В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Аналитическая геометрия (1152752), страница 20
Текст из файла (страница 20)
1) УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ мое от некоторого начального момента, то задание закона движения и представляет собой задание координат х и у движущейся точки как некоторых непрерывных функций х=ср(!) ну=~у!!) времени С П р и м е р ы. 1) Установим параметрические уравнения окружности радиуса г > 0 с центром в начале координат. Пусть М (х, у) — любая точка этой окружности, а à — угол между радиусом-вектором ОМ и осью Ох, отсчитываемый против часовой стрелки (рис.
4.1). Очевидно, что !4.5) х=гсоз С д=гз!п С Уравнения (4.5) и представляют собой параметрические уравнения рассматриваемой окружности. Параметр ! может принимать любые значения, но для того чтобы точка М !х, у) один раз обошла окружность, следует ограничить область изменения параметра полусегментом 0 < ! < 2к.
Заметим, что для исключения параметра ! из уравнений (4.5) достаточно возвести в квадрат и сложить эти уравнения;мы получим при этом уравнение !4.3) предыдушего пункта. 2) Установим параметрические уравнения так называемой циклоиды, которая определяется как путь, описываемый одной из точек М окружности, катящейся без скольжения по неподвижной прямой. Примем за ось Ох декартовой прямоугольной системы ту прямую, по которой катится окружность, за начало координат — одну из точек, в которых точка М катящейся окружности выходит на указанную прямую, и направим ось Оу так, чтобы ее положительная полуось лежала по ту же сторону от Ох, что и катящаяся окружность (рис.
4.2). Рис 4.2 Рис 4! Фиксируем произвольное положение катящейся окружности и обозначим для этого положения буквой С центр, а буквой А точку касания с осью Ок. Примем за параметр ! угол, на который повернулась катяшаяся окружность при перемещении из положения с точкой касания в начале координат О в положение с данной точкой касания А. Так как качение происходит без скольжения, то ОА = )сц где )с — радиус окружности.
В силу того, что декартовы прямоугольные координаты х и у точки М равны проекциям вектора ОМ на оси координат (см. п. 9 ф 1 гл. 2), и в уРАВню1ия НОВВРхпости и линии 1гл 4 силу линейного свойства проекции вектора на ось 1см. п. 8 и 9 8 1 гл. 2) получим х=прх ОМ =пр, ОА +прх АС +прх СМ 14.6) у=пр ОМ =яр„ОА 4-пр АС 4-пр СМ. Учитывая, что угол АСМ, отсчитываемый от вектора СА в направлении по часовой стрелке 1рис. 4.2), может отличаться от угла 1 лишь на величину, кратную 2к, будем иметь прх ОА =ЙС пр, АС =О, пр, СМ =-Й гйп й прд ОА =О, при АС =Й, пр„СМ =-Й соз й Вставляя эти значения в формулы 14.6), окончательно получим параметрические уравнения циклоиды 14. 7) х = Й11 — з)п 1), у = Й11 — соз 1).
Параметр 1 в уравнениях 14.7) может принимать какие угодно значения. 3 а меча н не. Часто линию 7. определяют не уравнением 14.1), а разрешенным 1например, относительно у) уравнением 14,8) у = 7 1х). Подчеркнем, что определение линии разрешенным уравнением 14.8) представляет собой частный случай параметрического определения этой линии 1при х = С у = )П)). 3. Уравнение линии в различных системах координат.
Вид уравнения линии 7. зависит не только от вида самой линии 1., но и от выбора системы координат. Уравнение линии меняется как при переходе от одной декартовой системы координат к другой, так и при переходе от декартовых к каким-нибудь другим координатам. Если 14.1) представляет собой уравнение линии 7. относительно декартовой прямоугольной системы координат Оху, то, чтобы получить уравнение той же линии 7. относительно любой другой системы координат, достаточно подставить в 14.1) на место х и у их выражения через новые координаты. Так, например, линия 7., определяемая в декартовой системе Оху уравнением 14.1), в полярной системе ') будет определяться уравнением Ф,1р, ср) =О, где введено обозначение Ф,1р, ср) = Ф1р соз ср, р гйп ср) (см, формулы пере- хода от декартовых координат к полярным; гл.
