Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов С.В. Основы теории цепей (4-е изд., 1975) (1152146), страница 12
Текст из файла (страница 12)
электрической схемы приводит к уменьшению числа ее ветвей или узлов, а следовательно, и числа уравнений, определяющих ее электрическое состояние. Рассмотрим, например, схему трехпроводной линии (рис. 1-31, а). Пусть заданы э. д. с. Е„Е„и внутренние сопротивления г„п г„ источников энергии, сопротивления проводов линии г, г„и сопротивления приемников гв„г,„, н гко Для определения токов в шести ветвях этой схемы необходимо по методу контурных токов или узловых потенциалов решить систему уравнений с тремя неизвестными. Однако можно упростить схему, например, так, чтобы она содержала только три ветви с тремя неизвестными токами н всего два узла.
Новая схема получится, если три сопротивления гьи г2а н г„, и' а) б) Рис 1-31. присоединенные к узлам 1, 2 и 3, заменить тремя другими сопротивлениями г„г.„г, (рис. 1-31, б), включенными соответственно между точками 1, 2 н 3 заданной схемы и новой узловой точкой О'. После такой замены токи 1„1„1, в ветвях, не затронутых преобразованием, и напряжения (1„, У,, и (1м между точками 1, 2 н 3 должны быть такими же, как в заданной схеме. В новой, эквивалентной схеме с двумя узлами О и О' можно сразу найти напряжение между узловыми точками по формуле (1-46), а затем определить токи 1„1, и 1, по закону Ома.
После этого можно вычислить напряжения У„, У„и Ум между точками 1, 2 и 3 и токи 1ии 1„и 1„в сопротивлениях г„, г„и г„заданной схемы, т. е. решить задачу достаточно просто. Во всех случаях замены заданных электрических схем эквивалентными схемами другого вида необходимо выполнять условия неизменности токов и напряжений в тех часаих схемьс, которые не затронуты преобразованиями. Если преобразуется часть электрической схемы, не содержащая ппто,, и-дапьне ность токов и напряжений в остальной части схемы обеспечивает и нецзменность мощностей, потребляемых ветвями.
В случае преобразования электрических схем, содержащих источники энергии, суммарные мощности источников и приемников в исходной схеме не равны в общем случае соответствующим мощностям в эквивалентной схеме. Рассмотрим теперь наиболее характерные, чаще всего встречагощиеся на практике случаи преобразования электрических схем как при отсутствии в преобразуемых ветвях источников э. д. с.
и тока, так и при их наличии. Рис. 1-32. Преобразование соединения сопротивлений многолучевой звездой в многоугольник; преобразование треугольника в звезду. Рассмотрим сначала преобразование соединения сопротивлений м н о г ол у ч е в о й за е з до й (с числом лучей больше трех) в эквивалентный м н о г о у г о л ь н и к, Покажем, что соединение сопротивлений п-.лучевой звездой преобразуется в эквивалентную схему многоугольншса с числом ветвей, равным и (и — 1)/2.
На рис. 1-32, а изображено соединение сопротивлений в виде и-лучевой звезды. Уравнения электрического состояния для этой схемы: 1г (Чг гро) Яг 12 (гго Чо) ьгг Го= (Чо Чго) Ко ° ° ' Го= (Чо Чо) Ки' 6г+)о+" +?о+".+)о= (Чг — Чо) й+ +(Чг сро? Ыо+ ° +(Чи сро) Ыл+ ° ° + (сà — 'Ро) йл=()~ (1-75) где Ч'г Чм " Чгь ", Чг„— потенциалы соответствующих точек — --схемы 58 Из последнего уравнения найдем потенциал точки О: Ч'ив Ы + Ч Ч + "+Ч аа+" +т ал (1-76) юг+Игл-'г" +ли+ "+ил После подстановки Чгз в первое из выражений (1-75) получим: 7 г' Чггнг+Чгглг+" ° +Чгьлгь+ "+болллл 1 ~Я1= Ыз 1 и(Чг! ггз)ЯгЯз+ (Чгг гуз)ЯгЯз+ ° ° + Я + (Рг — Ч и) ЯгЯа+" + (%г — %л) Я Я4 где а=- г В полученном выражении разности потенциалов между точками 1, 2, 3, ..., гг, ..., в заменим через напряжения по формуле с(а = Чга — Ч'г: 7, == (7„, — "'+ (7„"'~'+...
