Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов С.В. Основы теории цепей (4-е изд., 1975) (1152146), страница 94
Текст из файла (страница 94)
При отсутствии актнвных сопротивлений все парни знаменателя будут чисто мнимыми. Иначе обстоит дело с нулями К (р), т. е. с корнями его числителя Рг (р). При учете активных сопрогивленнй оня могут располагаться в любой части комплексной плоскости (их положение никак не связано с характером изменения во времени свободных составляю/цих токов и напряжений). При отсутствии актив«ых сопротивлений все корни числителя (как и анамеяателя) К (р) расположатся на мнимой оси.
Рассмотрим амплитудно-частотную К (е/) и фазочастотную 6 (ш) характеристики при изменении частоты ы ог — со до +со. Это удобно сделать прн помощи рис 17-2, на котором показаны пара нулей и пара полюсов передаточной функции, расположенных в левой полуплоскости. Модули выражений 1(!ы — р ] ) и 1()тв — р ) ) геометрически представляют собой расстояния ог нулей и полюсов а го ~очки М, перемещающейся по мнимой оси снизу вверх, чго соответсгвует /вменению частоты ю от — оо до+со. Аргументы выражений (!е/ — р „) и ((ы— — //„,) обозначены соотвегственно на рис, 17-2 буквами фм и гр„ /си, г е.
если четырехполюсник имеет активные сопрогнвленвя, то ви одни из модулей ' ()в — р ) Б а значит и К (в), не обращаешься в нуль при изиец „„ то инк в от — со до +оо, так нак Ве ! ((в Рщ) ! °" ) ((в Рто) ! К(го)=— о, )(1' — Р )~ "~(1 — Р«)~ Физически это означает, что если на вход четырехполюсника подано напоя нне, то при любой частоте га на выходе будет какое-то напряжещге Это утвгпх,д ние справедливо, если ни одна ветвь между важнмамн выхода не является чк, реактивной. РисУнок 17-2 показывает также, что если нн один из полюсов не лежит из мнимой осн, то К (в) ни при какой часготе ие обращается в бесконечность К«„ следует из (17.3), обращение К (в) в бесконечность означало бы, что при входио напряжении, равном нулю, на выходе могло бы быть некоторое конечное напра, жение.
Но при учете активных сопротивлений четырехполюсника и при отсутсгввн напряжения на его входе не будет напряже. ,)го ния и на его вьжоде. Вообще говоря, если корни числителя и знаменателя К ()в) расположены в лево(г или правой полуплоскости, но вблизи мняьюн У~. оси (рнс. !7-2), то при прохоищении точки 01 вблизи нулей функция К(в) будег иметь минимумы, а прп прохогкдении М вблизи полюсов функция К (в) будет иметь максимумы. Рго ь )ага Вблизи зочен, где расположевгя мини. Я мумм (максимумы) К (в), фазовая характсри.
стика увеличивается (уменьщается) на тл. В самом деле, рис !7-2 показывает, что если Мт точка Š— нуль К (в), то при дввженин из г)уга точки М' в М" аргумент В (в) увелищпся гу почти на +л. Рап «'г Если же Š— полюс К (в), го, поскольку -зг ь двучлен ()в — р ) относится к знамена- ««« гелю К(р), приращение 0 (в) будет равно — л, т е. прн прохождении ючки М вблизи М максимума К (в) аргумент 0 (в) уменыннгся Р на л. Рг При перемещении хогя бы олного н)ля из левой в правую полуплоскость в снммегричнае положение относительно мнимой осн (нз точки Е в точку Г) амплитудлочастотная характеристика К (в) пе изменится, а фазочастогная измеюпиг, так как геперь при прохождении точки М вблизи Г приращение аргуьента В (оз) будет равно не +л, а — л.
Значит, одной и той же амплитудно. частотной характерисгике К (аз) соответствуют две различные фазочасютные характеристики 0 (в). Так как в общелг случае, например для цепей с распределенными параметрами, число нулей у функции К (в) может быть бесконечно велико, то при поочередном перемещении всех их из левой полуллоскости " симметричное положение на правой полуплоскости амплитудно-частотная хапз кгеристика будет оставап ся неизменной, а фазочасготная характеристика при перемещении каждого ич аулеи будет иной Следовательно, одной и той же амплитудно-частотной характеристике в общем случае может соответствовать бесконечное число фазочастотных характеристик.
