Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов С.В. Основы теории цепей (4-е изд., 1975) (1152146), страница 11
Текст из файла (страница 11)
+ гн1, +... + г„1 „= Е,; гю11+ гкал + ° ° + гк!1~ + ° ° + гкк1к =' — Ен. В этих уравнениях сопротивление вида гл (с двумя одинаковыми индексами) называется собственным сопротивлен и е м к о н т у р а 1, а сопротивление вида г„= гы (с двумя различными индексами) называется о б щ н м с о п р о т и в л ен и е м к о н т у р о в 1 и А. Правые части уравнений (1-58) называются к о н т у р н ы м и э, д. с. Каждая из контурных э. д. с. вида Е, равна алгебраической сумме э. д. с, всех источников в ветвях контура 1.
Положительные знаки в каждом уравнении (1-58) должны быть взяты для токов и э. д. с., положительные направления которых совпадают с произвольно выбранным направлением обхода соответствующего контура. В более общем случае, когда электрическая цепь содержит как источники э. д, с., так и источники тока, контурное уравнение для 1-го контура записывается в виде 1, + ~; го1,= — Е, + ~", г„1„=Е„, (1-58а) 50 где ф «,,~ обозначает собственное сопротивление контура 1; г„— общее сопротивление двух контуров 1 и 1; ӄ— ток источника тока, замыкающийся по сопротивлению гп Решая систему уравнений (1-58) при помощи определителей относительно любого из токов, например 1„получаем; 1в=Ез —,, +Ез,,+ +Ез — „, + + !зп !зц Ва (1-59) где Рео — определитель системы уравнений (1-58), т.
е. гы г,з...ги...г,, гз, гз, ... г„... гзк гп г,з ...га .,.гв, (1-60) Рм)— гкз гкз ° ° ° гк( ° ° ° гкк (г, + «в + гв) 1, — гз1з — «41з = Е, — Е;, — гв1з+ (гз+ гз+ гв) 1з гв1з = — Ез', — гв1з — гв1з+ (гз+ гв+ гв) 1з =Ез+ Ев', гз1з+гз1з+«в(з=Ез Ее+ Ез (1-61) гге последнее уравнение получено простым суммированием первых трех; оно справедливо для внешнего контура, проходящего через ветви связи с сопротивлениями г„гз и гз Совместное решение любых трех уравнений системы (1-6!) определяет неизвестные контурные токи 51 Рз, Р~з, ..., Р~в, ..., Рм — алгебраические дополнения определителя Р~"', причем Рвв получается из Рео путем вычеркивания 1-го столбца и д-й строки и умножения полученного определителя на ( — !)'"в.
Необходимо отметить, что сопротивления вида га и гм нужно записывать в выражении (1-60) с тем знаком, который стоит перед соответствующим напряжением в уравнениях (1-58). Подчеркнем, что при соответствующем выборе конт!ров получится такая система контурных уравнений, определитель которой имеет аналогично определителю Р~г' минимальное число слагаемых с отрицательными знаками (которые сокращаются с соответствующими положительными членами). Для иллюстрации отмеченных положений рассмотрим схему на рис. 1-27, а, для которой справедлива, например, следующая система уравнений: Покажем, что система из первых трех уравнений дает определитель с ббльшим числом слагаемых (до сокращения), чем система, например, из первых двух и четвертого уравнений. Для первых трех уравнений определитель («) + «в + «ь) «ь «в — («+ «ь + «в) — «, — >'в «, («,+,в+«,) (1-62) 1 )(в> («) + «в «ь) «ь >)(в>= — «, («ь+«ь+«,) — «, = («,+«,+«ь) («ь+«в) «ь+ (> Гь «, +( () + «в) «ь«в+ «ь«в т «в«а (() + > в+ «ь) «ь«в+ «ь«в«ь+ + Гв«а«ь + «в«> («ь + «ь + «в) .
