Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов С.В. Основы теории цепей (4-е изд., 1975) (1152146), страница 7
Текст из файла (страница 7)
1-18, а) можно написать уравнение для контура 2-1-б-2 Ум — га1з = Еа — Ез нли для контура б-4-2-5 га1а+ г 14 — Уа =Е4, откуда легко найти искомое напряжение. При изложении методов расчета электрических цепей иногда целесообразно применять некоторые топологические понятия, к числу которых относятся, в частности, неориентированный и ориентированный графы. Как следует из первого закона Кярхгофа (1-19), вид уравнений зависит не от элементов ветвей, соединенных в узлах, а от геометрической структуры самих соединений. Аналогичный смысл имеет уравнение (1-20а), выражающее второй закон Кирхгофа, поскольку в эти уравнения в отличие от уравнений (1-20) элементы ветвей (э, д. с., сопротивления) не входят.
Однако сами токи и напря>кения зависят не только от геометрической структуры цепи, но н от элементов соответствующих ветвей, что непосредственно следует из закона Ома для участка цепи с э. д. с. (1-12). Таким образом, для характеристики геометрической структуры схемы электрической цепи можно воспользоваться г р а ф о и, линейныя отрезки которого, часто называемые ветвями (ребрами), изобража~от ветви схемы электрической цепи, На рис. 1-18, б показан ненаправленный (неориентированный) граф для электрической схемы, изображенной на рис.
1-18, а. При этом каждый из отрезков — ветвей этого графа (рис. 1-18, б) соответствует определенной ветви электрической схемы (рис. 1-18, а). Н а п р а в л е н н ы м (ориентированным) графом называется такой, у которого каждая ветвь имеет определенное направление (ориентацию). Для графов электрических схем направление (ориентация) ветвей, как правило, совпадает с положительными направлениями токов и напряжений, которые выбраны при составлении уравнений состояния электрических цепей.
Лля той же электрической схемы (рис, 1-18, а) показан направленный граф на рис. 1-!8, в, у которого направления ветвей совпадают с положительными направлениями ~оков и напряжений. Лля направленного графа рис. 1-18, з можно написать уравнения на основании первого (1-19) и второго (1-20а) законов Кирхгофа в следующем виде: 1+1з+Уа= — 0 16 Уа 1~=0 Уа 1з У6 0 1~ Уа Уз=О и (.
ы+ (Уы Уы = 0; Ода Узз — (/и.= 0; Юга+ Ум+ Ум — О. При этом первые четыре уравнения совпадают с уравнениями (1-21а), а последние трн уравнения можно преобразовать в уравнении (1-23) и (1-24) при помощи закона Ома для участка цепи с д, е-; (-1--12) . Например, из схемы (рис. 1-18, а) следует, что ('и= — Ез+ г~(ю' Ум.— — — Е4+ гз1~, 'Ум-— — — Еи+гз1а' после замены напряжений У,м (1,, и У„в уравнении для контура 1-4-2-1 (рис. 1-18, в) их правыми частями получается выражение, совпадающее с уравнением (1-23).
Отметим, что концевые точки ветвей графа называются у зл а м и (вершинами). Для полной характеристики электрического состояния цепи надо знать не только токи и напряжения, но также мощности источников и приемников энергии.
В соответствии с законом сохранения энергии развиваемая источникамн энергия равна энергии, потребляемой приемниками, Из э~ого положения следует, что для любой электрической цепи с источниками э. д. с. алгебраическая сумма мощностей, развиваемых источниками э. д. с., равна сумме мощностей, потребляемых всеми сопротивлениями (в том числе внутренними сопротивлениями источников энергии): л =- е ь =- а ~, Еи1л = .~, ги1л.
(1-28) л =-1 л=! Если действительные направления э. д. с, и тока в некоторой ветви совпадают, то мощность такого источника э. д. с. входит в уравнение (1-28) с положительным знаком и источник отдает энергию в цепь (работает в режиме генератора). Если направления э. д. с. и тока в ветви противоположны, то мощность источника э. д.
с. записывается в уравнении (1-28) с отрицательным знаком и такой источник работает в режиме приемника, потребляя энергию. Отметим, что уравнение (1-2б) может быль получено также из законов Кирлгофа (1-19) и (1-20). Матричная форма записи уравнений Кирхгофа. Если электрическая цепь состоит из в ветвей, то на основании (1-19а) и (1-20) можно в общем случае записать в независимых алгебраических уравнений электрического состояния цепи в следующем виде: ац11 + ам1з + . ° + аы16 Е~,' а,А+ а,,1з+...
