Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов С.В. Основы теории цепей (4-е изд., 1975) (1152146), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Для определения токов и узловой определитель О! =П,Р,+П,Р,+П30,+П,Р,+П,03+ + П303+ П,Р, + П30,. (2-39) Теперь рассмотрим разложение (2-37). Это выражение можно представить в виде разложения по замкнутым путям относительно узлов той ветви, на зажимах которой определяется напряжение (l4 =- Ч14. Поскольку в выражении (2-37) отсутствует проводимость п„то к зажимам узлов 0 и 4 присоединяется вольтметр, через который и проходят пути разложения. Кроме того, определитель умножается на ток У1 источника тока; поэтол1у пути разложения определителя должны проходить через источник тока, т. е.
от его зажимов через ветви цепи и через вольтметр, измеряющий напряжение (/4. Первый путь со значением П; = й1.„,а23,с234 ! проходит через все узлы схемы, следовательно, при коротком замыкании этого пути минор 0; = 1. Второй путь со значением П' = — д„1; при коротком замыкании пути сс значением П2 (включая вольтметр) определитель 03 = (Йъ2+ 021+ 023) (Й~з+ 034) +й132 М3+ 021). их проводимости. Например, 1зг (1зггхзг = ~>„, гьзгкзгкззагз — ьгзгьгзгкз (ьгз+ьгзз+кзг) — ИзгкзгкззМ (2 43) Нз этого выражения следует, что для определения тока в соответствующей ветви необходимо проходить пути через ветвь, в которой определяется ток, и проводимость этой ветви входит сомножителем в значение пути.
Учитывая это соотношение, прн определении тока в соответствующую ветвь можно включить амперметр (на рнс. 2-21, а показан в ветви 3 — 4), принимая в значении пути его проводимость равной единице. Рис. 2.22. Рассмотрим еще схему с идеальным источником э. д. с. Е (рис. 2-22, а). Поскольку ветвь с источником не имеет сопротивления, то для получения узловых уравнений типа (1-33) переведем э. д. с. через третий узел в первую и вторую ветви.
После переноса э. д. с. Е узловые точки 3 и 5 объединяются в один узел. Для полученной схемы напишем три независимых узловых уравнения (для узлов 1, 2 и 4), решив которые, найдем потенциалы узлов. Найти напряжения на ветвях и, в частности, по известному напряжению (гз определить коэффициент передачи Кггз можно при помощи формулы (2-35).
Пря вычислении знаменателя и числителя этой формулы следует пользоваться изложенными топологическими правилами. Чтобы найти определитель 0<г>, нужно закоротить источник э. д. с., т. е. соединить узлы 3 и 5 в одну точку (рис. 2-22, б). Получить выражение для определителя Огм можно разложением, напри- меР, по путям между узлами 1 и 2: ьгь 89 Следовательно, узловой определитель Р (йа+йб) (йз+кб) (Дз+кб)+азиз (01+из+Ыб+кб)' Определитель Р' находим по формуле Р' = П;Р; + П;Р,', гДе П;=лада; Р;=(уз+да+дб); П;=Псла, Ра= — (да+па+Дб) (2-44) т.
е (2-45) баанб (ЙЗ+Кб+ йб) +0204 (Ка а ФЗ+Ыб)' Коэффициент передачи К Ааааа (аз+ха+Ыб) т Азэз (Уз+аз+Ыз) (Ыа+ зб) (за+Уз) (баа+ба) +бааса (ба+ Об+ба+ Из) Таким образом, пользуясь топологическимн формулами и правилами, можно сразу написать выражение для коэффициента передачи, без составления и решения соответствующих уравнений. 2-6. Теорема о компенсации Рис. 2-23. без изменения. При переходе из точки аа (рис. 2-23, б) в точку с потенциал повышается на величину э. д. с.
Е| = Уа, а при переходе из точки с в точку (а понижается на ту же величину, вследствие чего потенциалы точек с( и Ь равны. Зти точки можно соединить проводником (закоротить), как показано на рис. 2-23, б пунктиром, т. е. источник э. д. с. Еа = (аа, и сопротивление г, удалить из схемы, не изменив токов во всех ветвях (рис. 2-23, в).
