Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов С.В. Основы теории цепей (4-е изд., 1975) (1152146), страница 95

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 95)

жителей, получим, что все коэффициенты У а„а,, ..., а„будут положительными, Рис. 17-7. 3. Вещественные части входных функ- ций 2 (р) и 1' (Р) положительны или равны нулю, т. е. Ее Л (р) ) О или Ке У' (р) =- О, при условии, что Ке Р =- ке (з + 7'ы) =:==- О. Докажем это свойство, т.

е. что Ке Е (Р) == О, если з == О для чисто реактивной цепи. Например, для чисто реактивной цепи („ С имеем: 7(Р)=Р7-+ с= (+1 ) 7+(, . с='7+!"7-+.с ъс. (17.8) Это выражение для Я (Р) по форме полностью совпадает с комплексным сопротивлением цепи, приведенной на рис. 17-7: г((о»= +1ы7.+ —. 1 и 4- (озС (17-10) Очевидно, что Ке Е ((ы) = О при г .==. О и о =- О. Таким образом, для любой чисто реактивной цепи, состоящей из Е, и С элементов, может быть при Р =- и + но построена аналогичная цепь, но уже содержащая активные элементы г н а'. Так как для аналогичной цепи Ке 2 ((ы) ~ О, что ясно из физических соображений, то получаем, что и для исходной чисто реактивной цепи Рсе Л (р) = О при з ='- О Сказанное тем более справедливо, если исходная цепь содержит активные сопротивления и проводимости. 4.

Степени п и и полнномов 6 (р) и О (р) числителя и знаменателя не должны отличаться друг от друга бюльше чем на единицу' Нетрудно убедиться непосредственно, по для любого двух. полюснпка это правило будет выполняться. Функции, обладающие первыми тремя указанными свойствами относятся к положительным вещественным функциям. Таким образом, для того, чтобы рациональная дробь (17-5) ,,Юи,, йт ур и «х м О~вюи ир~иаю ХИ1 и, следовательно, могла бы быть реализованной в виде электриче 490 17-4. Реактивные двухпопюсники В частном случае реактивных двухполюсников входные функции Я (р) и )' (р) — положительные вещественные и обладают рядом дополнительных свойств.

1. В соответствии со сказанным выше степени п и и полиномов 6 (р) и Н (р) числителя и знаменателя в (17-5) не должны разниться больше чем па единицу. Но в данном частном случае, кроме того, степень р каждого из последующих членов 6 (р) и Н (р) меньше степени предыдущего на две единицы.

ток /х реантивного пользуясь методом Для доказательства этого положении выразим входной двухпопюсннка через его входное напряжение (ут =- схх, конгурных токов (4 1-8): р', '='и =Х,, г,„' 77 Е Ац' (17- 1!) (17-!2) где увх = дп — входное сопротивление Лвухполюсннка' П вЂ” определитель цаава, состоящей из а контуров (и, следовательно, имеющий а строк и и столбцов), а Л, — его алгебраическое дополнение, т. е. определитель п — 1 порядка.

Ъ каждом элементе 0 и Ап содержатся (в случае реактивного двухполюсника) реактивнЫе сопротивления вйда 1 ! ( 1 г =)х„=!'й +. = —. г Ч. ! С„в= '( С„) дал=!хьв= 'юг вв Ю ) Сват' т е. в каждом элементе определителя есть мнилхый множитель рщ и вещественный (записан в скобке) Вынесем ргз за скобки из всех элементов определителей О и Лгп тОГда ПОЛУЧИМ: 7) (гм)в,ов; 7)в Л ах =тдвх = Лхх ()тю)в ' Аыв ы Апв' или ! 0в х вх ыв где Рв и Ах„— вещественные. Элевхентй этих определителей имеют вид; ын-вь — 1)Сва и ых)-вв — 1)Сьв. (17-18) Раскрывая определители О„и Ахы и группируя в них члены с одинаковыми степенями го, получаем в числителе и знаменателе х„х (ы) полиномы вида 17-14) Ш авояв т авю'" '-х- ....< авв хыв Е ах 49! пй цепи, она должна быть положительной вещественной функцией обладать четвертым свойством. Сказанное относится к любым пассивным двухполюснпкам, "содержащим не только реактивные, но и активные сопротивления.