(1-63) В этом определителе только два слагаемых равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку и сокращаются. Для решения общей задачи расчета неизвестных токов во всех ветвях линейной электрической цепи можно выбрать один нз двух основных методов расчета: узловых потенциалов или контурных токов.
Методом узловых потенциалов целесообразно пользоваться, когда число узлов схемы, уменьшенное на единицу, меньше числа независимых контуров у — 1 ( к, а методом контурных токов при (> — ! ) к. Матричные уравнения контурных токов. Уравнения контурных токов (1-58) с учетом (1-58а) можно записать в матричной форме: г(в>1нв) = Е (1-64) где г(в) — квадратная матрица контурных сопротивлений; Рв) — матрица-столбец контурных токов; Е") — матрица-столбец контурных э.
д. с., учитывающая источники э. д. с. и эквивалентные э. д. с. от источников тока. После умножения уравнения (1-64) слева иа (! гоо ((' получим: 1(к) =1г(в) 1-1 Е(в> (1-65) Покажем, что матрицу контурных сопротивлений г'"> можно получить непосредственно по схеме при помощи матриш ) соединения контурных сопротивлений В: г(") = Вг„В', (1-66) Этот определитель после раскрытия имеет 38 слагаемых (до сокращения), из которых 22 попарно равны по абсолютному значению, но по знаку противоположны и сокращаются.
Для первых двух и четвертого уравнений определитель !1 0 0 1 1 О! В=(>0 1 0 0 — ! 1 ~,'. !О О ! — ! Π— 1~.', Диагональная матрица сопротивлений 0 0 0 0 0' га00 0 0 0 г, 0 0 О 0 0 г40 0~ 0 0 0г,О! 0 0 0 0 Произведение матриц В и г„равно; )!г, 0 Вг„=( 0 г, ~„,0 О 0 г„ г, 0 0 Π— гь г6.'. (! — 0 53 де га — диагональная матрица сопротивлений ветвей; В' — транспонированная матрица соединения контурных сопротивлений. Матрица соединения контурных сопротивлений В составляется ак, что ее строки соответствуют независимым контурам, а столбцы— ~етвям.
На пересечении строки и столбца записывается .+.1 илп 0 пробел) в зависимости от того, входит или не входит данная ветвь ~ соответствующий контур; положительный знак принимается в том лучае, если направление ветви совпадает с направлением обхода сонтура, а отрицательный знак — если не совпадает. При этом направление обхода каждого контура примем совпадающим с полокительным направлением соответствующего контурного тока, а направления ветвей — с положительными направлениями токов в ветвях. Для получения независимых контуров следует сначала выбрать герево схемы, что в свою очередь определяет ветви связи, а следовательно, и контурные токи.
Для иллюстрации рассмотрим схему на рис. 1-27, а с выбрантым деревом из четвертой, пятой и шестой ветвей (рис. 1-27, б). В этом случае независимые контуры содержат контурные точи ум 7а и ум что соответствует первой, второй и третьей ветвям вязи. Матрица соединения контурных сопротивлений В состоит из грех сгрок и шести столбцов: Квадратная матрица контурных сопротивлений определяется по формуле (1-66): 0$ !'о гв 0 0 гв гв 0 '~~ ~' О О г~ю=ВгвВ'=1 0 гв 0 0 — г, гв ) '~ 1~1 0 ~(0 0 г, — гв 0 — гв,:/~ ~ (~1 — 1 ,',О~ 1 1 (гъ+гв+гв) гв ~! — (гв + г, -т- гв) — гв гв (гз+ Гв+ гв) / Матрица-столбец контурных токов о~ — 1~ /! 7 1 ив ) в )в Матрица-столбец контурных э. д.
