Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов С.В. Основы теории цепей (4-е изд., 1975) (1152146), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Из полученных выражений для и„ие и ис ! г видно, что напряжение на сопротивлении и ~з, совпадает по фазе с током, напряжение на индукпшвноспги опережает пюк по фазе на угол п(2, а напряжение на емкости отстает ас по 4азе от тока на угол п(2. На рис. Ззй показаны кривые мгновенных значений тока и напряжений для частного случая, когда амплитуда напряжения на индуктнвности ео!.! больше амплитуды напряжения на емкости ! /еоС н ф; ) О.
Синусоида и, совпадает по фазе с синусоидой тока, а синусоиды ие и ис сдвинуты относительно синусоиды тока на угол я~2 соответственно влево (опережение) и вправо (отставание). Таким образом, напряжения на индуктивиости и на емкости сдвинуты друг относительно друга по фазе на угол и (находятся в противофазе).
Ординаты кривой напряжения и=(у„ей(п (ы!+ф„) согласно (3-13) равны алгебраической сумме ординат кривых и„ис и ис. Определение напряжения и . д к.. „, и.и,~1„, которые могут быть найдены Рис. 3-9. непосредственным суммированием трех синусоидальных функщ1й времени и„ие и ис с последующими тригонометрическими преобразованиями. Однако, как Запишем комплексный ток и комплексные напряжения на основании выражений для мгновенного тока и мгновенных напряжений: 1 = !ег«гг; (3-1?) У,= 1е гч г1; гв Усг е»1.1е'(ч '' Яг ) = — огПе'~ег."г' =1«В.; Ус= — — — ег(ес иг') == — е'Ч'е '"М= — 1 у)=уег'«.
В выражениях для Уг и Ус учтено, что (3-18) (3-19) (3-20) (3-2 1) е'"а=сов ' +1з)п- =-1', е — г-'"г'=сов ~ — — ~+1з(п ~ — -) = — 1=111. У»+Уг+Ус=У. (3-22) Это соотношение представляет собой Рис. 3-!О. уравнение по второму закону Кирхгофа, записанное в комплексной или векторной форме.
Представим его на векторной диаграмме (рис. 3-10). Напряжение и, совпадает по фазе с током г, поэтому вектор У„ изобразим одинаково направленным с вектором 1. Напряжение ис опережает по фазе г на я12, поэзому вектор Ус сдвинем относи- тельно вектора 1 на угол пг2 «вперед» (против направления дви;ке- ния часовой стрелки). Напряжение ис отстает по фазе от г на и,2, поэтому вектор Ус сдвинем относительно вектора 1 на угол п12 «назад» (по направлению движения часовой стрелки). Эти соображения о взаимном расположении векторов напряже- ~» ~ » м»ажам лексных напряжений „с и с.
121 Сопоставляя выражения для мгновенных напряжений ие и ис (3-!5), (3-18) с комплексными напряжениями Уг и Ус (3-!9), (3-20), можно установить просгое правило перехода от производной и интеграла синусоидальной функции времени к изображающим их комплексным величинам: синусоидальная фую«а,ия заменяется изображающей ее колтлексной велининои, дифференггирование заменяется умножением на 1еь а интегрирование делением на 1н. Сумме синусоидальных напряжений (3-13) соответствует сумма изображающих их векторов или комплексных действующих напряжений: Действительно, вектор 1/, (3-!8) получается умножением / на вещественную величину г. Аргумент комплексной величины г/ такой же, как и комплексного тока /, поэзому направление вектора //, совпадает с направлением вектора !. Вектор (/г (3-19) получается умножением / на /«»/..
Умножение тока / на вещественную величину «»с не изменяет аргумента, а умножение на / = еш/» увеличивает аргумент на и/2. Следовательно, вектор /)«повернут относительно вектора / на угол и/2 «вперед». Вектор ()с (3-20) получается делением! на /ыС, Деление комплексной величины на»»С не изменяет аргумента, а деление на /, что равносильно умножению на — / =- е-ш/», уменьшает аргумент на и/2.
Следовательно, вектор (/с повернут относительно вектора / на угол я/2 «назад». Так как умножение и деление вектора на / приводит к повороту вектора на и/2 соответственно «вперед» и «назад», то множитель / часто называют оператором поворота на и/2. Сложив векторы (/„, (/г и 1/с, получим вектор 1/.
Его длина определяет действующее напряжение (/ = (/,„/)/2, а положение относительно координатных осей — начальную фазу ф„. Решим ту же зад ~у аналитически. Теперь уравнение (3-22) будем рассматривать к к соотношение между комплексными числами. Г!одставив в него значения комплексных напряжений, получим: г/+ /тв/./+ ///ыС = (/, или (/= [г + /' (»»/. — 1/««С)1/. (3-23) Это соотношение между комплексными напряжением и током называют законом Ома в комплексной форме. Записав комплексные величины в показательной форме, получим: ««С/ где вŠ— 1/«»С «р = агс1п (/ =) / г '+ (м/ 1/мС) /! фи = ф + ««, Так как (/,„= )/ 2(/ и /,„= )Г2/, то (/„=)I г+(м/.— 1/мС)«/.. Таким образом, амплитуда (/„и начальная фаза ф„напряжения на зажимах цепи определены и можно записать выражение для мгьовенного напряжения: и = (/ з )п (ы/+ ф, + «р).