откуда и следует утверждение, что для реактивного двухпошосника, в каа,„., ветви которого имеютея Л и С, наива~овне степени полнномов числителя н 'н "доз зна менателя разнятся яа единицу (2л и 2я — )) и что степень ю у каждого вз по „ дующих членов поливомов числигеля и знаменателя меньше, чем у пред, щего, на две единицы. Переписывая (! 7-14) в операторной форме и вводя вместо х,„(оз) получаем: б(Л) агр +пятая '+...+ „, зр'+а, зт (Р) — у( — — '-з„-з+Ь~зяя '" '+а" евз+Ьч ( . 4а) Находя корни полиномов числителя и знаменателя х,„относи.

тельно ш' и обозначаЯ их шь озт, .„, ш$ч, длЯ числитела и ю) шч, ... шз„.з для знамеяателя, получаем: 'гч (ю шг) (ю юв) ' (ю юм — з) Полагая Л = пела, получаем формулу, известную под названием теоремы Фостера. Прн значениях огз, равных корням знаменателя, будем иметь полюсы входной функции х,„(ш) (аналогично резонансу токов в простейшей цепи), а при значениях оз', равных корням числителя, — нули входнои функции хах (нз) (аналогично резонансу напряжений в простейшей цепи). Переписывая (17-15) в операторной форме и вводя 2,„(р) вместо х,„(ш), получаем: ( ) и О + г()(Р ) 1)'''(д+ )а-г) (17 1г и (р' + ) (Лзт ) " (Л '+ ) 2.

Для реактивных двухполюсников х„(ог) всегда возрастает с ростом частоты, т. е. г)х, 'г(от) О, откуда вытекает свойство чередования полюсов и нулей х,„(ю). Простейший пример чередования был уже получен в 2 5-5 для кривой х (ю): вслед за полюсом (при ш =- ю,) следовал нуль (прн го =- гоа); кроме того, для всех ю (О =" го =-.

оо) выполнялось неравенство г(хгг(ш ) О. Для всех схем, которые рассматриваются ниже, это положение будет подтверждено. Сопротивление х„„, увеличиваясь, например, от — оо (полюс функции), проходит через нуль (нуль функции) и, продолжая увеличиваться возрастает до + со (снова полюс функции). Затем х„ скачком изменяется от + оо до — оо и процесс повторяется так, что г(х,„ггзю О. Те же рассуждения остаются справедливыми, если х„начинает увеличиваться с нуля. Отметим, что х,„меняст знак при каждом переходе через нуль и через полюс. Таким образом, в силу чередования нулей и полюсов функции х, для корней ее числителя и знаменателя имеем: О' о)г < шялр ь)з ч . ° .ч о)зи з ч шзя..т 492 ![ля доказательства эюго положения в общем случае предположим, что да> >хаолюсник имеет и реактивных ветвей Ддя любой нй ветви, содержащей вн яд>ктивность Е, и емкость С„имеем х, = ьЕ, — 1(ыС, и г(х,(пю =- Е, + —,, «О.

