Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов С.В. Основы теории цепей (4-е изд., 1975) (1152146), страница 15
Текст из файла (страница 15)
д. с. и источники тока (рис. 2-6). Три ветви этой цепи выделены, а остальная ~~сть условно показана в виде прямоугольника. В каждую ветвь включен амперметр. Чтобы определить входную проводимость первой ветви ды и взаимные проводимости второй и первой дзг и треть- иервей Сзт-ястве"":-нвдв — включить-" — нерв э д с Е, Измерив вольтметром напряжение (/г = Е, на зажимах источника э д с и амперметрами токи /„уя и У, в трех ветвях, нетрудно вычислить входную и взаимные проводимости и сопротивления ветвей по формулам Ры= 7,~(/,= )/гм, дш= /,/(/,= )/г„; рм= /,/(/,= )/гзы Аналогично определяются входные и взаимные проводимости и сопротивления других ветвей Пример 2-2. Определить входные и взаимные проводимости ветвей схемы рис 2 7, а, если г, = г, = гг — — гь — — 4 Ом, гз = 2 Ом Р е ш е и и е Для определения входной проводимости дгг и взаимных проводимостей между первой и остальными ветвями положим э д с Е, и Е, равными нулю (рис 2 7, б) Затем можно задаться э д с Е, и найти все токи Однако лля данной схемы проше задать ток в ветви с сопротивлением гг или г„например 1.' = ! А, и найти необходимую э д с Е, и токи в остальных ветвях Рис 27 Так как сопротивлевиег, = бито/,' = 1', и 1,' = 1;+ 1,' = 2Л Напряжение на зажимах сопротивления гз (/'=гь/;+гз/г'=4+4=8 В, ток 1~ = (/з/гз = 8/4 = 2 А, ток 1; = 1,' + 1", = 2+ 2 = 4 А и э д с, при действии которон ток 1' — — ! А, а остальйые токи равны найденным значениям, Е =- (/; + г,1,' = 8+ 4 4 = 24 В Входная проводимость дгг первой ветви равна отношению тока 1', к э д с.
Ег,те ягг=/'г/Ег=4/24= )/6 См Взаимные проводимости между первой и остальными ветвями дг=дм=/;/Ег=! !2 См, ага=дат — /г)Ег=!/!2 См, дгг=дгг=/г/Ег=)/24 См, дгь=ды=/,'/Ег=!/24 См Аналогично определяются входные и взаимные проводимости остальных ветвей азг = вяз = Ым = ьг = )/6 См ьгз=дзз=дзг=дгг=кгь=дьз=дгь=км= (/!2 См Пример 2-3 В условиях предыдушей задачи (пример 2 2) определить токи во всех ветвях, если э д с Е, = 24 В, Ез = )2 В и Еь =- 24 В Р е ш е н и е Зная входные и взаимные проводимости ветвей, легко определить в них токи, пользуясь принципом наложения !г=дггЕг — ДыЕз — дмЕь — — ()/6) 24 — (!/!2) !2 — ((/24) 24=2 А; /з=аыЕг-РаззЕз+дзьЕь — — 4 А Входные и взаимные проводимости и сопротивления ветвей в общем случае для более сложных схем целесообразно представить в виде отношений узловых или контурных определителей и их соответствующих алгебраических дополнений.
для мостовой схемы (рис. 1-22, а) взаимные проводимости между ветвямн, например с проводимостями и, и а'„, д, и д,з, определяются при помощи выражений (2-7) и (1-39) соответственно по формулам (2-9) Ъ Е, где 1)м получается, как отмечено выше, из (1-38) путем вычеркивания первой строки и первого столбца, а О,, находится из того же определителя (1-38) вычеркиванием первой строки и второго столбца и умножением полученного выражения на ( — 1)"' = — 1, Важными параметрами, характеризующими режим электрической цепи, являются коэффициенты передачи напряжения и тока.
Эти параметры чаще всего применяются для характеристики цепей с одним источником э. д. с. или с одним источником тока при передаче сигналов. Коэффициент передачи напряжения определяется отношением напряжения на зажимах приемника к напряжению источника э. д, с., действующего в пепи; коэффициент передачи тока определяется отношением тока в приемнике к току источника тока в цепи. Эти величины также могу~ быть выражены через узловые или контурные определители и их соответствующие алгебраические дополнения.
Например, для схемы рис. 1-23, а, пользуясь уравнениями (1-42), легко определим напряжение Ь', =- ~Г, по формуле — на~ (2-10) где алгебраическое дополнение Р4~ = — дм (й + Ым) (ка + каз + + вм) — кмйаз (йз + йай) — дмдзьпм получается из (1-43) путем вычеркивания четвертой строки и второго столбца. Коэффициент передачи напряжения (2-11) Если в схеме рнс. 1-22, а источник э.
д. с. заменить эквивалентным источником тока У, = Е,п, (рис. 1-22, б), то, пользуясь этой эквивалентной схемой и уравнением (2-10), можно определить коэффициент передачи тока во вторую ветвь по формуле 75 2-4. Применение топологических методов для расчета цепей аг1 агх дп ' ' ' агу км кы йе йЪ 0(У)— (2-13) агг Иа .
