Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов С.В. Основы теории цепей (4-е изд., 1975) (1152146), страница 17
Текст из файла (страница 17)
гв гв Разложение определителя Оьм г по путям (по узловым парам) по 4 Ф г существу получается из (2-21) при помощи простой группировки слазь г й гаемых и в общем случае может г быть выполнено по формуле Р~ю=ХПь0ь, (2-30) Ф Для иллюстрации отмеченных положений сгруппируем в определителе (2-28) все слагаемые, например, следующим образом: Ф йв [(кькз+ Язнз+ взкь) + +ив (яз + яв) + Ыв (Ьвь + Ьвг) + в'ьв'в1 + +высь (8з + Ив+ьв) + кзнв (к 1+ +й+ йь) + йьйздв+ Ызйдь (2-31) Рнс.
2-!7. Это выражение можно представить в виде ОМ~ =- Н,оь+ Т(газ+ 1(з~)з+ 1)в13в+ Н-.О„(2-32) 11ь — Яв Оь=(Из+Ыз+М) ьйвь(йз+йвз) +Яв(й+йгз)+Ив ЙИь' 1)з=йз+Ыз+Яв' Т)з=йвйв' Оз=Кь+Йз+ ЙЪ' 1)в=-йьййв' и†1)ь вввзкь ~'~ь Такая группировка слагаемых соответствует разложению определителя по всем пяти путям между узлами 1 и 4 (рис. 2-15). Каждому минору соответствует схема, которая получается из заданной нри- воротном-замыканин-соответствующего-пути.
Капрн- 83 мер, при П, = й минор О, получается из уравнений для трехузловой схемы, приведенной на рис. 2-18: Р— ~ ' ' 233 — Ыа (й+йв+ Яв) Если П, = йй, то О, = (й — , 'й + й), что соответствует схеме (рнс. 2-15), в которой ветви с проводимостями й и й закоро- Рв г пав Рис. 2-19.
Рис. 2-18, чены (рис. 2 19). Если путь проходит через все узлы схемы, например при П, =-- йдвп„то Рв == 1. Аналогичный смысл имеют остальные слагаемые в определителе (2-32), Для разложения определителя Р~-'1 по формуле (2-30) можно выбрагь и любую другую пару узлов. Например, при разложении того же определителя относительно узлов 1 и 2 имеются пути со следующими значениями: Пв = й! Пв =- йй Пв = йкв Пв — ййй П, =- ййяв. Этим путям соответствуют миноры: Рг = (й + йв) (ив+ +ив+Ив)+йвй+йй Ра=й+ +Да+ив! Рв =-Дв+Яв+й! Рв = К~ вг в =- 1; Рв — — 1, значения которых легко в находятся из схем, получающихся при Ь, наложении соответствующих условий Х на заданную схему (рис.
2-!5). ув уг В качестве примера, иллюстрирую- щего непосредственное применение д форгиулы (2-30), рассмотрим двойной Т-образный мост (рис. 2-20). Рис. 2-20. Для разложения определителя выберем, например, узлы 1 и 2 и разомкнем источник тока. Между этими узлами имеются три пути со значениями: П, =- йй; П, = йлв; П, = ив. При коротком замыкании ветвей пути со значением П, =- йй минор О, = (й -1- 1- д,) (й ~ й); при коротком замыкании ветвей пути со значением Пв =- йй минор О, =- (й — ', дв) (дв + й) и, наконец, при коротком замыкании ветвей пути со значением Пв =- йй минор О, =- (й + —,— й) (й + й). Узловой определитель по формуле (2-30) Р' =йкв (аз+ив) (втв+Дв)+авив (й+Яв) (Дв+Дв)+ + Ы М +И ) (й+ив).