Из сравнения схем рнс. 2-23, в и а непосредственно следует, что любое сопротивление можно заменить источником с э. д. с., направленной навстречу току и равной напряжению на этом сопротивлении. Зто положение называют теоремой о компенса- ц и и. =-=---" —— 90 В электрической схеме, показанной на рис.
2-23, а, выделена ветвь с сопротивлением г, и током Та. Включим в эту ветвь два источника с э. д. с. Еа и Е, (рис. 2-23, б), численно равными напряжению (аа = га7а и направленными навстречу друг другу; токи во всех ветвях схемы, очевидно, останутся а 2 7, Линейные соотношения между напряжениями и токами В эквивалентных схемах рис.2-23 кроме ветви с сопротивлением г, выделена еще ветвь с источником э. д, с. Е, и сопротивлением гз Пользуясь принципом наложения, напишем выражения для токов 1, и 1, в ветвях схемы рис. 2-23, в в виде 1г= дггЕг+дгхЕз+йгзЕз+ 1г — — — дзгЕг+ цззЕз+ аззЕз+...
Пусть в схеме рис. 2-23, в э. д. с. первого источника Е, может изменяться, а э. д. с. остальных источников Е„Е, н т. д. неизменны. Так как входные фзз) и взаимные (дз„) проводимости не зависят от э. д. с, Е„ то, обозначив ягзЕз+ Й гзЕз + ' = сопзх = пг кззЕз+ кззЕз +... = сопзх = а„ получим: 1г= — ххгхЕг+аг; 1з= — язгЕг+аз, (2-47) или, заменив в (2-47) э. д.
с. Е, через Уг: 1, = — дхгУг+ а;, 1, = — дзгУг+ аз. (2-48) По теореме о компенсации изменение э. д. с. Е, в схеме рис. 2-23, в равносильно изменению напряжения Ух при изменении сопротивления г, в эквивалентной схеме рис. 2-23, а. При этом входная дхг и взаимная дзх проводимости остаются неизменными, так как они определены в схеме рис.
2-23, в (прн сопротивлении г, =- 0). Следовательно, при изменении сопротивления г, токи 1, и 1, связаны с напряжением Уг л и не й ными соот ношен и я м и. Для определения постоянных аг, а.„зхгг и дзг расчетом или опытным путем необходимо, как следует из (2-48), рассчитать или измерить токи 1„1з н напряжение Уг прн двух режимах первой ветви (двух значениях сопротивления г,), Наиболее наглядно и просто эти постоянные определяются из режимов короткого замыкания (гх = 0) н режима холостого хода (г, = са), При коротком замыкании Уг = О, токи 1, =- 1„= аг и 1з = = 1з, = аз. При размыкании первой ветви ток 1, =- О.
Обозначив Разность потенциалов между точками разрыва через Уг„, а ток 1г = 1,х, получим согласно (2-48): 11к Й11(ххх~ 1зх — 1зк йхзгх'ххх откуда входная проводимость йм = 1гк1(угх н взаимная проводимость :хакк х,гхгх„ 91 После замены постоянных в первом из уравнений (2-48) получается: 1, = 1„() — (7„(и„), (2-49) 1з=аз — а, гм + т 1,=Ь,+Ь,1„ Ыы Ям (2-80) Ь\ изт(ии н Ьз аз атмзьатт — постоянные, которые определяются пз двух любых режимов первой ветви или вычисляются при известных значениях входных и взаимных проводимостей.
Аналогично можно показать, что при одновременном изменении сопротивлений в двух ветвях напряжения и токи любых трех ветвей связаны линейным соотношением вида г = а+ Ьх+ су, где а, Ь и с — постоянные, определяемые опытным или расчетным путем; г, х и у — изменяющиеся токи или напряжения. Пример 2-4.
На рнс. 2-24, а изображена схема с сопротивлением г, изменяющимся от нуля до беснонечнос~и Найти зависимость тона в каждой ветви от напряжении У нз зажимах сопротивления г, если гт = г, = гз = гз = 40м и Е, = Ез= — Ез = 100 В. Р е ш е н и е. Сначала найдем предельные значеаия напряжения (7 и тока ( при коротком звмыиании (г =- 0) и холостом ходе (г = чч) рассматриваемой ветви, Нри г = оз тои 7„.= О, а нвпрягиение (7 = (7л. Для схемы рис.
