Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов С.В. Основы теории цепей (4-е изд., 1975) (1152146), страница 9
Текст из файла (страница 9)
1-24, а) ~рс =- О, то потенциал рг узла 2, очевидно, будет равен Е. Для определения двух неизвестных потенциалов рг и ср, нужно составить уравнения пгг (1-33), которые полностью совпадут г, г г с уравнениями, составленными для тех же узлов эквивалентной схемы (рис. 1-23, б). Полезно еще рассмотреть при- / менение уравнений (1-33) для ча- Рис Ь25. стного случая схемы с даугся узламп и произвольным числом активных ветвей, когда требуется определить напряжение между этими узлами. Пусть между узлами 1 и 2 включено т ветвей (рис. 1-25).
Найдем напряжение Угг, записав уравнение (1-33) для первого узла (йг+Й+йг+ +Ыг+ +Ып~) %г— л =" ю (вг + Ыг +ад + '' + Ии + ' ' + йы)фг ~) Еьвл (1 43) г-1 откуда г=т благ а =-! (1-46) ср гр = ;де числитель представляет собой алгебраическую сумму произве„ений з. д. с. на проводцмость для всех ветвей, содержащих з.
д. с. (с положительным знаком берутся з. д. с. направленные к узлу 1), а знаменатель — арифметическую сумму проводимостей всех ветвей, включенных между узлами. Пример 1-3. На рис. 1-26, а изображена электрн геская схема с шестью ненэ„естными токами; э.д.с. нето гникош Е, = 6 В, Е, = 12 В и Е, = !8 В; сопротивления ветвей; П = тз =- гз -— — 2 Ом и т, = — г,, = гз = 6 Ом. Пользуясь методом узловых потенцйалов, определить токи ао всех ветвях. а Из Рис. 1-26. Р е ш е н и е. Пусть потенциал точки О равен нулю.
Запишем уравнения для узлов с потенциалами ф,, ф, и ф,,; (кг+кз+Из) фг — йзфг — кзфз= Егкг Езнг Его — Ызфг+(Аг+яз+Ыз) фг — язфз =Ейз*' — ятфг — Ызфг+(яз+кз+Ыз) фз=Езяг или после подстановки числовых значений проводимостей и э. д. с. 1 1 . 1 5 ! 2 2 ' 2 ' 2 ' 6 6 фг — — ф — фз = — 18: — - фг+ - фг — фз = 6; 1 1 5 фг фз+ фа=9. 2 6 ' 6 Решая совместно эти уравнения, находим искомые потенциалы: ф, = — 9 В; ф, = 3 В; фз =- 6 В.
г(ля определения токов в ветвях следует задаться их положительными направлениями. При выбранных положительных направлениях токов (рис. 1-26, а) 1г=-(фз — фг — Е ) яг=),5 йч 1з=(фг — ф +Ез) яз=о: )з=(фг — фт+Ез) яз=) 5 йи 14=(фз фз) яг=) йп 1т =-(фз — фз) д, --0,5 йи 14 = (фз — фз) Из = — 0,5 Л. Матричные уравнения узловых потенциалов.
Уравнения узловых потенциалов (1-33) можно записать в матричной форме: г ч -з. — — н-ив где й'и Ри ° Ау ~,:— а, л,,—,, — ол Ыа1 Яка +Яку — квадратная матрица узловых проводимостей схемы; (м <р 'г2 и 1,= — матрица-столбец потенциалов узлов н матрица-столбец токов источников тока в узлах, где по (1-33а) /„= У, + ~"Е„ду, 'прп этом алгебраическое суммирование, выполняемое с учетом знаков, распространяется на все ветви с источниками токов н с источниками напряжений, присоединенные к мму узлу. Умножая слева уравнение (1-47) на ~,'д'т'~' -', получим выражение для определения потенциалов узлов схемы в виде ф =," д( ю '-1,1 (1-48) где ~~И(т~,'(-' — матрица, обратная матрице;,'йоч'1.
Ниже показано, чзо матрицу узловых проводимостей цепи можно составить непосредственно по соответствующей схеме, применяя формулу доч = Ад„А', (1-49) где А — матрица соединения узловых проводимостей ветвей схемы илн ее ориентированного графа, д~ — диагональная матрица проводимостей ветвей; А' — транспонированная матрица соединения узловых проводимостей ветвей схемы или ее ориентированного графа. Матрица А составляется следующим образохг столбцы матрицы соозветствуют ветвям схемы, а ее строки — узлам, на пересечении строки и столбца записывается -+.! или 0 (пробел) в зависимости от того, присоединена данная ветвь к соответствующему узлу или нем положительный знак записывается в том случае, когда ветвь направлена от узла, а отрицательный — к узлу; при этом направление ветви обычно совмещается с положительным направлением тока' 'в 1ж1.