+ и„й-'-'д+... + и,„— """ . лга'ллн (1-77) Аналогично для любого тока 1и — Ц Яид + Ц "а' + + (7 „ л д — + + У„л " " (1 78) Ыз ' Ыа ав где 7„=и„—; Иггяг . Ига ггз=(ггз ЫЯз лз и аналогично для любой ветви 7и= 7иг+ )из+" +7и, и-и+ "+ (ил. Покажем, что выражениям (1-78) удовлетворяет эквивалентная схема в виде полного многоугольника (рис. 1.32, б) с числом ветвей, равным гг (и — 1)г2. Действительно, для схемы рис. 1-32, б (г=()г:Ягз+(7гзЯгз+" +(7гиЯги+ "+('глйгл,' 1з=( згЯм+(7ззЯзз+ .
+()зиЯзи+ ° +(гз~Яг.' (1-79) 1ь=()игЯиг+ ~-'изЯиз+ ° +(7и, и-гЯд а-г+ ° ° +('» йи ' Из этих иравнений видно, что ток каждой ветви и-лучевой звезды можно представить в виде суммы и — 1 частичных токов, пропорциональных напряжениям между соответствующими точками звезды.
Напрпмер, ток (и=газ+ ггз+ ° ° + (ы+ + гг» Для того чтобы схема, показанная на рис. 1-32, б, была эквивалентна схеме рис. 1-32, а, необходимо равенство токов (/„)„ /, и т. д.) в обеих схемах при одинаковых напряжениях ((/12, (/1„ (/12 и т. д.), что выполняется при 812=КЯ2/й =й1; 812=ИЯ2Мв=821 ° ° (1-80) Поскольку число узлов многоугольника равно и, число токов, связанных с каждым узлом, равно и — 1 и каждая ветвь присоединена к двум узлам многоугольника, то число его ветвей как раз равно и (и — 1)/2.
Из приведенного доказательства следует, что простая математическая операция исключения потенциала Ч', из системы уравнений электрического состояния схемы, имеющей формч 11-лучевой звезды, приводит к эквивалентной схеме в виде многоугольника. Обратная задача о преобразовании многотгольника в эквивалентную п-.лучевую звезду в общем случае при и 3 неразрешима, так как число искомых сопротивлений (или проводимостей) ветвей эквивалентной зв",ды меньше числа п (л — 1)/2 условий, которым они должны 1 2 влетворять. Прн п == 3 число условий и (и — 1)/2 = 3 и, след вательно, треугольник сопротивлений всегда можно преобразовать в эквивалентную звезду.
Из формул (1-80) при п =- 3 сразу получаются формулы для преобразования трехлучевой звезды в эквивалентный треугольник в следующем виде: для эквивалентных проводимостей 0122, 21211, Азл1 1 81 я12=, 1 , 'д22= — — ', й'21= „—, (1-81) или для эквивалентных сопротивлений Г12= 1/в12=Г1+Г1+Г1Г2,ГЗ' Г 1 =Г2+Г2+Г ГЗ/Г1,' (1-82) Гм = Га+ Г, + Г2Г11'Г2. Чзобы получить формулы преобразования треугольника с заданными сопРотивлениЯми Гго Г,„и Г„в эквивалентнУю звезДУ, пРимем в уравнениях (1-82) в качестве неизвестных сопротивления Г„Г2 и Г,.
В результате получим: 11= Ь/Г22 12 = Ь/Г21 Г2 = Ь/Г12 (1-83) где Ь =- Г,Г, + Г2Г2+ Г2Г1. Выразив попарные произведения иском1ях сопротивлений в виде Г1Г1=Ь /Г22Ги' Г212=Ь /Г21Г12' Г2Г1=Ь /ГГ2Г22 22 2 . 2 и подставив полученные выражения в формулу для Ь, имеем: Ь Ь2 /212+ 1 2+ ) ~ ГмГ22"21 ) откуда 60 После подстановки этого выражения в (1-83) получим: гз = гззг„/~ г; г, = гззгЫХ, г; гз — — гззгзз!~> г (1 84) ' ~1)а с' га / l аг' Рас. 1-33. угольник (рис. 1-33, б). Действительно, в этом случае для схемы, показанной на рис.
