Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов С.В. Основы теории цепей (4-е изд., 1975) (1152146), страница 16
Текст из файла (страница 16)
мого (2-16): Й101 =Й101'+ ЙЗУ2012+ ИЗЙ3013+Й21ЙЗИ20122. (2-18) После суммирования выражений для д101 и Р' получается: 0~31 =Й,Р; +„Р;+Й.Р~+~,01,+ +К203033+Й1Й3013+Й1кййз) 123+1 (2-19) где Р"' = 0 (рис. 2-11), поскольку этот определитель получается З ", ЗЮ =3==3 —.—.О ~Ю =4 78 „о значение находится при Д, = Да = Да = 242 (короткое замыкание этих ветвей), Таким образом, каждому слагаемому (2-19) соответствует определенная схема, которая легко получается из основной схемы путем наложения условий на проводимости ветвей, присоединенных к базисному узлу. г Уга Структура полученной У13 У24 формулы разложения опреде- У42 3 лителя узловой проводимости Уи (2-19) позволяет применить ее для разложения определи- Ул теля, составленного для более 3 сложной пепи.
Например, определитель Р"' 2 Ы. Рис, 202. (1.4!) для схемы рис. 1-23, б может быть разложен по избыточным элементам главной диагонали (по проводимостям д„д„д, и д,) в виде Рпп = Я1Р1" + Д2Р1" + ЯЗР2" + Д4Р4" + Д1Д2Р12+ Д1ЯЗР14+ + Д1Я4Р14 ) Я Я2Р12 + йД4Р24 + Я2Я4Р24 +Я1Д2Я2Р122 + +Д1Я2Я4Р124+Д4Я2Д4Р124+Я2Я2Я4Р224+Д1Д1ДЗД4Рыга+Р" ю (2-20) гдеР„„=1 и Р""=О. Каждому слагаемому этого определителя соответствует схема, полученная из рис. 1-23, б при /1 = 0 наложением условий на значения проводимостей ветвей, присоединенных к базисному узлу.
Например, Р",4 находится для схемы рис. 2-12, полученной из заданной схемы при Д, = оо и Д2 = Яз = Я4 = О: (Я21+Д23) Я 23 Я32 (Я22 + Д34) Я34 0 — Д42 (Ям+ Я42) Обобщая выражения (2-19) и (2-20), составим общее выражение для разложения узлового определителя по ветвям д„д„..., д„, присоединенным к базисному у + 1-му узлу: Р'Ю=~ДР;+ УДД1Р4,+~;Я4Д1Д2Риа+...+ЯД,...Д„, (2-21) где верхние индексы, указывающие на номера разомкнутых ветвей, опущены, поскольку одни нижние индексы определяют как закороченные, так и разомкнутые ветви. Например, слагаемое вида Я,Р1 соответствует схеме с асй закороченной ветвью и с разомкнутыми остальными ветвями; число таких слагаемых, очевидно, равно числу ветвей, присоединенных к базисному узлу. Слагаемые вида Д,Д1Р1У соответствуют схемам с двумя закороченными ветвями д, и д, и остальными разомкнутыми, причем число таких слагаемых равно — "пслу-сочетаний по два из у.
проводимостей 79 Аналогичный смысл имеют остальные слагаемые. Разложение определителя 0>1> по формуле (2-21) называется р а з л о ж е н и е м п о у з л у или по избыточным членам главной диагонали (по из. быткам), а разложение по формуле (2-15) называется р а з л ожением по ветви. Как указывалось, для определения входных или взаимных сопротивлений, проводимостей или коэффициентов передачи токов и напряжений можно пользоваться не только узловыми, но и контурными уравнениями. В последнем случае приходится вычислять определитель контурных сопротивлений 0>к>, Покажем, что структура контурных уравнений позволяет во многих случаях пользоваться для разложения определигеля 0>к> формулами, аналогичными (2-15) и (2-21).
В определителе Огк> системы независимых контурных уравнений Г11 Г12 .. Г11 ... Г>к !'11 !'22 .. Гм Г к Г„Гм ...Гп...Г>, 0(к! (2-22) Гк> >к2 г„г„... О ...г„ гм г„... О .,. Г,к ГМ ГЫ . ГМ Г>к ! Г11 Г22 ° ° . Г21 ... Гкк + г11 !12 !1 ° ° Г!к 0(к!— =- ГЦ Г>, ...
Г, ... Г>к !'к1 ! к2 ° ° О ° !'кк г„... гм ... !кк =Г,О,+О', (2-23) где минор О, получается из (2-22) вычеркиванием (-й строки и 1-го столбца и соответствует электрической схеме, в которой ветвь с сопротивлением г, разомкнута; определигель 0' получается из (2-22) при сопротивлении г, = — О, что соответствует схеме, в которой ветвь с сопротивлениел> г> закорочена. Поскольку 1-й элемент находится на главной диагонали, то минор О, всегда имеет положительный знак. Для иллюстрации применения формулы (2-23) рассмотрим разложение определителя схемы, показанной на рис.