с. ~ ~Ев — Ев Г4'=~ — Е, ~ Ев+Ев Пользуясь уравнением (1-64), матрицами г'"', 1оо и Е<в1, легко получить уравнения (1-53). Подчеркнем, что матрица токов ветвей 1, легко определяется через матрицу контурных токов Гв' по формуле ! =В'1<ю (1-67) 1-27, а 0 0' 1 0' 0 1) '"!~ о — «,'~~ ",~ 7 Например, для схемы рис (м ) ) 1„~ (О вв 7„( ~О 1 7м(1 )~1 — о~~~ ,;о Из этого матричного уравнения сразу получаем равенства, определяющие токи ветвей через контурные токи: ~вв ~вв, 7вв ~вв 7ва — 7вв1 7вв = 7вк 7вв 7м = 7ьв — Ь~; 1: — т.
54 В дальнейшем индексы в у токов ветвей и индексы й у контурных токов в алгебраических выражениях, как правило, будем опускать. В заключение подчеркнем, что все соотношения между токами ветвей и контурными токами для схем, показанных на рнс. 1-27, а — в, х l < а) Рис. 1-30. легко получить из графов, построенных соответственно для этих схем на рис. 1-30, а — в. При этом деревья графа изображены на рис.
1-30, б и в сплошными линиями, а ветви связи — пунктир- ными. 1-9. Уравнения состояния цепи я матричной форме Пользуясь матрицей соединения узловых проводимостей ветвей А и матрнцей соединения контурных сопротивлений В, а также законами Кирхгофа, можно получить узловые и контурные уравнения, определяющие электрическое состояние цепи в матричной форме; при этом попутно получаются выражения для определения матрицы узловых проводимостей (1-49) и матрицы контурных сопротивлений (1-66). Первый и второй законы Кирхгофа запишем в матричной форме: АВ=0;1 В1),=0, ) (1-68) де 1, — матрица-столбец токов ветвей схемы; Ц вЂ” матрица-столбец напряжений на зажимах ветвей той же схемы. Пользуясь уравнением (1-67), представим первое из выражений (1-68) в следующем виде: АВ'1 но = О.
(1-69) Полученное выражение справедливо при всех значениях 1<'>, --поэтому--АВг = 0 длк шабои. заданной электрической цепи, На основании закона Ома для ветви с э. д. с. при выбранных положительных направлениях тока У„напряжении (7, и э, д. с. Е„ очевидно, справедливо равенство гз! =Е +(7, где г„= г, — сопротивления ветвей, или в матричной форме га1,=Е,+ 1), и гзВ'1по=Е,+ 1)„ (1-70) где гз — диагональная матрица сопротивлений ветвей. После умножения обеих частей уравнения (1-70) слева на В получим: Из этого уравнения с учетом (1-50) следует, что АязА'~р = — Ад„Е, = Л „ (1-74) где произведение Ад„Ат равно матрице узловых проводимостеи схемы д~т~ (1-49), а произведение АязЕ, = — 3 определяет матрицу узловых токов той же схемы. Если в заданной схеме имеются кроме источников напряжения источники тока, то в правой части уравнения (1-74) входят дополнительные слагаемые и оно в раскрытой форме совпадет с (1-33а).
1-10. Преобразование линейных электрических схем Расчет и исследование сложных электрических цепей во многих случаях можно значительно облегчить и сделать более наглядными путем преобразования электрических схем од- Вг„В'1оо = ВЕ, + В $),. (1-?1) Из этого выражения следует, что произведение ВгзВт равно, как уже было отмечено, матрице контурных сопротивлений гач (1-66), произведение ВЕт определяет матрицу контурных э. д. с. Еач и, наконец, В(), = О.
Таким образом, из (1-71) следует: г'ю1ьо = Е'ю. (1-72) Если в ветвях заданной схемы кроме источников э. д. с. имеются эквивалентные э. д, с. от источников тока, то они войдут в (1-72) в качестве слагаемых; в результате получится уравнение, совпадающее с (1-58а). Аналогично получается матричное уравнение для узловых потенциалов, Из уравнения (1-70) непосредственно следует, что 1„=та' (Е,+1),). (1-73) Обозначив гз' = яз из первого уравнения (1-68) с учетом (1-73), получим: А1,=Ад„Ь,+Ад Е,=О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