яч ам Дхг йх2 ''' ДФ ''' с «т Пусть проводимость между узлами г' и г' равна сумме проводимостей двух ветвей до.=-аг,', +д,"г. Тогда определитель (2-13) можно представить в виде суммы дм дм ... О ... д,„ ам йт.. О . Итз ди Итт дм йггх йм Ым йЪ йм Ыг й'а . Иц Я'я 0(У~ Дяг Яхг О ° Ыхх '0 --0 Ихг йха ° ° Ям ° альта йгч 1 с (2-14) В этом выражении алгебраическое дополнение 0„получается из (2-13) вычеркиванием Е-и строки и )сто столбца и умножением на ( — 1) "г. Оно соответствует электрическои схеме, в которой ветвь с проводимостью д,', закорочена; определитель 0ч получается из (2-13) при д,', --- О, что соответствует схеме, в которой ветвь с проводимостью и,', разомкнута. Очевидно, что разно кение 76 Ранее было показано, что для определения входных и взаимных сопротивлений и проводимостей схемы, а также коэффициентов передачи напряжений и токов приходится в общем случае вычислять определители системы узловых уравнений.
Такие определители для разветвленных цепей обычно содержат, как уже было отмечено, большое число одинаковых членов с разными знаками, которые выявляются, как правило, только в конце преобразований и сокращаются. Таким образом, представляет не только теоретический, но и большой практический интерес знакомство с некоторыми способами разложения узловых и контурных определителей при полном или частичном отсутствии лишних отрицательных и равных им положительных слагаемых. Рассмотрим несколько способов такого разложения и установим между нгтми связь. Лля электрической схемы, имеющей у + 1 узлов, при ггхы = О, запишем определитель узловой проводимости: вида (2-14) вообще можно выполнить относительно любого элемента до„выраженного в виде некоторои с)ммы проводимостеи.
Влемен~й главной диагонали определителя узловой проводимости (2-13), как правило, равны суммам проводимостей соответствующих ветвей. Г!озтому разложение (2-14) выполняется обычно относительно ветви, присоединенной между /-м и базисным (заземленным) узлами, с проводимостгпо, входящей в элемент главной диагонали (соответствующей 1-й строке и (сму столбцу), которую обозначим в дальнейшем д„= пп При этом йч=й+Ыч где ветвь с проводимостью д,', в общем случае остается по-прежнему присоединенной между 1-м и мм (не базисным) узлами. 3 Д, В этом случае вместо равенства (2-14) нужно записать: Ух Йз Р" ~ =д,Р,+Рг, (2-1 5) где нижний индекс у минора первого слагаемого обозначает, что 1'-я ветвь закорочена, а верхнии индекс у второго слагаемого указы- Риз 2-8.
вает, что та же ветвь в той же схеме разомкнута, при этом Р, — положительное, так как проводимость д входит в элемент, стоящий на главной диагонали (алгебраическое дополнение равно минору). Для иллюстрации применения формулы разложения (2-15) рассмотрим схему на рис. 1-22, а, для которой была записана система уравнений (1-35) относительно потенциалов Ч~„ газ и грз при грз †-- О и определитель (1-36): (Ыз+ Ям+ й'зз) в'зз — Язз Изз (Яз+Изз+йзз) Кзз Йзз Изз (Яз+ Дзз+ Дзз) Разложим этот определитель относительно ветвей д„дз и пз (рис. 2-8), присоединенных к базисному узлу 4. Проводимости д„ яз и пз в приведенном определителе (подчеркнуты) представляют собой избыточные члены соответствующих строк или столбцов. Это означает, что при удалении такой проводимости из диагонального элемента сумма всех остальных элементов соответствующей строки и столбца равна нулю.
По формуле (2-15) получим: оп (йз+ Язз + Ызз) Изз Р" =бз — кзз (ьз+Язз+кзз) = йзРз+ Р'. (2-16) М~з+ взз) — Жз Игз + — оз (д, + дзз + дзз) — о з Ызз Ызз Мз+азз+Ызз) Полученным минору Р, и определителю 0' соответствуют схемы на рис. 2-9, а и б. Разлагая каждый из определителей (2-!б) согласно равенству (2-15) по проводимосг ям других ветвей, присоединенных к базисному узлу, можно получить еще более простые выражения.
34 г Ьз 4 а) 3) Рис. 2-10. 221 Ряс. 2-0. Например, разложим определитель 0' относительно проводимости Йг: (Й12+Йгз) — Ыгз 01 Й вЂ” Й31 (Йз+ Й31+ Йзг) (Й12+ 013) Й12 Я1З Йм (Йм+ Йгз) Й133 Кзрг+ 0 ° (2 17) — Й31 — Язг (Йг+ 031 + Йзг) Минору Р,' и определителю 0'2 соответствуют схемы, показанные соответственно на рис. 2-10, а и б. Дальнейшее разложение Рг и Р" по формуле (2-15) относительно проводимости дз приводит к следующим выражениям: Ям (кзг+ Йзг) 1 (а +Й) — Й (К12+Й13) К12 К12 Ыи+ Йгз) Ям Й1 013 1 Рмг Аналогично можно получить разложение для первого слагае.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