(2-34) Определитель конт) рных сопротивлений Оии можно найти, например, по формуле (2-27а) — О" и~ в~ (и~н в ~ гв" в--в~ вввв.д.— 84 Подчеркнем, что каждое слагаемое Вип представляет собой произведение сопротивлений ветвей, которые как бы дополняют соответствующее дерево, полученное из определителя Реп для заданной схемы. Например, для дерева, состоящего из проводимостей до й„д„соответствующее слагаемое определителя Рио равно г,г„ ем а для дерева д„дз, д„йт — гаг, и т. д, Отсюда следует, что число слагаемых в определителях Рео и Рио одинаково. Поскольку порядок определителя Реп в данном примере выше порядка определителя Рьи в 2 раза (порядок каждого из определителей Рсо и Рьч определяется числом независимых соответственно узловых, включая устранихиые узлы, и контурных уравнений), то число элементов в каждом слагаемом узлового определителя (которые входят в виде сомножителей) в 2 раза больше, чем в каждом слагаемом Рмй Отсюда также следует, что в данном примере число операций умножения в контурном определителе 0(ю значительно меньше числа операций в определителе Рю.
2-5. Топологические формулы и правила для определения передачи электрической цепи Для определения входных и взаимных сопротивлений, проводимостей и коэффициентов передачи токов и напряжений по существу, как уже было показано, приходится в каждом случае вычислять отношение тока или напряжения, измеряемых соответствующими приборами, к напряжению или току источника. Для расчета часто целесообразно пользоваться соответствующими разложениями (2-21) или (2-ЗО), причем можно установить связь между значениями эгнх определи~елей и условиями, налагаемыми приборами и источниками на режимы цепей в зависимости от определяемых величин. С этой целью следует ввести в схему ветвь с источником И и ветвь с измерительным прибором Пр.
Если в рассматриваемой цепи имеется несколько источников и приемников, то сначала рассматривается только одна пара (И; и ПР,), а затем поочередно все другие возможные сочетания; для определения соответствующих величин можно пользоваться принципом наложения. Предварительно введем некоторые дополнительные понятия. П е р е д а ч а Н (коэффициент передачи, взаимное сопротивление или проводимость) — отношение показания измерительного прибора ПР к напряжению или току источника И; п у т ь п е р ед а ч и — путь, состоящий из двух узлов источника (ветви с источником), ветвей схемы и ветви с измерительным прибором (при определении входного сопротивления или входной проводимости в путь передачи ветви схемы не входят); значение пути передачи Пэ равно произведению проводимостей й-го пути передачи, при этом прсводимость измерительного прибора считается равной единице; знак П, "Рпнимается положительным (отрицательным), когда ток в ветви измерительного прибора й-го пути, обусловленный заданным направле— - — - -кием токаи лнтшпрпженпяттсточпика-;стремится вызпатвположителв= ное (отрицательное) отклонение прибора с известной полярностью.
Минор пути передачи О// равен определителю цепи, осгающейся после короткого замыкания /л-го пути передачи, включая ветвь измерительного прибора Пр. Таким образом, передача Н может быть выражена при помощи топологического закона передачи в виде отношения определителей, разложенных по соответствующим путям: Р' 2//лРл Рм/ ХцлРл / (2-35) где 01т1 — определитель определенной матрицы узловой проводимости цепи, в которой э. д.
с. источника и ток источника тока приравнивакпся нулю, что равносильно короткому замыканию идеального источника э. д. с. и размыканию идеального источника Рис. 2.21. тока; сопротивление амперметра принимается равным нулю, а сопротивление вольтметра — бесконечности, Алгебраическое дополнение 0' получается из 0сл вычеркиванием строки и столбца, соответствующих определяемой величине, и умножением полученного выражения на ( — 1)"/, где /' и 1' — номера вычеркиваемых строки и столбца.
Предполагается, что определитель 0ел составлен из коэффициентов системы уравнений, определяющих напряжения на зажимах ветвей (в общем случае не совпадающие с потенциалами узлов). К такому виду, как было показано, можно преобразовать любую систему узловых уравнений (стр. 37). Изложенные правила, как будет показано, по существу непосредственно вытекают из аналитических выражений, определяющих соответствующие величины. На рис, 2-21, а изображена схема, ранее показанная на рис. 1-23, после замены источника э.
д. с. Е, источником тока У, = Ел~,. Требуется определить напряжения У = /р„У, =- Ч/и и У„= = и/а — Ч/„, а также найти коэффициент передачи тока в одну из Напряжение (/4, как следует из ранее составленных уравнении (1-40), определяется по формуле Р4=ч!4=11Р гР!"! (2-36) где Ро! — определитель узловой проводимости для заданной схемы, определяемый по формуле (2-30), а Р„получается из Р!т! заменой четвертого столбца правой частью узловых уравнений (1-40); при этом ток У! вынесен из определителя, т.