Рисунок 17-3 показывает, что при переходе любого нуля из левой полуплос кости в правую аргумент двучлена ()в — р„) увеличивается при положительноч значении частоты в (см. последовательные положения точек Ф, Й', д'", Ф 77'"). Следовательно, прн в .« О сумма аргументов двучленов (гьв — рте) = когда онн еге«гат в правой полунлоскос~н, бо:«ыае, чеч лрн раснаяаже. гинулей а левой полуплоскости. Более подробное исследование показывает, 486 нз бесконечного числа фазочастотных хаРактеРистик, соответстаУющнх заданной амплнгудно. гасзотной характеристике, минимальное значение сх умец та 0 (ш) при любом выбранном положительном значении чашоты ш зй ет в том случае, ко~да все нули К (ы) расположены в левой полуплоскости В соответствии с этим электрические цепи, все нули передаточной фун(гиии юрых лежат в левой полуплосности и, значит, аргумент 0 (ы) имеет наилгень.
„, е возчонгное значение, называются „инимальпо фазовылги цепями Если 'отя бы один нуль передато пюн ф]нканв электрической цепи расположен „ правой полуплоскосги, она назы„ается пе минймально фазовой цепью Ыз сказанного вытекает, что для „е минимально-фазовых цепей однозначной связи между К (ю) н 0 (го) не с) шествует Как было указано, причиной этого является 'расположение хогя бы одного нуля функции К(гэ) в правой полуплоскости А так как все нули функции К (ю) для Рис 17 3.
минимально фазовых цепей расположены в левой полуплоскости, то для них фазочастотная характеристика может быть однозначно определена по амплитудно-частотной Выше (см 0 !ог-3) были получены соогношения (15-26) и (15-27) Они косвенно подтверждают, что между амплитудно. частотной К (ш] и фазочастотной 0 (гэ), а также между вещественной В (ы) и мнимой М (ы) частотными характеристиками электрической цепи при некоторых условиях может быть определенная связь, г ф 1 так что, чная одну из них, можно найти друтую, и ~иг ~г~ наоборот Выражения (!5-26) и (15-27] можно рассмагривап как особого рода интегральные уравнения, из которых, зная К (ы], можно найти 0 (го), а такке, ЭЬ вЂ -а — яз зная В (ы], можно найти М (ы), и наоборот Наконец, нз сказанного вытекает, что две электриРис ческие миннмально-фазовые цепи, имеющие одинаковые амплитудно-частотные характеристики, имеют одинаковые фазочастотные характеристики Такого утверждения нельзя сделать для не минимально-фазовых цепей Пример 17-1.
Определить передаточную функцию цепи рис 17-4, Р е ш е н и е Составим изобраи.ения тока ! (опуская арг]мент р) и, гг+ г, -'„- 1(рС н напряжения на выходе и, иг -'- +1) с (ге+ урс), Передаточная функция из гз+ 1/РС К(р)= и...+г,+ 1)рс 48? Функция К (р) имеет нуль при р = — 1/гаС, т е он лежит в левой полу""осности, поэтому цепь рис 17-4 минимально-фазовая. Пример 17-2. Определить передаточную функцию цепи рис. 17.5, называемой фазовращателем на том основании, что при изменении частоты входного ."апряжения и неизмевнойегоамплнтуде велииииквыходного идцряжезццастается неизменной, а фаза изменяется. Р е ш е н и е. Найдем изображения токов 1, и 1,: и, игрс г+ 11рС гСр+ ! ' Определим изображения потенциалов точек с и б: и, С " С л11 рС " гСр+1 ' !7ггСр <Рдб фс — 1 =фа — .С г.Ср+1 ' Найдем изображение выходного напряжения сг =ф 'М= Уг гСр+ ! !гср- !). Тогда Уз гСр — 1 р — 11гС р — а к(р)= -' =- От = «Ср-~-! = р.—, !1,С р+а.
