное значение другого неизвестного). Приходим к следующему выводу: если определитель ?у системы (Д1.3) равен нулю, то система (Д1.3) либо вовсе не имеет решений (в случае, если хотя бы один из определителей б, или бу отличен от нуля), либо имеет бесчисленное множество ргиггний (в случае, когда бк = сс„= 0). В последнем случае два уравнения (Д1.3) можно заменить одним и при решении его одно неизвестное задавать произвольно. 3 а м е ч а н и е.
В случае, когда свободные члены Ь, и йз равны нулю, линейная система (Д1.3) называется однородной. Отметим, что однородная системз всегда имеет так называемое тривиальное решение: х = О, у = 0 (эти два числа обращают оба однородных уравнения в тождества). Если определитель ?у системы отличен от нуля, то однородная система имеет только тривиальное решение. Если же ?у = О, то однородная система имеет бесчисленное множество решений (поскольку для однородной системы возможность отсутствия решений исключена). Таким образом, однородная система имеет нетривиальное решение в том и только в том случае, когда определитель ее равен нулю. ) Из утвермдеггив в конце п, г вытекает, по если определнюеггь Д а один нз определвюелей а, а ан равны нулю, зго а другов аз указанньгл определныелей равен нУлю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