+ а„,1, = Е„. (1-26) а„1, + а,,1, +... + а„„1„= 1 „. Поскольку эти уравнения получены на основании двух разных законов, то опн не однотипны. В узловых уравнениях, вьпекающих из первого закона Кирхгофа (1-19а), коэффициенты а„ не имеют размерности и, очевидно, могут принимать только значения -1 или О. Правые части в этих уравнениях Е, = 21 имеют размерность тока и равны нулю, если к соответствующему узлу не подключены исз очни ки ~ ока. В " ' " * ...,и,, ~ "* ~длкд Рю2я Лил гбила (1:20), комЯиц сны а; имеют размерносзь сопрозт~вления, 30 ~~ам а„... ам ' ~! ам ах„.... а,„ а= -..
!~ пв1 пах ° ° ° пев 1 — матрица-столбец токов ветвей, т, е. ! 1=- 1т и à — матрица-столбец активных параметров, т. е. Напрнмер, для схемы рис. 1-18, а первые три уравнения (1-21а), а также уравнения (1-23) и (1-24) можно записать в матричной форме, если припять: 1 ! Π— 1 ΠΠΠ— ! О 1 О 1 — 1 г', О О 00 О( гх О О О О Г' гд — Гз Π— гх О О О 31 а величины Р> —— — ~ Š— размерность потенциала и равны нулю, если в контуре нет э, д. с.
Если !'-я ветвь входит в >'-й контур, для которого составляется уравнение, то, очевидно, должно быть а„=:~- го, а если не входит — ао =- О. Здесь г„сопротивление 1'-й ветви, входящей в 1-й контур. Уравнения (1-26) можно записать в более общей матричной форме; а!==0, (1-27) где а — квадратная матрица коэффициентов, т. е. Справедливость приведенной записи легко проверить, подставив матрицы а, ! и Р в уравнение (1-2У). Пример 1-2.
Пользуясь законами Кнрхгофа, написать два выраткення для тока !, в ветви с гальванометром (рис. 1-19), принимая в одном случае из- всстньнт ток 1, а в другом — напряжение (/. г "г Р е ш е н и е На основании законов Кирхх 1 тофа напишем для заданной схемы с шестью невзвестныма токами уравнения: 14+ /з — ! =- О (для узла 1); Х вЂ” е г 14 /, -Р !, — 1, —.
О (для узла 2); 1 о г 1 — /, — !, =- О (для узла 3); "г (/ 4 г,/, + г,/, — гз/з = — О (для контура 1-2-4-!); т г,/, — Г4/, — Г„1„= О (для контура 2сь4-2); /В Е Гз!, + Г,/. = и — .,1 = и Рис. 1-19. (для контура 1-4.8-1). Решая совместяо эти уравнения, получаем выражение для тока 1, через вапряжение (/: (..., — ...,) и Га (Гт+Гз) (та+44), Г. Гз (Гз+Г4)+ГзГ4 (Гт+Гз/ и через тон д (г,т, — т,тз! 1 Гз (Гт+ ГЗ+ ГЗ+ Г4) -Г (Гт+ ГЗ) (ГЗ+ Г4) 1-7. Метод узловых потенциалов Как было показано, режим любой цепи полностью характеризуется уравнениями, составленными на основании первого и второго законов Кирхгофа, причем для определения токов во всех в ветвях необходимо составить и решить систему уравнений с в неизвест- у~ гг Д ными.
1 -О. 1 г — ~~ Число уравнений, подлежащих решению, можно сократить, 4~ф' "г д 24 уг если пользоваться м е т о д о м 1(ч 2. ~ гг гг узловых потенциал о в, основанным на примене- г яг нии первого закона Кирхгофа г и закона Ома (1-12). г г г Для выяснения сущности этого метода рассмотрим, например, электрическую схему, Рнс.