2-24, б Ез —— — гзузз+ Уз+ г,(яо откуда (7з = Ез — гз)зх гз(тз. Тая как тони (тз=Ету(гз+гг)=-10078=12,5 А1 узх=(Ез Ез)7(гз+гч)=0, то Уз=100 — 50=50 В. Для определения тока Гз (рис. 2-24, в) предварительно найдем напряжение на зажимах параллельных ветвей по формуле Евь = Е 8 РЕ Ее+ и Е = 75 В, гт+ (С+ Яз+ йз а затем тони в ветвях /ы=(Ет — Ечь)лг=6,25 А; (з„=Уязвя=18,75 А; аз = 3 чь з — ,- чз — з аь з— 92 Отметим, что изменение напряжения Ут в пределах от (1т =- О до (1т =- (1„ соответствует изменению сопротивления гт от нуля до бесконечности. Токи 1, и 1з рассматриваемых ветвей также связаны линейными соотношениями.
Действительно, исключив из уравнений (2-48) напряжение (уы получим: и ток 7з=1зк+!»к =!»к — !»з= 72 5 А. Зависимость тока 1 в сопротивлении тот напряжения У на его зажимах опре. делается линейным уравнением типа (2-48): 1 = а+ ЬУ Козффициенгы а и Ь цайдем по результатам расчета режимов холостого хола и короткого замыкания. При» = 0 напряжение У = О, аток ! = 1, =- а = 12,5А При г = ое ток! =- О, »»зпрк»кепке У = Ух и 0 = 1„+ ЬУ„, откуда Ь = — — 1„!У„= — 12,5!50 = 0,25 См. В результате получаем; 1 — — )2,5 — 0,25 У. Зависимость тока 1, в первой ветви от нз»»ря»кения У определяется уравнением прямой 1, =- а, -с Ь»У, Для того чтобы нанти козффицнснты а, н Ь,, целесообразно и в зтом случае пользоваться результатамн расчета режимов холостого 77 Рис. 2-24.
хола и короткого замыкания ветви с переменным сопротивлением г. При г = 0 напряжение у = О, ток 1, = а» = 1„= 6,25 А; при г =. ее (рис. 2-24, б) 1„= =1...= )25 А. С другой стороны, 1,„= l„+ Ь,У„,откуда Ь, = (1»„— 1,)»Ух= ОП25 См, Следовательно, 1, —.- 6,25+ 0,125 У. Авалогично определяя»гся токи 1» =- !8,75 — ОП25 У; 1а =- 1» = 6,2о— — О,)2гй У, Пример 2-5. В схеме, показанной на рис. 2-25, а, сопротивление г» изменяется в пределах от г» =- 0 (короткое замыкание) до г» = сю (размыкание вегви). ПользУЯсь законами КиРхгофа, выРазить токи 1,, 1„)з и 1» чсРез паРаметРы схемы и на»»ряжение у и построить найдевные зависимости.
р е ж е н й е. Из уравнения Е = г,1, +у» непосредственно находим ток » '= Е!㻠— У,!г, = 2„5 — 0,5 Уе То»» 1» определим по первому закону Кирхгофа: 1,=1,-) 1=2,5 — 0,5 У„-)-7=8,5 0,5У,. Йля определения»оков 1» и 1з запишем уравнения Из этих уравнений ге~+ 8 г уз= = ),!25 А=сола); Уз= — ' — = — О,!25 А=сонэк гз+ гз гз-~ гз Оказалось, что токи Уз и )з не зависят от сопротивления г, (при любых его значениях остаются неизменными).
а) Рис. 2-25. Для построения найденных зависимостей определим предельные значения напрязкения !)з при изменении сопротивления гз. При гз = О напряжение Уз = О; при гз = оо напрягкение у, = сгзх. Это напряжение найдем из уравнения Е =. = г),х + 7)зз, откуда 7Гзз =  — «,!по Так как при гз = оо (при размыкании ветви с сопротивлением гз) У,„= — У, то напрвкевне ))з„= В+ гУ = 5+ 2 != = — 7В. Таким образом, при изменении сопротиваеиия г, от нуля до бескоиеч.юсти напряжение Уз увеличивается от О до 7 В, На рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
