В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Аналитическая геометрия (1152752), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Напомним, что определенная для любых значений аргументов функция Е(х, у, г) называется однородной функцией (степени п), если, каково бы ни было вещественное число )г, справедливо равенство (4.18) Е(/гх, ггу, ггг) = гг'Е(х, у, г). Докажем, что уривнение Р(х, у, г)=0, (4.1 9) в котором Р(х, у, г) является однородной функцией любой степени п, определяет коническую поверхность. Пусть М„(хо, уо, г„) — любая отличная от начала координат точка, лежащая на поверхности 5, определяемой уравнением (4.19). Тогда справедливо равенство (4.20) Е (хо, уо, го) = О. Достаточно доказать, что, какова бы ни была точка М(х, у, г), лежащая на прямой, проходящей через точку Мо(хо, уо, го) и через начало координат О, координаты х, у и г этой точки удовлетворяют уравнению (4.19). Так как векторы ОМ и ОМО коллинеарны (как лежащие на одной прямой) и вектор ОМО является ненулевым, найдется (в силу теоремы 2.1) вещественное число гг такое, что ОМ = )г ОМО .
На основании линейных свойств координат вектора (см. и. 8 8 1 гл. 2) можно утверждать, что координаты вектора ОМ равны соответствующим координатам вектора ОМ„, умноженным на число )г, т.е, у = )губ г = )гго- х = )гх„, Из последних равенств и из того, что р (х, у, г) (как однородная функция некоторой степени п) удовлетворяет соотношению (4.18), получим г(х У г) =с(ухо )гуо )гго) =гг г (хо Уо го) а отсюда в силу равенства (4.20) окончательно будем иметь Е (х, у, г) = О.
Доказательство того, что поверхность 5, определяемая уравнением (4.19) с однородной функцией Е(х, у, г), является конической, завершено. ) Ибо уравнению а = 0 удовлетворяют координаты тобои точки, тежагиеи на плоскости Охло и не УдовлетвоРЯю~ кооРдннаты нн однои точки, не лежащеи на атон плоскости !о? УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ Заметим, что прямые, целиком лежащие на конической поверхности, называются ее образуюи(ими и что все образующие (как это видно из проведенного доказательства) проходят через начало координат О.
Простейшим примером конической поверхности может служить круглый конус, определяемый уравнением х + у з — гз = О. Эта поверхность исследуется в п. 4 ~ 3 гл.?. Функция Р(х, у, г) = = ха + у а — г', задающая ее уравнение, является однородной функцией второго порядка. 4. Параметрические уравнения линии и поверхности в пространстве. В и. 2 мы рассматривали линию в пространстве как пересечение двух поверхностей.
Возможен и очень естествен с кинематической точки зрения и другой подход к понятию линии в пространстве, основанный на рассмотрении этой линии как пути, пройденного материальной точкой, непрерывно движущейся по определенному закону. Как и для случая плоской линии (см.
п. 2 ~ 1), этот подход приводит к параметрическому представлению линии в пространстве, заключающемуся в том, что координаты х, у и г любой точки данной линии задаются как непрерывные функции некоторого параметра ( (представляющего собой время). Итак, при таком подходе координаты х, у, г любой точки линии ?.
задаются как три функции (4.21) Р() У '!() А() определенные и непрерывные в некотором промежутке изменения параметра г. Конечно, этот способ определения линии в пространстве эквивалентен определению ее в виде пересечения двух поверхностей. Чтобы убедиться в этом, предположим, что хотя бы одна (например, третья) из функций (4.2!) допускает обратную. В таком случае из третьего равенства (4.21) получим, что ( = )( '(г), и, подставляя это значение г в первые два равенства (4.21), получим уравнения двух поверхностей .= р!()('(г)1 у= у!(у-'(г)1, пересечением которых служит данная линия. В качестве примера приведем параметрические уравнения окружности радиуса г > О, лежащей в координатной плоскости Оху и имеющей центр в начале координат.
В декартовой прямоугольной системе на плоскости Оху такая окружность определяется одним уравнением х + у (см. п. ! Э 1), в пространстве же эта окружность определяется двумя уравнениями: хзеу =г~, г=О, первое из которых определяет цилиндрическую поверхность, направляющей которой служит рассматриваемая окружность и образующая которой параллельна оси Ог, а второе уравнение определяет координатную плоскость Оху.
