В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Аналитическая геометрия (1152752), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Если среди п векторов какие-либо а — 1 векторов ли~ейно зависимы, то и все и векторов линейно зависимы. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть для определенности векторы а и аь ..., ал, линейно зависимы, а вектор а„произволен а). По определению линейной зависимости найдутся такие вещественные числа аи аа,, аа ь из которых хотя бы одно отлично от нуля, что имеет место равенство (2.4) а,а, + азат е ... е ал,ая, = О. Равенство (2 4) сохранится, если мы добавим в левую часть этого равенства равное нулю слагаемое О а„, т.е. справедливо равенство а а, э азаз ч-й.
е а„м,а„, е О а„= О. (2,5) Так как среди чисел аь а,, ...,ал, О хотя бы одно отлично от нуля, то равенство (2.5) доказывает линейную зависимость векторов аь а„..., а„. Теорема доказана. 3 а м е ч а н и е. Конечно, утверждение теоремы 2.3 о линейной зависимости и векторов останется в силе, если среди этих векторов линейно зависимыми являются не и — 1, а любое меньшее п число векторов. 4. Линейные комбинации двух векторов. Теорема 2.4. Необходимым и достаточным условием линейнои зависимости двух векторов является их коллинеарность. Доказательство. 1) Необходимость. Пусть два вектора а и Ь линейно зависимы. Докажем коллинеарность этих векторов. По определению линейной зависимости найдутся такие вещественные числа а и )з, хотя бы одно из которых отлично от нуля, что справедливо равенство аа е )зЪ = О. (2.6) Пусть для определенности отлично от нуля число )з. Тогда из равенства (2.6) (посредством деления этого равенства на )з и переброски одного члена в правую часть) получим следующее равенство: а Ь = — — а.
) Мы всегда можем поьгенять порядок следования векторов так, чтобы нулевым оказался первыи из векторов ) ))оменяв порядок следования векторов, мы всегла можем побиться того, чтобы линейно зависимыми оказались первые л — 1 векторов 50 Вектогнля ллгевгл ~ГЛ 2 Вводя обозначение ) =-иЯ, получим, что Ь = ).а. Таким образом, вектор Ь равен произведению вектора а на вещественное число Л.
По определению произведения вектора на число векторы а и Ь коллинеарны. Необходимость доказана. 2) До с т а т о ч н о с т ь. Пусть векторы а и Ь коллинеарны. Докажем, что эти векторы линейно зависимы. Если хотя бы один из векторов а и Ь нулевой, то эти векторы линейно зависимы в силу теоремы 2.2. Таким образом, нужно рассмотреть лишь случай, когда векторы а и Ь ненулевые. Но если вектор а ненулевой, то из коллинеарности векторов а и Ь в силу теоремы 2.1 вытекает существование такого вещественного числа ),, что Ь = ) а, или, что то же самое, (2.7) ка + ( — 1) Ь = О. Так как из двух чисел )ч -1 одно заведомо отлично от нуля, то равенство (2.7) доказывает линейную зависимость векторов а и Ь. Достаточность доказана. Следствие 7.
Если векторы а и Ь не коллинеарны, то они линейно независимы. Следствие 2. Среди двух неколлинеарнгях векторов не может быть нулевого вектора (иначе бы эти векторы оказались линейно зависимыми). 5. Линейные комбинации трех векторов. Определение. Векторы называются к о м и л а н а р н ы м и, если они лежат либо в одной плоскости, либо в параллельных плоскостях. Теорема 2.5. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости трех векторов является их компланарность. Доказательство. 1) Н е об ходи м о с т ь.
Пустыри вектора а, Ь и с линейно зависимы. Докажем компланарность этих векторов. По определению линейной зависимости найдутся такие вещественные числа сь, !) и у, хотя бы одно из которых отлично от нуля, что справедливо равенство аа + ))Ь + ус = О. (2.8) Пусть для определенности отлично от нуля число у. Тогда из равенства (2.8) (посредством деления этого равенства на у и переброски двух членов в правую часть) получим следующее равенство: а !3 с =- — а — — Ь.