,' — 1 1 10 00( А=, '0 — 1 00 — ! 1,' 0 0 — 11 10~', Диагональная матрица проводимостей ветвей я» = 11гз равна: д,оооо 0 д,обо ~0 од,,о 0 Ыа= 0 0 0 :0 оод,о '(0 ооод,о( ,0 0000д,~ Произведение матрип А и д„равно: — д, я, д,о 00!' Ая„= 0 — д, 0 0 — дз д,,(, 0 0 — д„д, дз 0(( Матрица узловых проводимостей цепи получаегся после перемножения матриц Ая„г( А'( а о о — гч а~ зз о о о о о о о -( (( за й а а(У> = ла„л'=-,( о. — а, а а а — а, о (а~+з1+ал -а.
— а. (й+аь+а( а — (аз ( а~+ за Матрица-столбец потенциалов узлов ~($1 ( (р=" (((з ( ) ((рз ( источников тока Матрица-столбец ЕзЯз Егйз Езйз ( д '1с Е,уд Для иллюстрации применения формулы (1-49) рассмотрих( схему рис. 1-26, а, для которой на рис.
1-2б, б построен ориентированный граф, Поскольку у заданной схемы четыре узла, то для иее можно составить три независимых уравнения, чему и соответствует матрица соединения узловых проводимостей ветвей из трех строк и шести столбцов: ь1 А~тр (1-50) где положительное направление У, совпадает с положительным направлением тока в ветви. Это непосредственно получается из формул для напряжения на каждои ветви. Например, для схемы по рис. 1-26 0 О) — 1 0( 0 — 1!' ~' — ! 1~' 0~,~ '! — 'Рг трг ' 'Рг — трз трг —.г+.з ~ ~и,1 , из~~ ~ Ц 0 трг 1 (7з, Из этого выражения следует: (7з = Чз' ьуз = Ч'з 7з~ Уз=тг — Рз, (г з = трг. згг= 'рг из= Р,— Р;, 1-8.
Метод контурных токов Для расчета режима сложной электрической цепи можно ограничиться совместным решением лишь к =- (в — у + 1) независимых уравнений, составленных на основании второго закона Кирхгофа, воспользовавшись методом контурных токов; здесь в — число ветвсегда удовлетворяется.
Пользуясь выражением (1-47), легко получить систему уравнений, приведенную в примере 1-3. Если матрицу А дополнить четвертой строкой, соответствующей узлу О, то по формуле (1-49) получится неопределенная матрица узловых проводимостей цепи, для которой сумма элементов по всем четырем строкам и четырем столбцам равна нулю; определитель такой матрицы также равен нулю. После вычеркивания любой строки и соответствующего этой строке столбца, например четвертой строки и четвертого столбца, получается определенная квадратная матрица третьего порядка.
Определитель такой матрицы симметричен относительно главной диагонали. Если вычеркнутая строка не соответствует вычеркнутому столбцу, то и в этом случае получается определенная квадратная матрица, соответствующая независимой системе уравнений. Однако определитель такой матрицы уже не имеет симметрии относительно главной диагонали [см., например, (1-38) и (1-43)1. Здесь следует особо подчеркнуть, что если принять равным нулю потенциал того же узла схемы, который соответствует вычеркнутой строке матрицы А, то напряжения на всех ветвях схемы определяются через потенциалы узлов по формуле Для иллюстрации применения метода контурных токов рассмотрим схему на рис. 1-27, а с шестью ветвями и четырьмя узлами. Прежде чем составлять уравнения по второму закону Кирхгофа, надо выбрать взаимно независимые контуры так, чтобы одна из ветвей каждого контура входила только в этот контур. Например, в схеме рис.
1-27, а первая, вторая и третья ветви входят соответственно только в контуры 1-2-4-1, 2-3-4-2 и 1-4-8-1. Для правильного выбора независимых контуров введем еще дополнительные понятия. Д е р е в о м графа (схемы) называется б 1 ~ 'б гб 1« »- — — / б- Еб 1 -с„, Д- — -«и» б) 1 1 1 1 и ч б -усб г~ 6) Рис 1-27. совокупность ветвей, соединяющих все узлы, но не образующих ни одного контура. Между любыми двумя узлами дерева существует только один п у т ь графа — непрерывная последовательность ветвей между заданными двумя узлами при условии, что каждый узел встречается не более одного раза.
Наличие хотя бы двух разных путей между двумя узлами дерева, очевидно, приводит к образованию контура. Если число узлов схемы и ее графа у, то число ветвей дерева равно у — 1, так как из у ветвей можно всегда составить контур, В ет в ь ю с в я з и (связью, главной ветвью или дополнением дерева) называется любая ветвь, не входящая в состав дерева. В дальнейшем будем пользоваться преимущественно термином «ветвь связи», Все ветви схемы, не входящие в состав дерева и называемые ветвями связи, дополняют соответствуюшее дерево до полной 1ы 45 Взаимно независимые контуры получатся, если в каждый кон тур войдет одна ветвь связи, действительный ток которой буде. равен соответствующему контурному току. Ветви с идеальнымв источниками э.
д. с. н без сопроыввлений обычно включают в гостю дерева, а ветви с источниками тока относят к ветвям связи. Вегаг с идеальными источниками э. д. с. и сопротивлениями (соединен ными между собой последовательно) могут входить как в состш ветвей дерева, так и в состав ветвей связи. Например, для схемь рнс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