е. — 1 0 0 0 (Й ! + Й12 + Й 14) Д12 0 — йм (й'2 + й'м+ й'23) й'ь3 0 й32 (й'3 + й32 + Й34) — Им 0 й43 ,71Р14= 3'1 ЙМ (й2+ ЙМ+ Й23) й23 — ь+ -+.) йм 0 043 = 11 (й12Й23Й34+ Ым ((Ы3+ Ым) (й2+ Й21+ 122) + й32 (й2+ й21Ц) (2-37) Р =-и '1(й +и) (й:+а+И.+и")+(и 2+а ) (й.+а3)1+ +ЙМйы (й1+й2+й3+Й4) +й1Й4 (Й12+Я34+й1+йз) + + й34 (а2+ К3) й1+ й4 (й' + й3) й ' ' (2-38) Однако это выражение легко получается пугем повторного применения формулы разложения (2-30) к схеме рис. 2-21, б; например, при разложении Р, по путям между узлами 1 и 4 (рис. 2-21, б) й14 Р1 (й11 + Й34 + й2 + ЙЗ) (й! + Й4) + 112 + й43) (й2 + + й3) (получаюгцееся из схемы рис.
2-21, в); П," =- й„й12; Р, "=- +чз+й +я,); П" =дй; Р'=(йе +д +йа +й); 4 = й34 (й3 + д3) д1', Р4 = 1; П3 = й4 (й2 + йз) й12~ Р3 = 1. Остальные миноры узлового определителя Р4!'! находятся по формулам Р2 (Й12 + Й 1 + Й14) (Й4 + Й43) + з41 (й12 + Й1) 1 Р3 = (Й1+ Й2 + йз + й4) ~ Р3 = (Дз + й4+ Ям)1 Остановимся на разложении определителя Р41! по формуле (2-30).
Разложение можно произвести относительно путей между любой парой узлов, например узлов 2 и 3. Между этими узлами имеются' восемь путей со значениями: П1 = Й23' П2 = й2Й3' П3 =- Й12Й41Й34! П4 = й!2й4Й4Й341 П3 = Й412й1йз' П4 = й2Й4йм1 П2 = й34й11Й1Й21 П3 = = й2,Й14й4д„при этом каждый из миноров Р„Р, и Р, равен единице, поскольку пути со значениями П„П, и П, проходят через все узлы схемы. Сравнительно сложное выражение получается для минора Р„ определяемого из схемы рис. 2-21, б, которая получается из основной схемы при д22 = оо: Напряжение на зажимах третьей ветви (73 = 423 = — 7 г01310 (2-40) где Рол — определитель узловой проводимости (2-39) и (К 2 + И 21 + и 23) 933 О и+Э43) +041 Ь'21 О 3'1013 = 11 й' (141 + К 43 + ь4) (К2+ К21+ Ь23)4 = 71(й21932 (04+ Ы 034 (2-4! ) Полученное выражение легко представить, так же как 31014, в виде суммы произведений значений путей, проходящих от зажимов источника тока через ветви схемы и вольтметр У„на соответствующие миноры: П! — — 1132д21 1; 0~ -— — (в1 ! дц + д43); П = — д14л34 ° 1; О.
= (а- + а + а ). Напряжение У, = 4р3 — 434 можно найти непосредственно по потенциалам 1р, и 4р4: (734 — 1—э ,1, (Я2103244 й44Я3 (й2+023+й21) й441033й31 (2 42) Однако это же выражение можно получить при помощи разложения по путям, проходящим от зажимов источника тока через вольтметр 034 Значение пути П! =-д1й23 1 д4, поэтому минор 01==:1; значение луги П~ = — д41 1 Н3; 0' =- (д1 + д23 + Н21) и значение пути П3 = — д41 ! Н2д,,; 03 =- 1, Пути со значениями П; и Пз направлены противоположно направлению обхода пути со значением П; и эти два значения отрицательные.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
