Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов С.В. Основы теории цепей (4-е изд., 1975) (1152146), страница 19
Текст из файла (страница 19)
2-25, б показаны искомые зависимости. 2-8, Теорема о взаимных приращениях токов и напряжений Пользуясь уравнениями (2-48) и (2-49), установим связь между приращениями токов Л1„Л1, и приращением напряжения ЛУ, (рис. 2-23, а) при изменении сопротивления первой ветви в пределах от нуля до Лг,. Если г, = О, то напряжение Ух =- О и согласно (2-48) ток 1, = = а, =- 1ы; при сопротивлении первой ветви, равном Лг„напряжение на ее зажимах ЛУ, = Лг.,1„а ток 1, =- — Л(78„+ 1зю Следовательно, прн изменении сопротивления первой ветви на Лг, изменение тока этой ветви Л1,=1„— 1х=Л(утхгхг=Лг 1,хгх . (2-гз !) Аналогично можно показать, что при изменении сопротивления первой ветви на Лг, изменение тока во второй =Л1з — ЛТугти=йгт=Мзы "--- ' =- "42-82).' Из выражений (2-51) и (2-52) легко найти входную и взаимную проводимости ветвей через отношение приращений: и-=-Л(уЛик, ак1 =-Л1 1Ли .
Согласно уравнению (2-49), где Ук при новых обозначениях надо заменить на ЛУ„ получим: 1=-1 (1-~— )=1 (1- г» )=1 -Л ~— 1-1.— Л а' 1., 11 откуда 1к (2-53) 1+а»1 к11 После подстановки этого выражешия в уравнения (2-51) и (2-52) получаются формулы для определения приращений токов: (2-54) =1+а»1Ь1 (2-55) 1+ Гк»кукк Выражения (2-54), (2-55) для приращений токов называют теоремой вариации или теоремой о взаимн ы х п р н р а щ е н и я х. Если сопротивление первой ветви изменяется не от нуля до Л»„а от», до»; = », + Л»ы то для определения приращений токов Л1, и Л1, можно пользоваться теми же формулами (2-54) и (2-55). При этом входная с»„и взаимная дкк проводимости, а также ток 1„имеют другие значения, определяемые, как и раньше, при Л», =- О.
2-9. Общие замечания о двухполюсниках При исследовании процессов в сложных электрических цепях часто интересуются током, напряжением и мощностью только одной ветви. Однако отдельные ветви могут быть выделены из сложной цепи не только для исследования процессов именно в этих ветвях, но и для установления связи, например, между одной частью цепи с источникамн электрической энергии и другой — с приемниками.
Во всех этих случаях выделяют ветвь, присоединенную к сложной цепи в двух точках (двумя зажимами). Часть электрической цепи произвольной конфигурации с двумя выделенными зажимами, именуемыми полюсами, называется д в у х и о л ю с н и к о м. Двухполюсники, содержащие источники электрической энергии, называются а к т и в н ы м и, а двухполюсникя, не содержащие источников электрической энергии, — п а с с и в н ы м и. Всякий пассивьый двухполюсник является потребителем электрической энергии и характеризуется одной величиной — сопротивлением».. Поэтому на эквивалентной схеме пассивный двухполюсник может быть представлен одним элементом — сопротивлением»„называемым внутренним или входным сопротивле" н си пассивного двухполюсника, Если известна схема пассивного двухполюсника, то для определения входного сопротивления г„нужно тем или иным способом ее «свернутьг относительно двух заданных зажимов.
Хг б) Рис. 2-26. Рассмотрим, например, схему на рис. 2-26, а. Если выделить в этой схеме ветвь с источником э. д, с. Е, и сопротивлением по то остальную часть схемы (обведенную пунктиром) можно рассматривать относительно зажимов 2 — 2' как ! пассивный двухполюсник (без источников энергии). Часть той же схемы относительно зажимов 1 — 1' ветви с сопротивлением г, г' г' (рис.
2-26, б) можно рассматривать как б) активный двухполюсник (обведен пунктиром). Рис. 2-27. В дальнейшем активные двухполюсники (рис. 2-27, а) будем обозначать прямоугольниками с буквой А (активный), а пассивные (рис. 2-27, б) — прямоугольниками с буквой П (пассивный). 2-!О. Теорема об активном двухполюснике и ее применение для расчета разветвленных цепей Выделим в электрической цепи одну ветвь 2 — 2' с сопротивлением г, присоединенную в точках ! — 1' к активному двухполюснику (рпс. 2-28). Покажем, что для расчета тока 1 в ветви 2 — 2 активныи двухполюсник можно заменить источником э, д.
с. и пассивным двухполюсииком. Чтобы найти э. д, с. источника, разомкнем цепь между точками 1 и 2 (рис. 2-29, а) и определим разность потен- г П:~м 96 циалов У, опытным или расчетным путем. Рис. 2-28. Затем подключим к точкам 1 и 2 источник с э. д. с. Е; =- (1„., направленной навстречу (1и (рис, 2-29, б); ток в ветви 2 — 2' останется равным нулю, так как при этом разность потенциалов любых двух точек не изменилась. Схема, показанная па — рнс.-2=29-;б,--отлнчаетея- от-заданной (рнс..2=28). тем .. что в ней между точками 1 и 2 включен источник э.