уРАвнш1ия ИОВЕРх1юсти и линии 105 ~гл 4 Из п. 2 ~ 1 мы уже знаем, что на плоскости Оху параметрические уравнения окружности х 4- у = г имеют вид х = г соз д у = г яп Г, где 0 <1< 2п. Очевидно, та же окружность в пространстве задается тремя уравнениями: х=гсо5 й у=с 51п Д г=0, причем параметр Г пробегает полусегмент 0 < 1 < 2п. Для параметрического задания поверхности координаты любой точки этой поверхности должны быть заданы как функции не одного, а двух параметров р и Ф Убедимся в том, что три уравнения х='Р(Р сг') У=ту'(Р с)) г=к(Р Ч) (4.22) определяют в пространстве некоторую поверхность.
Для этого предположим, что хотя бы одна пара из трех уравнений (4.22) может быть разрешена относительно параметров р и д. Допустим, например, что из первых двух уравнений (4.22) р и д могут быть выражены как функции х и у: р = Ф,(х, у), 41 = Фз(х, у). Вставляя эти значения р и 4) в третье уравнение (4.22), мы получим уравнение с тремя переменными: г — )((Ф1(х, у), Фа(х, у)1 = О, определяюгцее, как нам известно, некоторую поверхность ). В качестве примера приведем параметрические уравнения сферы радиуса г > 0 с центром в начале координат: х=гсо5051пср, у=г51п051пф, г=гсо510. Здесь параметры 0 и ср представляют собой угловые сферические координаты (долготу и широту) точек поверхности сферы (см.
э 4 гл. 1). Для того чтобы все точки сферы обходились один раз, следует ограничить область изменения параметров промежутками 0 < 0 < 2л, 0 < 41 < и. 5. Классификация поверхностей. В полной аналогии с классификацией плоских кривых устанавливают следующую классификацию поверхностей. Определение!. Поверхность называется а л г е б р а и ч е с к о й, если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат она определяется алгебраическим уравнение,и с тремя переменными.
Определение 2. Всякая не алгебраическая поверхность называется трансцендентной. Определение 8. Алгебраическая поверхность назьгвается поверхностью порядка и, если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат она определяется алгебраигсеским уравнением степени и с тремя переменными.
') Коне шо, нри этом требуются некоторые ограничения. уРАВнения пОВеРхности и линии 1ОЯ Для установления корректности этих определений необходимо доказать следующее утверждение. Теорема 4.2. Если поверхность е некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется алгебраическим уравнением степени и, то эта поверхность и е любой другои декартовой прямоугольной системе координат определяется алгебраическим уравнением той же степени и. Доказательство теоремы 4.2 вполне аналогично доказательству теоремы 4.1 и опирается на доказанное в 3 2 гл.
3 у т в е р ж д ен и е: каковы бы ни бьыи две произвольные декартоеь4 прямоугольные системы координат, координаты х, у и г любой точки пространства относительно первой системы являются линеиными функциями координат х', у' и г' той же точки относительно второй системьн С помощью этого утверждения н рассуждений, полностью аналогичных тем, которые проводятся при доказательстве теоремы 4.1, мы получим, что если поверхность 5 в некоторой декартовой прямоугольной системе Охуг определяется алгебраическим уравнением степени и, то эта поверхность в любой другой декартовой прямоугольной системе 0'х'у'г' определяется алгебраическим уравнением степени н е в ы ш е и.
Поменяв ролями системы Охуг и О'х'у'г', мы завершим доказательство теоремы 4.2. 3 а м е ч а н и е !. Так же как и в случае плоской линии, вводится понятие распадаюгцейся алгебраической поверхности. 3 а м е ч а н и е 2. Пространственная линия называется алгебраической, если она может быть определена как пересечение двух алгебраических поверхностей. Всякая не алгебраическая линия называется трансцендентной. 6. О пересечении поверхностей и линий в пространстве. Для отыскания точек пересечения поверхностей или линий (или поверхностей и линий) следует рассмотреть совместно уравнения, определяющие указанные геометрические объекты. Решение полученной при этом системы н определит нам координаты всех точек пересечения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
