Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов С.В. Основы теории цепей (4-е изд., 1975) (1152146), страница 22
Текст из файла (страница 22)
При ф, О начало синусоиды (г„) сдвинуто влево, а прн фо (Π— ((я) вправо от начала координат, Мгновенное значение синусоидального тока можно представить и в виде косинусоидальной функции времени (= У,„соз (Ы -)- д), где Если у нескольких синусоидальных Функций, изменяющихся с одинаковой частотой, начала синусоид не совпадают, то говорят, что они с д в и н у т ы друг относительно друга и о ф а з е. Сдвиг фаз измеряется разностью фаз, которая, очевидно, равна разности начальных фаз.
На рис. З-З, например, ф, — фо ) О, т. е. ток т', опережает по фазе ток го на угол ф„— фт, или, что то же самое, ток о, отстает по фазе от тока (, на угол ф, — ф,. Если у синусоидальных функций одной частоты одинаковые начальные фазы, то говорят, что они с о в п а д а ю т п о ф а з е, если разность их фаз равна -+-и, то говорят, что они и р о т и в оп о л о ж и ы п о ф а з е, и, наконец, если разность их фаз равна -+ п(2, то говорят, что они н а х о д я т с я в к в а д р а т у р е. 3-4. Действующие тои, э, д. с. и напряжение Для суждения о периодическом токе вводят понятие о среднем квадратичном значении тока за период, которое пазываегся д е й с та у ющн м током: (3-3) За один период переменного тока в проводнике с сопротивлением г выделяется тепловая энергия: «1о гУ = гТ -- ! (о ой = гРТ.
1 !'. т,1 о о Отсюда следует, что действующий ток численно равен такому постоянному току. который за один период выделяет в том же сопротивлении ~акое же количество тепла, как и аок переменный. 110 Установим связь между действующим током 1 и амплитудой 1 синусоидального тока: г . т (з= — 1 (ай= — 1 з(п'(а(+ф Ш о т~„-' = — "- 1 [1 — ~ы (2~1+ 2ф)1 Ш = —. 2Т ~ 2 ' Следовательно, 1=! ДГ2.
(3-4) Среднеквадратичные значения любых других периодических величии за один периодтоже называются действующими. Так, например, действующие э. д. с. и напряжение т Г Е ~/ т ~езс(1; У-~/ т ~и о о В частности, для синусоидальных э. д. с. и напряжения Е=Е„ф'2; У=У„ДГ2, Когда речь идет о периодических напряжениях и токах, обычно подразумевают действующие напряжения и токи и ради краткости просто говорят: напряжение столько-то вольт, ток столько-то ампер. В электротехнике приходится встречаться как с очень малыми, так и с очень большими напряжениями и токами.
Напряжение на входных зажимах радиоприемника, при котором еще возможен прием радиосигналов, бывает порядка микровольт. Напряжение между проводами линий электропередачи Волгоград — Москва 500 кВ. Токи в электроплавильных печах достигают десятков тысяч ампер, а в электронных лампах могут быть меньше 1 мкА. 3-5. Изображение синусоидальных функций времени векторами и комплексными числами Расчет цепей переменного тока облегчается, если изображать синусоидально изменяющиеся токи, напряжения, э. д. с.
и т. д. векторами или комплексными числами. Пусть некоторая величина (ток, напряжение, магнитный поток й т. п.) изменяется по синусоидальному закону: о= К„з|п (ы1+ф). Возьмем прямоугольную систему осей МОАт (рис. 3-4). Расположим под углом ф относительно горизонтальной оси ОМ вектор (т„„ длина которого в выбранном масштабе равна амплитуде (т (положи-тельные углы ф отютадываютея против-, а-отрицательные — по на- правлению движения часовой стрелки).
Представим себе, что вектор Ъ'„с момента ( =- О начинает вращаться вокруг начала координат 0 против направления движения часовой стрелки с постоянной угловой скоростью, равной угловой частоте гз. В момент времени г вектор составит с осью ОМ угол га1+ ф. Его проекция на ось.Ч'Ж как раз равна в выбранном масштабе мгновенному значению рассматриваемой величины о. Мгновенные значения о как проекции вектора на ось ЛГйГ можно получить и другим путем, оставляя вектор Г„неподвижным и вращая, начиная с момента 1 ==- О, ось йГ'йг по направлению движения часовой стрелки с угловой скоростью еь В этом случае вращающуюся ось М'У называют Л линией времени.
Таким образом, между мгиовенг ~~" ным значением о и вектором р-д можно установить однозначную связь. ч На этом основании вектор Ъ'„назы- т и г„ваюг вектором, изобра- жающим синусоидальм' ную функцию времени, ~ и или кратко вектором величины о, Так, например, говорят о векторах напряжения, э. д.
с., тока, магнитного м -у потока и т. д. Конечно, эти векторы имеют смысл, отличный от смысла векторов, определяющих физические величины в пространстве, к которым относятся векторы скорости, силы, ускорения, напряженности электрического поля и т. п. Векторы, изображающие синусоидальные функции времени, будем обозначать большими буквами с точкой наверху.