у у Вводя обозначения ),=-и/у, р=-))/у, перепишем последнее равенство в виде (2.9) с = ) а+ )тЬ. ЛИНЕИНЫЕ ОПЕРЛЦИИ ИЛД ВЕКТОРЛМИ Если все три вектора а, Ь и с приложены к общему началу О, то из равенства (2.9) следует '), что вектор с равен диагонали параллелограмма, построенного на двух векторах: на векторе а, ерастянутоме в )ь раз, и векторе Ь, врастянутомэ а) в )г раз (рис. 2.10).
Но это означает, что векторы а, Ь и с лежат в одной плоскости, т.е. компланарны. Необходимость доказана. 2) До с тато ч ность. Пусть векторы а, Ь и с компланарны. Докажем, что эти векторы линейно зависимы. Прежде всего, исключим случай, когда какая-либо пара из указанных трех векторов коллиыеарна. Тогда в силу теоремы 2А указанная пара векторов линейно зависима, а стало быть (в силу теоремы 2.3), и все три вектора а, Ь и с линейно зависимы. с Остается рассмотреть случай, когда в тройке векторов а, Ь, с ни одна пара векторов не коллинеарна (и, в частности, отсутствуют нулевые векторы )). О а Ла Перенесем три компланарных вектора а, Ь и с Рис. 2 )О на одну плоскость и приведем их к общему началу О (рис. 2.!О).
Проведем через конец С вектора с прямые, параллельные векторам а и Ь. Обозначим буквой А точку пересечения прямой, параллельной вектору Ь, с прямой, на которой лежит вектор а, а буквой В точку пересечения прямой, параллельной вектору а, с прямой, на которой лежит вектор Ь.(Существование указанных точек пересечения вытекает из того, что векторы а и Ь не коллинеарны.) В силу правила паоалллелограмма сложения векторов вектор с равен сумме векторов ОА и ОВ, т.е. В РЬ Ь с = ОА 4- ОВ. (2.10) Так как вектор ОА коллинеарен ненулевому вектору а (с которым он лежит на одной прямой), то в силу теоремы 2.1 найдется вещественное число ).такое, что ОА = Ха.
(2.11) Из аналогичных соображений вытекает существование вещественного числа )г такого, что ОВ = рЬ. (2. 12) ~) В силу правила параллелограмма сложения векторов и определения произведения вектора яа число (см. и. 2), ))ри этом мы исключаем тривиальныи слу гаи, когда векторы а и Ь коллинеарны. В этом случае компланарность векторов а, Ь и с вытекает из гого, что эти три вектора, буду ~и приведены к общему началу О, лежат на двух проходящих через точку О прямых; иа олной лежит вектор с, на другои — оба вектора а и Ь.
т ) Термин лрастянутыи» следует понимать в указанном в и 2 условном смысле. ~) В силу следствия 2 из теоремы 2А в паре нсколлинеарных векз оров не могут содержаться пулевые векторы. 52 Векторнля ллгеьрл 1ГЛ 2 Вставляя (2.11) и (2.12) в (2.10), будем иметь с = ) а ч- РЬ. Равенство (2.13) можно переписать в виде ) а ч- РЬ ч. ( — ! )с = О. (2.13) с =) аз-)ЛЬ.
(2. 13) Следствие 2. Если векторы а, Ь и с не компланарньг, то они згинейно независимы. Следствие 3. Среди трех некомпланарных векторов не может быть двух коллинеарных векторов и не может быть ни одного нулевого вектора ). 6. Линейная зависимость четырех векторов. Теорема 2.6. Любые четыре вектора линейно зависимы. Д о к а з а т е л ь с т в о. Прежде всего исключим случай, когда какая- нибудь тройка из указанных четырех векторов компланарна. Тогда в силу теоремы 2.5 указанная тройка векторов линейно зависима, а стало быть (в силу теоремы 2.3), и все четыре вектора линейно зависимы.