в 11о входное сопротивление дв>хполюсника х„(ы) зависит от сопротивлений х [ы) всех ветвей Поэтому (!7-16) в=! Для доказательства н>жно еще показать, что — - О П>сть ко входу дхв,(ы) дх, двухполюсника подключена э д с (рис !7 8) Выделим люб>ю ью ветвь и, „рименяя теорему компенсации, заменим ее сопротивление )х, э д с й, = †!х,(, уг тх (зиак минус объясняется совпадением положительных направлений э д с Е, и тока й) На основании принципа нало. женка определим токи й и й гг Е(=-Ух(ух й=кыЕ,+>„Е„1 (17-17) Рис 17-8 где все проводимости )хп, 1'и, Гы и Уд не зависят от сопротивления !хо т е остаются постоянными при его изменении Подставляя вместо Е, его значение — !х,)х и исключая из уравнения (17-17) ток /о получаем (!7 18) откуда 1-1 !>'пх! )хвх = — = )х Ухх+1(Уххко-~ 1,) х, (17 19) длвх (17 20) дх, [1'и+1 (1',х)'о — Ув,) х,)' ' Так как рассматривается реактивный двухполюсник, то все собсгвенные и взаимные проводимости чисто мнимые, т е у = — 16 Окончательно получаев1 Ох, 1аы+(бмй„— Эй) х,)в что н доказывает высказаняое положение 17-5.

Частотные характеристики реактивных двухпопюсников В завискмости от расположения нулей и полюсов возможны четыре типа частотной характеристики многоэлементного реактивного двухполюсника. 1. Частотная характеристика с двумя внешними полюсами 493 при и> .—... с>, == О и и> = со входное сопротивление двухполи>сн ника бесконечно велико, т. е. через него-не может проходить ни пос,о„ пони. ный ток (и> =- О), ни переменный ток бесконечно болыпой час„ готы сг Рис. 17-10. Рис. 17-9.

2. Частотная характеристика с двумя внешними нулями (рнс. 17-!0), называемая характеристикой Π— О. В этом случае при и> =- и>> == О и ы =- и>и„ > = со входное сопротивление двухподюсника равно нулю, т. е. через него могут проходить как постоянный ток, так и переменный ток бесконечно большой частоты. Рис. 17 11. Рис. 17-12. 3. Частотная характеристика с внешним нулем при и> = и» =- О и внешним полюсом при и> = со (рис, 17-11), называемая характе ристикой Π— сс. В этом случае через двухполюсник может пРо ходить постоянный ток и не может проходить переменный ток бесконечно .большой частоты. 4.

Частотная характеристика с внешним полюсом прн н =- и>и = =- О н внешним нулем прн с> = и>и„> = сс (рпс. !7-12), называе:>3" 494 арактеристикой со — О. В этом случае через двухполюсник не „ожет проходить постоянный ток и может проходить переменный ок бесконечно большой частоты. На рис. 17-9 — 17-12 частоты, соответствующие нулям функции (с>), обозначены нечетными индексами, а соответствующие хм „олюсам — четными. На тех же рисунках частоты, соответствуюп>не нулям функции х„(с>), обозначены на оси абсцисс кружками, а соответствующие полюсам — крестиками. Значения х„,.

(с>) прп „ =- О и с> =- с непосредственно следуют из рассмотрения схем, приведенных на тех же рисунках. Из тех же рисунков следует, что общее число нулей и полюсов ка единицу больше общего числа элементов / и С реактивного двухполюсника или, что то же самое, общее число частот последовательного и параллельного резонансов на единицу меньше числа последних. Это правило не выполняется, если все ветви, сходящиеся в каком-либо узле схемы двухполюсника, имеют индуктивности или емкости. Тогда число частот резонансов может быть меньше, чем число элементов двухполюсника без одного.

И, наконец, следует отметить, что чем больше нулей и полюсов имеет частотная характеристика х„„(ь>), тем все более многочисленной будет группа реактивных двухполюсников с различными схемами, но с одинаковыми по виду частотными характеристиками х„(с>). 17-6. Синтез реактивных двухпопюсников. Метод Фостера Входная функция реактивного двухполюсника, например Я„, (р) или Л„, (?о>), дана выражениями (17-15а) и (!7-15). Требуется найти его схему и параметры, т. е., как говорят, реализовать двухполюсник по частотной характеристике г,,„(?с>) = ?х„(с>).

Характеристики

Список файлов книги