1, 8 4). ) Конечно, ири этом предполагается, что полюс совметен с началом декартовых координат, а полярная ось — с осью Ох уРАВнение линии нд плоскости 14.9) р = а гр, где р — полярный радиус, гр — полярный угол, а — коэффициент про- порциональности, который будем считать отличным от нуля. На рис.
4.3 сплошной линией изображена часть спирали Архимеда для случая а > О, а штриховой линией — часть спирали Архимеда для случая а < О ). Уравнение 14 9) спирали Архимеда в полярной системе координат отличается чрезвычаиной простотои. Для того чтобы читатель убедился, насколько сложно выглядит уравнение той же спирали Архимеда в декартовои прямоугольнон системе, приведем зто уравнение для случая и > О Имея в виду, что агс1д — + 2ял при х > О, у р=т)х еуз. агс1я — «-к-ь2кл при х< О, е х л — зяпу . 2ял ври х=о, 2 где л = О, а1, Ь2, ..., мы получим, что для случая а > О спираль Архимеда определяется сле- дующен бесконе пюй системой уравнений О«оь«ер л принимает значения О, «К Е2, ...).
х еу =а~агс1д— у х х е у = о(агс1д— у х гл ~у~ =а~ — зяпу ~2 е тял) при х > О, е и е'2пл) при х < О, е 2ял) при х = О ) Конечно, при неограниченном изменении угла Зг ге случае а > О в поаожительпуго, а в случае о < О в отрицательную сторону) как сплошная, так и шз риховая спирали оудут иметь бесчисленно много завитков, не изображенных на рис 4.3. Использование для определения некоторых линий недекартовых систем координат объясняется тем, что уравнение линии имеет при этом более простой вид.
П р и м е р. Предположим, что ось и вращается гпротив часовой стрелки) вокруг неподвижной точки О и по этой вращающейся оси движется точка М так, что длина р вектора ОМ пропорциональ- и на углу гр поворота оси и, отсчитываемому от некоторой неподвижной оси Ох грис. 4,3). Линия, описываемая точкой М, называется спиралью Архимеда.
Если ввести полярную систему координат, поместив полюс в точку О н направив полярную ось вдоль оси Ох, то по самому определению спирали Архиме- Рис 4.3 да ее уравнение имеет вид урдвнн1ия повврхпости и линии 100 ~гл 4 4. Два типа задач, связанных с аналитическим представлением линии. В связи с аналитическим представлением линии возникают задачи двух т и по в. Задачи первого типа заключаются в изучении свойств линии при помощи заранее данного уравнения атой линии. Такое изучение проводится средствами математического анализа и выходит за рамки аналитической геометрии.
В самом деле, уравнение линии устанавливает функциональную зависимость между координатами точек этой линии и задача первого типа, по существу, представляет собой геометрическое исследование графика функции (см. гл. 9 вып. 1). Задачи второго типа заключаются в выводе уравнения линии, заранее заданной геометрически (иапример, линии, заданной как геометрическое место точек, удовлетворяющих некоторым условиям). Примерами задач второго типа могут служить все рассмотренные в пп. 1-3 задачи (вывод уравнения окружности, циклоиды и спирали Архимеда). 5. Классификация плоских линий. Исходя из аналитического представления линий относительно декартовых прямоугольных систем координат, устанавливают следующую классификацию плоских линий.
Определение 1. Линия наэьгвается а л г е б р а и ч е с к о й, если в некоторой декартовой прямоугольной системе координагп она определяется уравнением (4.1) Ф(х, у) =О, в котором функция Ф (х, у) представляет собой алгебраический полинам ). Определение 2. Всякая неалгебраическая линия называется трансцендентной. Определение д. Алгебраическая линия называется л и н и е й и ар я д к а и, если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат эта линия определяется уравнением (4.1), в котором функция Ф(х, у) представляет собой а ггебраический полипом и-й степени. Иными словами, линиеи п-го порядка называется линия, определяемая в некоторой декартовой прямоугольной системе алгебраическим уравнением степени и с двумя неизвестными. Для установления корректности определений 1, 2 и 3 необходимо доказать следующее утверждение.