Остается рассмотреть случай, когда среди С четырех векторов а, Ь, с и д никакая тройка В векторов не компланарна (и, стало быть, нет с ни одной пары коллинеарных векторов и ни од- О а Л ного нулевого вектора )). Приведем все четыре вектора а, Ь, с и с( к абрис. а 11 щему началу О и проведем через конец 0 вектора д плоскости, параллельные плоскостям, определяемым парами векторов Ьс, ас и аЬ з)(рис. 2.11). Точки пересечения указанных плоскостей с прямыми, на которых лежат векторы а, Ъ и с, обозначим соответственно буквами А, В и С. (Существование указанных точек пересечения вытекает из того, что векторы а, Ь и с некомпланарны.) ) Иначе зти векторы оказались Ьн линейно зависимыми г) Согласно следствию 3 из теоремы 2 5 в тропке неконпланарннх векторов не может содержаться ни одной пары коллинеарннх векторов и ни одного нулевого вектора.
) Векторы, входвыие в каждую из указанных трех пар, не ко.глинеарнн. а потону каждая из указанных трех пар определяет некоторую плоскость. Так как из трех чисел Л., )г, — 1 одно заведомо отлично от нуля, то последнее равенство доказывает линейную зависимость векторов а, Ь и с. Достаточность доказана.
Попутно доказаны следующие у т в е р ж д е н и я: Следствие г. Каковы бы ни были неколлинеарные векторы а и Ь для любого вектора с, лежаи)его и одной плоскости с гекторами а и Ь, наидутся такие ееи(естеенные числа ) и )л, что справедливо ра- венство ь 1! ЛИИЕИНЫЕ ОПЕРЛНИИ ИЛД ВЕКТОРЛМИ зз Убедимся в том, что вектор д = 00 равен сумме трех векторов ОА, ОВ и ОС, т.е. д=ОА+ОВ+ОС. (2. 14) В самом деле, из правила параллелограмма сложения векторов и из параллелограмма ОСОЕ (рис. 2.11) вытекает, что д = ОС + ОЕ, а из параллелограмма ОВЕА вытекает, что ОЕ = ОА + ОВ . Тем самым равенство (2.14) установлено.
Так как вектор ОА коллинеарен ненулевому вектору а (с которым он лежит на одной прямой), то в силу теоремы 2.1 найдется вещественное число ) такое, что ОА =) а. (2.15) Из аналогичных соображений вытекает существование вещественных чисел )т и т таких, что ОВ =рЬ, ОС =ус. (2.1 6) Вставляя (2.15) и (2.16) в (2.14), будем иметь д = л.а+)ЛЬ+чс. Равенство (2. ! 7) можно переписать в виде ).а + )ЛЬ + те + (-!)д = О. (2.17) (2.18) д = Ха+ )ЛЬ+чс. (2.17) 7. Понятие базиса.
Аффинные координаты. Определение 1. Говорят, что три линейно независимых вектора а, Ь и с образуют в пространстве ба з и с, если любой вектор д может быть представлен в виде некоторой линеиной комбинации векторов а, Ь и с, т.е. если для любого вектора д найдутся такие вещественные числа л., )х и т, что справедливо равенство (2.17). Аналогично определяется базис на некоторой плоскости и. Определение 2. Говорят, что два лежащих в плоскости и линейно независимых вектора а и Ь образуют на этой плоскости б а з и с, если любой лежащий в плоскости и вектор с может быть представлен в виде некоторой линейной комбинации векторов а и Ь, т.е.
если Так как из четырех чисел )ь р, т, — ! одно заведомо отлично от нуля, то равенство (2.18) доказывает линейную зависимость векторов а, Ь, с и д. Теорема доказана. Попутно доказано следующее у т в е р ж де н и е: Следствие 1. Каковы бы ни были некомплачарные векторы а, Ь и с, для любого вектора д наидутся такие вещественные числа Х, р и т, что справедливо равенство Векторнля ллгеврл 1ГЛ 2 для любого лежащего в плоскости я вектора с найдутся такие вещественные числа ) и р, что справедливо равенство (2.13). Справедливы следующие фундаментальные утверждения: 1) любая тройка некомпланарньтх векторов а, Ь и с образует базис в пространстве; 2) любая пара лежаи(ик в данной плоскости неколлинеарных векторов а и Ь образует базис на этой плоскости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
