Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов С.В. Основы теории цепей (4-е изд., 1975) (1152146), страница 89
Текст из файла (страница 89)
При ы =- 0 из схемы (рис. 16 !1) ясно, что У, = (/г. При возрасзании частоты вектор сг, опережае вектор Уи на все больший угол Ь С и. Поэтому из диаграммы ясн„ ЧтО КОЭффнцИЕНт фаЗЫ Ь, т. Е. УГОЛ МЕжду ВЕКтОраМИ (г', И Су„буаит прн всех значениях ы положительным. г, — с (». ис Рис. 16-10, Рис. 16-11. В области затухания фильтра, когда 6 изменяется от 1 до сс, а ~ 0 и, как следует нз второго равенства (!6-41), Ь остается раиным и. Из первого равенства (16-4!) получим в области затухания; с)1 а= — А =2$и — 1, (16-46) откуда и находим затухание а. Отметим, что именно для чисто реактивных фильтров левая часть второго из равенств (16-4!) равна нулю при любых частотах си.
гг — с йг — с Рис. 16-12. Рис. ! 6-13. Это и определяет вид частотных зависимостей затухания а и фазы Ь, приведенных на рпс. 16-!О. Так как второе уравнение (16-41) удовлетворяется либо при а = О, либо при Ь = и (или 0), то точки излома частотных характеристик а и Ь получаются как раз при со = =-- си (Б = 1). Р(так, кривая Ь в области пропускания строится по уравнению (!6-45); в области затухания Ь =- гс. В области пропускания а = О.
а в области затухания кривая а строится по уравнению (16-46) Как было показано выше, при согласованной нагрузке в области пропускания (а =. 0) величины входных н выходных напряжений и огветственно токов одинаковы. Отличие а от нуля в полосе зату„ания означает неравенство У, и У,„У, и У,, точнее — уменьшение цыходпых величин по сравнению с входными, т. е. К - (/„7., с 7,.
Подчеркнем, что для фильтра в отличие от линий (гл. 18) затуаине в области непропускания не связано с потерями в его элеменах (фильтр чисто реактивный). Сказанное иллюстрирует векторная иаграмма, построенная для схемы рис. !6-!3, где Е. =- 0,64 Г, г == 0,16 мкФ, (l, = 200 В.
На этом рисунке изображен тот же П-образ- 1, ный низкочастотный фильтр, работаю- 1, шпй в режиме согласования с нагруз- гг й, кой при одной из частот в обласзи I затухания (а = 2ы,), когда характеристическое сопротивление его — емкостное (см. ниже). Из диаграммы рис. 16-!4 видно, что (7, - (7,, 7, ( 7, и что сдвиг фаз между векторами О, и 1у„а также /, и 7, равен г| 180, как это и следует из частотной характеристики Ь (рис. !6-!О), Так как равенство (16-39) справедливо не только для П-, но и для Т-схем, то все сказанное выше о зависимостях а и Ь от частоты относится и к Т-фильтру низких частот (рис.
16-15). Иными словами, частотные характеристики коэффициентов затухания и фазы и граничная частота о, для П- и Т-фильтров одинаковы. Легко убедиться, рассматривая схему (рис. 16-15), что а, для Т-фильтра является собственной частотой контура, получаемого коротким замыканием входных и выходных зажимов. Не одинаковы для П- и Т-схем только характеристические сопротивления. Приведенные выше частотные зависимости затухания а и фазы Ь могут быть качественно получены из физических соображений, если исходить из известных графиков характеристических сос противлений Я, (рис. !6-16) и считать фильтр согласованным с нагрузкой во всем диапазоне частот, В области пропускания характеристическое сопротивление 2„ — активное, т.
е. Р !В-1В г, = г,, Поэтому при согласованной нагрузке входное сопротивление фильтра со стороны первичных зажимов (рис, 16-9 н 16-15), равное характеристическому сопротивлению, также чисто активное (т. е. напряжение 17, совпадает по фазе с током (Д. Следовательно, (16-47) (7д — 7~а~ н 1 ~ = 7за~ А это означает, что при согласованной нагрузке фильтр работает в режиме резонанса для всех частог в области пропускания. Кроме того, для чисто реактивного фильтра одинаковы первнч ные и вторичные активные мощности, т, е. (16-48) Из соотношений (16-47) и (16-48) в порядке проверки получаем (/, =- (/, и /, = /, и на основании (!6-37) заключаем, что при зтом а=- О.
Далее из схем рис. 16-9 н!6-15 очевидно, что при сп -+- 0 коэффн. циент фазы Ь -+ О. С увеличением частоты в пределах области про. пускания вектор О, (/,) опережает вектор Оп (/,) на все большая угол, что следует из векторной диаграммы рис. 16-12. Если построить векторные диаграммы для Т-схемы при г = г, = 0 или для П-схемы при г = г, = ос, то можно убе. х.. л~ в диться, что О,(/,) опережает по фазе О, (/,) на 180'.