Теорема 4.1. Если линия в некоторои декартовой прямоугольной системе координат определяется алгебраическим уравнением степени и, то эта линия и в любой другой декартовой прямоугольнои системе координат определяется алгебраическим уравнением той же степени и. ) то есть сумму конечного числа слагаемых вида амх у, где л и l — целые неотринательные числа. ан — некоторые постоянные. )О! УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ Дока за тел ь ство. Предположим, что линия 1. в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется уравнением Ф(х, у) =О, (4.1) левая часть которого представляет собой алгебраический полинам степени п, т.е. сумму слагаемых вида амх у, где )г и 1 — целые неотрицательные числа, причем наибольшее значение суммы )а+1 равно п, аы — некоторые постоянные, причем хотя бы для одной пары )е и 1, составляюгцих в сумме п, постоянная ан отлична от нуля.
Возьмем на той же плоскости любую новую декартову прямоугольную систему координат О'х'у'. Тогда, как доказано в ~ 1 гл. 3, для координат любой точки в старой и новой системах справедливы формулы преобразования (3.7). Чтобы получить уравнение линии Е в новой системе О'х 'у ', достаточно подставить в левую часть (4.1) на место х и у их значения, определяемые формулами (3.7). Мы получим при этом сумму слагаемых вида ан (аз-гх!!х'+аз!у') (6+а!2х'+аззу') . ° а ! Отсюда ясно, что уравнение линии Е в новой системе О'х'у' будет представлять собой алгебраическое уравнение степени не ватаге, чем и. Если в проведенных рассуждениях поменять ролями системы Оху и О'х'у', то мы убедимся в том, что указанное алгебраическое уравнение (в системе О'х'у') имеет степень не ниже чем и (иначе переход от О'х'у' к Оху повысил бы степень уравнения). Таким образом, линия Е определяется в новой системе О'х'у' алгебраическим уравнением степени, равной и.
Теорема 4.1 доказана. Примером а л г е б р а и ч е с к о й линии второго порядка может служить окружность, уравнение (4.3) которой в некоторой декартовой прямоугольной системе является алгебраическим уравнением второй степени. Примером т р а н с ц е н д е н т н о й линии может служить спираль Архимеда, уравнение которой в декартовой прямоугольной системе не является алгебраическим (см. и. 3).
3 а м е ~ а н и е. Будем называть алгебраическую линию ). Росподагоп)ейгя, если алгебранческии полином Ф(х, у) степени п > 2, стоягдии в левон части уравнения атон линии, распадается на произведение ФРМю у) Фз(х, у) двух алгебраических полиномов Ф,(х, у) и Фз(х. у) степеней й > ! и л — Д > ! соответственно. Из равенства Ф(х, у) = Ф,(х, у) Фз(х, у) очевидно. что координаты х и у точки А( удовлетворяют уравнению Ф(х, у) = О тогда и только тогда, когда зги координаты удовлетворяют хотя бы одному из уравнении Ф,(х, р) = О или Фз(х, у) = О.
Это означает, что линия Г., определяемав уравнением Ф(х, д) =О, распадается на две линии линию Еь определяемую уравнением Ф,,(х, у) = О, и линию Е„определяемую уравнением Фз(х, у) = О уРАВнш1ия ИОВВРхпости и линии Так, линия четвертого порядка, определяемая уравнением 102 !ГЛ 4 х« -л у' 4 2хзр — 5х' — 5у ' -л 4 = (хз+ у ' — 1) (хз е у 2 — 4) = О, распадается падве окружности, определяемые уравнениями х + уз — 1 = О и х + у — 4 = О Линия четвертого порядка, опрелеляел«ая уравнением х" + р«-л 2хтуа — 2хз — 2У 4 1 =(ха-л рз — 1)2 =0, распадается на две «слившиесял окружности, определяемые уравнением второго порядка х + р — 1 = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