1-20. показанную на рис. 1-20. Пусть потенциал одного /из узлов, например узла 3, принят Равным нУлю, т. е. 4Рз = О. Такое допУщение не изменЯет Условий задачи, так как ток в каждой ветви зависит не от абсолютных значений потенциалов узлов, к которым присоединена ветвь, а от раз-нести-нотеинивлов ив -зачин 32 На основании первого закона Кирхгофа для узлов 1 и 2 этой схемы при выбранных положите.чьных направлениях токов получаем: 1ь — 1,— 1,+1,=-0; 1 — 1,— 1,— 1,+1,=0. ) Токи в ветвях на основании закона Ома (!-12) 1з= (Рт — грз) Яв! 1! = ( — Чзз+ Ег) Яь' 14 = гртЯь 1ь =--(грт грз+ Еь) Яь (1-29) 1з=( грз+Ез) яз' 1а.=(грз+Ез) яз где Ч, и гр, — потенциалы узлов 1 и 2, После подстановки (1-29) в (1-28) и группировки членов получим: грт (Яз+ Яь+ Яь+ Яз) срз (Яз+ Яь) = Еьуь — ЕьЯь! — грз(яз+ яь) + грз (яо+ яь+яз+ яз) = — Еьяь+ Езяз Езяз илн ЯыгРт — Я! згрз =,У, ЕЯ; ! — язз!Рг+яззгрз=,лз Ея ) 2 (1-30) 11= Ррг ыг) ЯП 1ь=йсгуь! 1ь=(йг грз+~ь)нь 16=(грг Чз)нб (1-32а) для узла 2 1с=(ЧЗ ьз)уз! 1з=(срз+Ез)уз! (1-32о) 1с=(г( — Чсг)уь! 1ь=бр — т — Ез)аь.
1 После подстановки (1-32) в (!-31) и группировни слагаемых получаются уравгия, совпадающие с ((сЗФ 2 Основы теорие цепей ЗЗ В этих УРавнениЯх Я„=- Я, + Я, + Я, + Я,; Я„=Я, + Яь + + я, + я, — суммы проводимостей ветвей, присоединенных соответственно к узлам 1 и 2; я„== я„= яь + я, — сумма проводимостей ветвей, соединяющих эти узлы. Правая часть каждого из уравнений (1-30) равна алгебраической сумме произведений э.
д. с. источника на проводимость для каждой из ветвей, которая присоединена к рассматриваемому узлу. 11роизведение вида Ея записывается с положительным знаком в том случае, когда в. д. с. направлена к рассматриваемому узлу, и с отрицательным, когда з, д. с. направлена от узла. Уравнения (1-30) не зависят от выбранных положительных направлений токов в ветвях, '!тобы полтвердить это положение, рассмотрим опять схему, пояазанную на рнс.
1-20, и для иаждого узла примем положительные направления токов от узла. Для узлов 1 и 2 справедливы уравнения 1;+1;+1,+1,=о; 1 1; Ь1,+1„.+1„=о, 1 (1-31) ПРинимаЯ, наи и Раньше, грз = О, напишем выРажениЯ ДлЯ токов ветвей: для узла 1 Таким образом, можно написать уравнения для определения потенциалов узлов произвольной электрическои пепи, не задаваясь положительными направлениями токов в ветвях; при этом потенциал одного из узлов надо принять равным нулю. Если электрическая схема содержит не только источники э д.
с., но и источники тока, то в уравнения, составленные по первому закону Кирхгофа, войдут и токи источников тока. При составлении уравнений вида (1-30) токи заданных источников тока учитываются для каждого узла в виде слагаемых в правой части, причем, как было отмечено выше, с положительными знаками должны быть взяты токи источников тока, направленные к узлу, а с отрицательными — от узла. Например, для узлов 1, 2 и 3 схемы, показанной на рис. 1-21, при Чз = 0 получим соответственно следующие уравнения: ЫЗЛ1 — ЫиЧ!2 — Ы!25РЗ = / + ЕЗЫ1', — Ы!1Ч51+ ЫЗЗЗЙЗ вЂ” Ы252рз =- ЕЗЫЗ' — Ы51ч1 — Ы325г1+ Ыззч 3 = ЕДЫ!1 где Ы11 Й1+Ы5+ЙЗ ЫЗЗ = Й 5+ Й5 + ЫЗ' Ы1 2 = Ым = Ыз' ЫЗЗ=.ЫЗЗ=ЫЗ и ЫЗ =)155 Й'13 = Й'31 = Й51 Если электрическая схема имеет в своем составе (д-ь1) узлов (у — любое целое число), а потенциал, например, у + 1-го узла принят равным нулю, то для определения и потенциалов остальных узлов получается у уравнений: у !-! Ы11Ч!1 — Ы12!р1 —... — Ы1„5рр —...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