В области затухания для апсс П-схемы Х,а — емкостное. Пог з сп 64ас скольку схема (рис. 16-13) содержит только индуктивности н хт емкости, очевидно, что О, (/,) может находиться либо в фазе, а ! либо в противофазе с О, (/с). „,,~пнпс Построением векторной диаграмм нс мы при любой частоте сп)сп„ аналогичным приведенному на Хсп рис. 16-14, можно убедиться, что !! !! О, (/,) находится в противофазе с О, (/,) и что (/,) (/, н Рнс. 16.16. /! = /,.
Построив векторные диаграммы для двух каких-либо значений сп сп„легко убедиться, что с возрастанием сп отношения (/,/(/з и /,//, растут, т. е., как следует из равенства (16-37), растет затухание а. Из схем рис. 16-9 и 16-!5 непосредственно видно, что при сп = со напряжение (/, на выходных зажимах равно нулю, т.
е. затухание а равно бесконечности, Найдем теперь частотные зависимости характеристических со- противлений П- и Т-фильтров низких частот. На основании (16-22), (16-23), (16-39) и опыта короткого замы. кания для П-схемы получаем для 2.п' г, сп п!1 и )/спг + 2 ) 9 Р !+: 4 460 Р(з тех же формул и опыта холостого хода для Т-схемы имеем для Х,г'. айд ~ 2 г (1+' ' '~ с С = $, ф г'я1 + 4 1 С 1' м1 ~ С) (16-50) Частотные характеристики сопротивлений з,п и з,г приведены на рис. 16-16. В области пропускання характеристическое сопротивление — активное.
При очень малых частотах оно мало изменяется с ростом частоты и близко к значению )Г~~С. Г1о мере увеличения частоты и приближения ее к ы, характеристическое сопротивление П-фильтра стремится к бесконечности, а Т-фильтра — к нулю. В области затухания при достаточно большой величине $ в формулах (16-49) и (16-50) можно пренебречь под корнем единицей по сравнению с $'.
Тогда получим: ~Х~ ~ „~~... б г, = г,у - - — = —,; г„= ~Г. д=)ы, ~сд .с !И 2 461 Отсюда следует, что при достаточно высоких частотах для П-фильтра индуктивное сопротивление катушки возрастает настолько, что характеристическое сопротивление определяется только емкостным сопротивлением входного конденсатора з Т С/2. Аналогично для Т-фильтра при достаточно высоких частотах характеристическое сопротивление стремится к величине индуктивного сопротивления ь катушки Ы2. Применение той или иной схемы фильтра определяется условиями его рабогы и предъявляемыми к нему требованиями. Например, пусть к линии, представляющей собой одновременно два канала связи — канал низкой и канал высокой частот, — нужно подключить какой-нибудь аппарат низкой частоты. Это можно сделать, как показано на рис. 16-17, при помощи низкочастотного фильтра, включаемого между линией и аппаратом.
Низкочастотный фильтр пропустит и аппарат токи низкой частоты и не пропустит токи высокой частоты. Фильтр может быть собран по Т- и П-схемам. Однако в данном случае целесообразнее выбрать Т-схему, так как для П-схемы токи высокой частоты без всякой необходимости за.. мыкают втор С(2 что может ухудшить Работу канала высокой частоты. Соединение в каскад ряда П- или Т-схем дает многозвенныи фильтр. Как общее свойство всех фильтров, отметим, что включение в каскад ряда звеньев увеличивает крутизну кривой затухания фильтра. При соединении в каскад звеньев с одинаковым характе рпстическим сопротивлением общее затухание фильтра равно сумме затуханий отдельных звеньев. Однако, как показывает более под. робное исследование, из-за активных сопротивлений затухание всего фильтра растет не пропорционально числу звеньев, а нес.
колько медленнее. Например, если затухание одного звена равно а, то двухзвенного фильтра — 1,65 а, а трехзвенного — 2,6 а. При учете активного сопротивления звеньев зависимости затухания а и фазы Ь от частоты определяются следующим пугем, На основании (!6-39) для Т- и П-схем с)з(а+!Ь) =М+1)У=1+ — ''. (16-51) Так как в общем случае 2, и У'з — комплексные, то левую часть равенства (16-5!) можно представить в виде сй (а+)Ь) =ей асов Ь+/зй а з)п Ь= М+)У. Приравнивая в отдельности вещественные и мнимые части, получаем: спасозЬ=М; з(таз)пЬ=)ч'. Возводя последние равенства в квадрат и заменяя во втором из них синусы через косинусы, будем иметь: Л"=зУ аз)пз Ь=(сйз а-1) (1 — сов'Ь) =сп'а+сова Ь вЂ” ! — М', сУ а+ соьз Ь = Мз+ 1+ йг'.
Прибавляя к обеим частям последнего равенства -~: 2с)з а соз Ь = — -~ 2М и извлекая квадратный корень, получаем: с)за+сов Ь =+ 3 '(М+1)'+Л", сй а — соз Ь=+ )/(М вЂ” !)з+ЬГ' Здесь знаки минус должны быть отброшены, ибо с(з а всегда больше плюс единицы, и формулы должны быть верны при любых по модулю значениях а н Ь. Решая эти два уравнения, найдем сп а и соз Ь: сй а= 2 !+ У(М+ !)'+ й('+ К'(М вЂ” 1)'+ Л" 1! (16-52) Ь= -~-1+ 3/(М+ 1)2+ДГ2 — Ф (М вЂ” 1)з+Фз).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