2-1: 0>к> (г,+г,+гл) — г, — 1, ! Б (ГБ+ ГБ+ ГБ) — — (ГБ-(- г~лфгэк (2-24) 80 собственное сопротивление гп каждого контура записывается на главной диагонали и всегда равно сумме сопротивлений ветвей, входЯщих в соответствУ>ощий контУР. ПРедставим гп в виде га —— .в — г, + г;, где г, — сопротивление одной из ветвей, тогда определитель 0>к> можно представить в виде В этом определителе сопротивления г„гз и гз входят в диагональные элементы в качестве избыточных слагаемых. Следовательно, в соответствии с уравнением (2-23) разложение определителя можно выполнить по формуле (2-!9) после простой замены проводимостей соответствующими сопротивлениями: Ври = т,Р",з+ гз0~'+г,0",+г,т,Р, + г,т,Р',з+ + тзгзРзз + тзтзтзРыз + Р (2-25) где Р'" =- О, поскольку этот определитель получается для схемы при г, = г, = гз = О, О,зз = 1, так как значение этого определителя находится при г, =- тз =-- т, == сс (размыканпе ветвей с сопротивлениями тн г, и гз).
Каждому слагаемому (2-25) соогветствует определенная схема, которая легко получается из основной путем наложения условий Рис 2 13 Рис 2-! 4. на сопротивления ветвеи связи, входящих в независимые контуры. з(апример, минору 0-'," соозиетсгвует схема, полученная из схемы рис. 2-1 при г, = со и тз = г, =- О (рис. 2=13), для которой получается: (гз+ гв) гв а,=( "= твгз + тзгв + твтв гв (тз+ гв) Минору Рз„соответствует схема, на рис. 2-14, полученная из схемы рис. 2-1 при т, = г, = сс, г, =- О.
Для этой схемы Р(з = =- (гв + т,). Аналогично находим остальные составляющие выражения (2-25); в результате получим: Рои=(г,+г,+ та) (гвт,+ гвтв+ г,т,)+г,гз (г,-(-г,)+ + т,т* (т, + тз) + тзтз (гв + тв) + и, Г,тз. (2-26) Выражения, определяющие разложения определителей Рол и 0", связаны между собой довольно простым соотнощением: Ров=0~юг,г,г,...
г,; (2-2?а) илп Ро>=-0~"д и зз д (2-27б) "де проводимость каждой ветви а„— -- 1»,; и — число ветвеи. Например, чтобы получить разложение определителя Рсч для схемы — -Рнс — --Ы и — доетатттчнн Увнюьиитн з Равнение-"(2-26У па '-иРбньведеииб'-'-'- 81 (и +к4) к (' 0Ь) = — а1 (81+02+аз) — 82 0 и'2 (ь1+ь'5) (2-29) где вершины! и 8 приняты в отличие от приведенного ранее определения узла за узлы схемы, что не нарушает общностя полученных выводов.
Приняв проводимость каждой ветви равной единице, найдем число деревьев: 2 — 1 0 — 1 3 — 1 Π— 1 2 Действительно, количественная характеристика каждого дерева равна произведению проводимостей одинакового числа ветвей, иля по- Рис 2-16. рядку определителя. Это произведение численно равно единице, так как проводимость каждой ветви принята равной единице и число деревьев в указанной схеме равно 8 ". Деревья * Число деревьев в схеме можно найти также, акая узловую матрицу соединения ветвей А; определ1пель произведения матриц АА' равен числу деревьев (сьь например, [л. ги, с.
1361). 82 проводимостей всех шести ветвей: 0ип=0"дазляда6=((г,+Г,+г,) (Г,г,+гвг,+г,г)+ + Г1ГЗ (Г4+ ГЬ) + ГЗГЗ (ГЬ+ Г5) + ГЗГ1 (ГЬ+ Г6) Т ГЬГЗГЗ~81иЗизч4вЬЯЬ (и4+вь+ЯЬ) (Я1ИЗ+вЗЯЬ+йзй1) + Й4иЬ (ЙЗ+ из) + +ЫЬ(аз+йт)+ЫЬМ +й2)+Ыа (2-28) Подчеркнем, что число слагаемых в определителях 0сн и 0161 для одной и той же схемы одинаково. К числу топологических понятий, которыми пользуются при анализе цепей, относится дерево. Для количественной характери- стики дерева удобно применять произведение ! проводимостей его ветвей, Определитель определенной матрицы узловых проводимостей 0оз равен сумме произведений проводимостей ветвей каждого дерева, Например, определитель схемы рис. 2-15 состоит из 16 слагаемых: п,из|4; и,п,дь; д;оп,; о,я,п4 и т. д. Для схемы, имеющей форму Рис.
2-!6. полного многоугольника с у узлами, число деревьев 4( = уь-2. Напрвмер, для схемы полного пятиугольника 4( = 56 = — 125, а для мостовой схемы (рис. 2-15) 4( = 4' =- 16. Если схема имеет вид неполного многоугольника, то для определения чйсла деревьев надо найти численное значение определителя 0 114, каждый элемент которого принят равным единице. Например, для схемы, показанной на рис.
2-16, определитель .можно изобразить в виде неориентированных подграфов (рнс. 2-17), где каждая ветвь обозначена конечным отрезком. Несмотря на то что разложение определителя на сумму произ. ведений проводимое~ей ветвей деревьев дает лишь положительные члены, число математических операций при вычислении такого опре. делителя остается еще значительным. Можно уменьшить число опе- „аций суммирования и умножения, разложив определитель по дру- гим топологическпм величинам. Например, можно пользоваться понятием пути 8 1-8), численное значение которого 11» равно произ- ведению проводимостей ветвей й-го пути, н понятием минора пути Оь Уг Ув представляющего собой значение определителя определенной матри- гз г Ф Ь цы узловых проводимостей схемы, остающейся после того, как все гг вг ветви й-го пути замкнуты накорот- г г ко; минор пути равен единице, если ! путь содержит все узлы схемы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