Функция К (р) имеет нуль прн р — — а = )ггС, т е в правой полуплосжктн и фазовращатель является примером не минималыю-фазовой цепл. Далее )ю — а ()ув — а! К (гщ] =; К (со) =, = 1 1ю+ а ' ! 1щ+а ! щ 1ю) йгот 0 [гз) = агс1и ) — ! — асс!6 ~ — ! = агс18 т — а1 ) а ) юз — а" т. е цепь по рис. 17-5 действительно фазовращатель ее амплнтудно-частотная характеристика не зависит от частоты, а фазочастотпая характеристика от чзс. таты зависит. Рис.
17-5. Рис 17-6. Пример !7-3. Найти передаточную функцию цепи рис. 17-6. Рею е н не. Найдем изображения токов 1, н 1а !7т 11г 1г=, ' 1з= г,+11рС. ' ге+ге' Определим иаображения потенциалов точек с и а' фг = фа 1згь' 9а =фч 1ггт и изображение выходного напряженна а=фа — фа= ггт — ага= 1 гг+ 11рбе ге+та 488 когда !?а рг,г, — геГС., р — г, 'г,г,С, Уг (та+ га) (ргт+ )гСз) (Гз ч га) (р+ ! 1СЗ) Нуль К (р) расположен в точке р = гз!гггчСм т.
е в правой полуплоскости, я рассматриваемая цепь не минимально-фазовая упомянем, наконец, о цепи, которая являс1ся так назмваемьи запаздмважнм звеном, встречаюгцимся, например, в системах автоматического управления. Ее передаточная функция К(р)=де лт и К()и)с йе гмгт. Дтгплитудно-частотная характеристика цепи постоянна К (го) = Ь и никак яе зависит от фазочастотной О (ей = — «и.
Таким образом, запаздмвающее звено также является примером не минимально-фазовой цепи. !7-3. Входные функции цепей. Положительные вещественные функции г(р)= С (р) а„р" + агре-г+ + а о(р) = ь,р--,-ь,рм ! ...+ь (17-5) и обладают четырьмя важными свойствами, 1. При вещественных значениях р (р = з) функции Л (р) и 1' (р) — вещественные, так как коэффициенты полпномов 6 (р) и Н (р), т. е.
аа и Ьм — вещественные. Действительно, коэффициенты аа и Ь„при определении у (р) по сопротивлениям отдельных ветвей получаются суммированием, умножением или делением параметров вегвей г, 7., М и С, которые вещественны. 2. Синтез будем проводить для пассивных двухполйзсников, у которых все нули гг полюсы входных функций 2 (р) и 1' (р) расположены в левой полуплоскости комплексного переменного р или иа мнимой оси этой плоскости, причем в последнем случае все полюсы и нули простые.
В отношении последнего свойства следует отметить, что если при расположении корней характеристического уравнения на мнимой оси корень р = ь- /от был бы, например, кратности гп, то соответствующее ему решение характеристического уравнения имело бы вид: х„= (С, +Ст(+ С,гз+... + С,„т(м ') згпоь1. (1?-6) Это приводило бы к нарастающему свободному процессу, что невозможно в пассивном двухполюснике. Прн сформулированных выше условиях оказывается, что все ко нциенты и и Ь полиномов 6 ф) и Н (р) должны быть поло- Ж ительнымп 489 Как известно нз предыдущего 8 14-3, !4-5 и др.) входные операторные сопротивления У (р) и проводимости )' (р) двухполюсников представляются рациональными дробями, т.
е. отношением двух миогочленов Убедиться в этом можно представив, например, полинам 6 ( в следующем виде: Р) 6(Р)=аоР'+аоР" '+ +а =по(Р Рд (Р— Ри) ° ° (Р— Р ) (17.7 Для каждой пары комплексных и сопряженных корней Р =и„+(гол и Р„, =- и, — (го, будем иметь: ( — Ро)( — +)= =(Р зо М) (Р— зо+Роо)=(Р зи) +гоо (17-8) Для вещественных корней р; будем иметь множители Р— Р, = Р— з,. Следовательно, при зо ~ О и з; — О все коэффициенты при Р в множителях (р — зо)и + гоо поли. нома 6 (Р) неотрицатсльны, а поэтому выполнив в (17-7) перемножение всех мио.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