Совокупносгь векторов, изображающих рассматриваемые синусоидальные функции времени, называется векторной диаграммой. Если считать оси ММ' и йГЖ' осями вещественных (дейс ~вительных) и мнимых величин на комплексной плоскости, то вектор Г соответствует комплексному числу, модуль которого равен а аргумент — углу ф Это комплексное число 0 называется к о м ил е к с н о й а м п л и т у д о й рассматриваемой величины. Комплексную амплигуду можно записать в полярной, показательной, тригонометрической и алгебраической формах: У„= У„~ ф=1' е~~=Р (соэ~)>+уз1пф)=1" +1'г'", (3-5) где )'= р' — 1. Если вектор Г, начиная с момента времени г' = — О, вращается против направления движения часовой стрелки с угловой скоростью м, 'и> ему=мответствует=кпьгплексная фчнщнгг-времени;=-котора~ называется комплексной мгновенной величиной: п=У ет!""я!=У„соз(ш(+тр)+)У гпп(ш(+ф). Значение ее мнимой части (без )) равно рассматриваемой синусоидально изменяющейся величине п.
Таким образом, величина и и ее изображение — комплексная амплитуда однозначно связаны следующим равенством: р=1гп[У ет!"'л'"г~=!гп[У егйелаг)=1гп[У ели!1, (3-6) где символ 1т обозначает, что от комплексной функции времени, записанной в квадратных скобках, берется только значение мнимой части. Заметим, что только комплексные величины, изображающие синусоидальные функции времени, обозначают большими буквами с точкой наверху, Все остальные комплексные величины, которые встречаются при расчетах цепей синусоидального тока, принято обозначать большими буквами без точек. Если гармонически изменяющуюся величину представить в виде коспнусоидальной функции времени, то ее мгновенное значение о = У„соз (ш(+ б) = Ке [У соз (Ы+ б) +(У„ип (шг'+ ())) = = Ке [ У ет! "!лог) = Ке [ У ет '1, (З-У) где символ Ке обозначает вещественную часть комплексной функции времени, записанной в скобках.В этом случае мгновенное значение и определяется графически как проекция врап(ающегося векгора У ег ' на ось вещественных величин.
Метод расчета цепей сшгусоидального тока, основанный на изображеншг гармонических функций времени комплексными числами, называется методом комплексных величин, методом комплексных амплитуд или комплексным методом рас(тета. Комплексный метод был введен в электротехнику американским ученым и инженером 1Итейнметг(ем. Пример З»1. Написать кочпкекснуш амплитуду тока г = !0 ып (ы( — птб) А. Р е ш е н и е Комплексная амплитуда Ам = 10,' — пгб А Заданный ток равен минной части (без )) комплексной функции времени; ! егвг =),„ел"' -'"' =- 10 Х (ея — п(6) А, Пример З-2.
Комплексная амплитуда напряжения (/ = — 100+ ) 100 В, частота ) = 1 крц Написать выражение дпя мгновенного напрялкеиия Решен не Угловая частота ш = 2п) = 2п !О'= 6260 с, амплитуда (Г„, = У( — 100)а + 100з = 1001/2 В, !Кф=-100г( — 100) = — 1; так как вешественная часть комплексной амплитуды отрицательна, а лгнимая часть покоя,итедь. на, то вектор (',„лежит но второи четверти и, следовшеаьно, ф = Зклн 1акнм образом, мгновенное напряжение и = 100 У 2 ап ~6280(+Опар) В 113 3-6.
Сложение синусоидвльных Функций времени При исследовании цепей синусоидального тока приходится алгебраически суммировать гармонические функции времени одинаковой частоты, но с различными амплитудами и с различными . начальными фазами. Непосредственное суммирование гармонических функций времени связано с трудоемкими и громоздкими тригонометрическими преобразованиями. Значительно проще эта задача решается графически при помощи векторной диаграммы или аналитически путем суммирования комплексных амплитуд. Пусть требуется найти сумму двух гармонических функций времени о„=- )г, з1п (глг + фг) и о, = )'г з1п (н1 + ф,).
Сначала рассмотрим решение, выполняемое при помощи векторной диаграммы. Отложим векторы )ггт =- угт ~ ф, и )г, = )г, ~ ф, и графически определим вектор )г„= )г ~ ф, равный геометрической сумме векторов )г„, и )г,т (рис. 3-5). Эта век+1 мр торная диаграмма построена для случая, когда ф, = О и ф, ( О. Представим себе, что векторы )',, $'г и )Ут с момента г = О начинают вращаться вокруг начала координат О г / против направления движения часовой м м стрелки с постоянной угловой скоп г -ь ростью га. Проекция вращающегося векРгба тора )г ~(ы( + Чг) на вертикальную ось Л"йг в любой момент времени равна игт сумме проекций на эту же ось вращаю- щихся векторов )г, ~(а( + фг) и Рис. 3-5.
1', х'.(н1 + фг), т. е. мгновенных вели- чин о, и пг. Следовательно, проекция вектора )г д',(и(+ ф) на вертикальную ось равна искомой сумме о, + о„а вектор )г„= )г„Гф изображает искомую сипусоидальную функцию времени о = о, + о,. Таким образом, определив из диаграммы длину вектора )г и угол ф, можем написать выражение искомой величины о =- = р. Ипп (а(+ ф). Теперь перейдем к аналитическому методу. Рассматривая векторы как комплексные амплитуды, на основании выполненного построения (рис.
3-5) можно написать: )'"гт+ )ггт = )'т. Чтобы произвести суммирование комплексных чисел, их надо представить в алгебраической форме: П4 Осуществляя суммирование, получаем; )71и+7Л +Е +1)га =)7 +))'~=)7, где ! )' т )гпп+) 2ш )т= )' !и+ )'ат ° Отсюда находим: )'и=3 ()''а)'+()'"а)'~ (йф=~'т))7и Так как (я тр = (д (ф-1-л), то для определения тр нужно еще знать, в какой четверти располагается вектор )) . Это легко устанавливается по знакам вещественной и мнимой частей )7„. В расчетах для удобства начальную фазу тр выражают не в радианах, а в градусах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