(3-24) В заключение заметим, что уравнение для комплексных токов .. и..напряжении и ввктариые диагрлммы.взаимно..связаны Уравнения можно рассматривать как запись геометрических суммирований 122 векторов, выполняемых на векторной диаграмме, и наоборот, векторную диаграмму можно рассматривать как графическое представление соотношений между комплексными величинами в уравнении. 3-9. Сопротивления Введем теперь ряд величин, характеризующих цепь синусоидального тока.
Отношение ' комплексного напряжения к комплексному току называется к о м п л е к с н ы м с о и р о т и в л е н и е и Л= / — — 7п — — га/ч=г ~ ф, // п~ ъ где г =. (/// = (/„//„— отношение действующего или амплитуд ного напряжения соответственно к действующему или амплитуд- номутокуназывается полным сопротивлением.
Пол- ное сопротивление равно модулю комплексного сопротивления. Аргумент комплексного сопротивления равен разности фаз напря- жения и тока, т. е. ф = ф„— фп Комплексное сопротивление можно представить в виде Я=ге/ве аспзф+/гз1пф=г+/х, (3-2б) где г — г соз ф — вещественная часть комплексного сопротивления, называется а к т и в н ы м с о и р о т и в л е н и е м; х — аз)п ф — значение мнимой части комплексного сопротивления, называется реактивным сопротивлен и е и. Очевидно, что а=1/г'+х', ф=агс1д=",.
В технической литературе встречались также следующие наименования для сопротивлений: вместо полного сопротивления— кажущееся сопротивление, импеданс; вместо комплексного сопротивления — комплексный импеданс, вместо реактивного сопротивления — — реактанс. Из выражения (3-23) следует, что для схемы,' представленной на рнс.
3-8, комплексное сопротивление Я= г+/х=г+/' (ыЬ вЂ” 1/ыС), причем реактивное сопротивление х = ьт/. — 1/гвС = хг — хс, (3-27) хв=ы/.; хс=1/гвС называются соответствен~ю и н д у к т и в н ы м и е м к о ста-ы хг — с-о и-р о т и в л и н и я:а и. 123 Из выражения (3-15) видно, что индуктивное сопротивление связывает между собой амплитуды напряжения на индуктивности и тока: (7,„= и.; х,= Т.=(7,.77„=(7,77. Индуктивное сопротивление прямо пропорционально частоте тока.
Это объясняется тем, что напряжение на индуктивности пропорционально скорости изменения тока: иг = й ЙМ. Емкостное сопротивление, как следует из выражения (3-16), связывает между собой амплитуды напряжения на емкости и тока: ис =„7,„; хо=--11 С=-и,„,77 =(7,77. 1 Емкостное сопротивление обратно пропорционально частоте тока.
Эту зависимость от частоты легко пояснить, если считать заданным напряжение на зажимах емкости, а искомой величиной ток: г =--- г(г)гг(г = Сг(исЫ1. Ток прямо пропорционален скорости изменения напряжения на зажимах емкости и, следовательно, емкостное сопротивление обратно пропорционально частоте напряжения. Напряжения на последовательно соединенных индуктивности и емкости противоположны по фазе; поэтому в выражение (3-27) для реактивного сопротивления х сопротивления хг и хс входят с различными знаками. Напряжения на индуктивности и на емкости сдвинуты по фазе относительно напряжения на сопротивлении соответственно на и,'2 и — и72.
Поэтому эти сопротивления входят в Я как с, )хг и — )хс. След)ет обратить внимание на то, что индуктивное и емкостное сопротивления являются величинами аригрллетическилги — гголожителвными, а реакпгивное сопротивление х =- хг — хс — величина алгебраическая и может быть как больше, так и меньше нуля. Для ветви, содержащей только индуктивность, реактивное сопротивление х равно индуктивному сопротивлению хг, а реактивное сопротивление х ветви, содержащей только емкость, равно емкостному сопротивлению, взятому со знаком минус, т. е, †. Заметим также, что для ветвей, каждая нз которых содержит только сопротивление с, только индуктивность 1.
или только емкость С, комплексные сопротивления соответственно равны: 1 Я =~' хе=)таг-' Яс= — 1 — .. 3-10. Разность фаз напряжения и тока Условимся под разностью фаз чг напряжения и тока всегда понимать разность начальных фаз напряжения ф„и тока ф (а не наоборот); гр = г(ги фг. (3-28) и„*, у ° р-ва..р !ь ж ' г? -16). И'.лент О пр т такгтч опре= делении разности фаз угол гр равен аргументу комплексного сопротивления. Угол ~р положителен при отстающем токе Ор„) ~р,) и отрицателен при опережающем токе Ор„( ф,).
Разность фаз между напряжением и током зависит от соотношения индуктивного и емкостного сопротивлений. При хг ) хс имеем х ==- хд — хс) О и ток отстает по фазе от напряженна, ~р = =- агс)п (х!») ) О. Г!ри хь — — хс имеем х = О, гр =- О, г =- », ток совпадает по фазе с напряжением, цепь в целом проявляет себя как активное сопротивление.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