1-33, а, можно записать: Рз = (сРз 'Ро Ез) Яь' Рз = (сРг — Ч'о Ез) Ыз1 Рл=(чл — ~Ро — Ел)йл1 ", 'Рл=(йо — сРо — Ео)йо,' — сро(аз+ко+" +ь")+Члйл+сРзй +".+ Р й' = =Е,й,+Еойз+...+Еод,. (1-85) Выразив ср, из последнего уравнения и подставив его, например, в первое из выражений (1-85), после элементарных преобразований получим: 1 1з = [(<Рл — срз лп Ег Ез) азвз+ (сРз Чз+ Ез Ез) 8~8з+... зв ...
+ (~Р, — сР„+ ń— Е,) д,дл). (1-86) Аналогичные уравнения можно получить для токов Р„У„..., Р„. Выражениям вида (1-86) соответствует эквивалентная схема, показанная на рис. 1-33, б. Проводимости ветвей многоугольника определяются по-прежнему по формулам (1-80), а эквивалентные э. д. с. пРи указанных положительных направлениях (рнс. 1-33, а и б) равны: е„=:~;-~Г, -;, .::~ "е;,:-з;=а;.
61 где Хг = г„— , 'гз, + г„. Последние формулы позволяют определить эквивалентные сопротивления звезды по заданным сопротивлениям треугольника. Аналогично можно получить формулы преобразования активной многолучевой звезды (рис. 1-33, а) в эквивалентный активный много- Преобразование параллельного соединения ветвей с источниками э. д, с. и источниками тона. Если сложная электрическая схема имеет одну или несколько групп параллельно соединенных ветвей с источниками э. д. с., то расчет и исследование такой схемы можно значительно облегчить, заменив каждую группу параллельных ветвей одним исгочннком с эквивалентной э. д. с.
н эквивалентным внутренним сопротивлением. В частности, так можно преобразовать схемы со смешанным соединеннем активных и пассивных элементов в схемы с последовательным соединением. На рис. 1-34, а показана группа из и параллельно соединенных ветвей, выделенная в элекзрической схеме. Остальная часть схемы условно обозначена прямо)гольником. Требуется замеиитып параллельных ветвей (рис, 1-34, а) одной эквивалентной ветвью .Ги1~ ГИ~ /з г,и ги Ет сИ йи б) а) Рис.
пз4. (рис. 1-34, б) так, чтобы ток / и напряжение (/ в эквивалентной схеме, а значит все токи и напряжения в остальной части схемы были такими же,.как в заданной. Согласно (1-12) для зоков ветвей и суммарного тока / схемы рис. 1-34, а справедливо следующее выражение: / — /1 + /и+ ° + /и+ ° » + /ив =(Е, — (/) а1+ ( — Еи — 1/)а, +... + (ń— (/)аи+ + (Ет — (/)ат= = Е1а1 — Еьаи+ + Еиаи+ "+ Ета,п— — и(а,+иа,+...+а„+„,+а.), (1-88) где аи = 1/ги. В схеме рис. 1-34, б ток / = (е — 1/) а, (1-89) где а = 1!г.
Так как условия эквивалентности должны быгь выполнены при любых токе / и напряжении (/, то, приравнивая правые части выражений (1-88) и (!.89), нужно положить: (/(а1+91+ +а + +а )=(/а' — "— Ет а1 — Е иаа+... + Е иа!+.; —.+ Ечга.—,— Еат— откуда (1-9!) а=а +а + ° +ах+ +а ' Л=ю Еа — Е2я+.. +ПИх+ ..4-П а„, ! % Е ы~+ыи+" +ыь+ +ят — ьйм а ~. а=-~ При вычислении эквивалентной э. д. с.
Е с положительным знаком записываются те э. д. с. Е„, которые направлены к тому же узлу, что н эквивалентная э. д. с. Е, и с отрицательным знаком— направленные к другому узлу. Если какая-либо из параллельных ветвей, например третья, не содержит источника э. д. с. Е,, то в выражении (1-9!) слагаемого Е,па не будет, но в состав проводимости д входит проводимость этой ветви да.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