д. с, Е„' и ток в ветви 2 — 2' равен нулю. Эта схема будет эквивалентна заданной, если между точками 1 и 2 ввести еще одну э. д. с. Е, = Е„', противоположно направленную э. д. с, Е, (рис. 2-29, в). По принципу наложения ток 1 в ветви 2 — 2' эквивалентной схемы (рис. 2-29, а), а значит и заданной (рис. 2-28), найдем как алгебраическую сумму токов, создаваемых каждым из источников.
По все источники, находящиеся внутри активного двухполюснпка, совместно с источником э. д. с. Е„'не вызывают тока в ветви 2 — 2' ! Г, =их г г г т г вг г ,г) х Г=Р гй г 1=а а~ й) ех=вх Ех=Ох т ех ггх д) е) г Ряс. 2-29 (рис. 2-29, б). Поэтому ток в ветви 2 — 2', создаваемый одним источвиком э. д. с. Е, (рис. 2-29, г), равен действительному току в этой ветви (рис. 2-28): 1= — ' (2-56) т+ти т+те где г, — входное сопротивление пассивного двухполюсника, получающегося из заданного активного после того, как все э. д.
с. источников напряжения и все токи источников тока приняты равными нулю. В частности, при г =- О, т. е. при коротком замыкании ветви 2 — 2', 1„= 0„1г„т. е. входное сопротивление активного двухполюсника можно определить как отношение напряжения холостого хода к току короткого замыкания: г,= 0,11„ Формулу (2-56) можно еще записать так: 1= —,"1~ (2-56а) Последнее выражение легко получить и из (2-49). Действительно, — -впуская -нндсксвг-у напряжения--и -тока-,— запишем.—.эчв — уравненне- 97 4 Оеиоиы теории цеиег в следующем виде: 1 = 1, '(! — Г7- ) = у"- ((7„— г1), 1е х х откуда и получается (2-56а).
Сопротивление г в общем случае может быть входным сопротивлением пассивного двухполюсника, присоединенного к зажимам 1 — 1' заданного активного двухполюсника. Уравнение (2-56) представляет собой математическое выражение теоремы об активном двухполюснике, называемой также теоремой об эквивалентном генераторе или теоремой Гельмгольца и Тевенена. Эту теорему можно формулировать следующим образом: если активную цепь, к копгорой присоединена некоторая ветвь, заменить источником с з. д. с.
равной напряжению на зажимах разомкнутой ветви, и сопротивлением, равным входному сопроп1ивлению активной цепи, то ток в втой ветви не изменится. Уравнению (2-56) соответствует эквивалентная схема, показанная на рис, 2-29, д, где активный двухполюсник представлен в простейшей форме, в виде неразветвлениой цепи с источником э. д. с. Е„= (?„и сопротивлением г,. Таким образом, активный двухполюсник по отношению к присоединенной ветви с сопротивлением г можно рассматривать как источник с внутренним сопротивлением г, и э. д.
с. Е„, равной напряжению (?„между зажимами двухполюсника при разомкнутой ветви 2 — 2'. Активный двухполюсник можно также представить в виде источника тока з' = Е„1», и параллельно ему присоединенного сопротивления г„как это показано в 9 1-2. Если рассматриваемая ветвь содержит не только сопротивление г, но и э. д.
с. Е, то ток в этой ветви (2-5?) где э, д. с. Е берется с положительным знаком, когда обе э. д. с. Е„ и Е действуют в одном и том же направлении (рис. 2-29, е), и с отрицательным, когда э. д. с. Е направлена навстречу Е,. В дальнейшем будем называть эту теорему только теоремой об активном двухполюснике, так как при Е ) Е„и отрицательном знаке в формуле (2-57) двухполюсник будет не отдавать, а потреблять энергию (от источника с э.
д. с, Е). Подчеркнем, что в эквивалентной схеме активного двухполюс- ника (рис. 2-29, д), так же как прн любых другах преобразованиях схем с источниками энергии, мощность источника с эквивалентной з. д. с. и потери в сопротивлении г, в общем случае не равны соответственно суммарной мощности источников энергии в реальной цепи и потерям в сопротивлениях ветвей активного двухполюсннка. Остановимся теперь на применении теоремы об активном двухполюсннке и принципа наложения для расчета разветвленных электрических"' ценен. = Расчет токов в заданной электрической цепи, которую можно рассматривать относительно одной нз ветвей в виде активного двухполюсника (рис. 2-28), может быть упрощен, если пользоваться принпипом наложения.
Действительно, ток в каждой ветви активного двухполюсника можно определить путем алгебраического суммирования токов, возникающих в этой ветви при холостом ходе (рис. 2.29, а или б) и при действии одного „г, гг источника с э. д. с, Е„= У„(рис. 2-29, г). ~г, ' гг гг Удачный выбор размыкаемой ветви (режим холостого хода) может значительно, и, г, г г, упростить расчетные схемы. Рассмотрим, например, схему на г рис. 2-30, в которой требуется определить токи во всех ветвях йри заданных э, д. с. источников, напряжении У и сопротивлениях ветвей.
Разомкнем ветвь с сопротивлением гг (рис. 2-31, а) и определим ток 1„ = 1,„ из уравнения Е, = (гг+ г,) 1,„— У и ток 1,„= 1,„из уравнения Ег (гг+ гг) 1гх Зная токи 1,„и 1„., вычислим напряжение У,„по формуле У,„=,1„— 1,„+ Е,. Затем положим э. д. с. Е, и Е, и напряжение У равными нулю и включим в ветвь с сопротивлением гг источник с э. д. с. Е, = У„ :,„-г Е еагг Рис. 2-3!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
