Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов С.В. Основы теории цепей (4-е изд., 1975) (1152146), страница 14
Текст из файла (страница 14)
с. Еги так как по этой ветви другие контурные токи не замыкаются. Таким образом, при определении токов ветвей при помощи принципа наложения можно поочередно оставлять в схеме по одной э. д. с., считая все остальные э. д. с. источников равными нулю, но сохраняя в схеме их внутренние сопротивления. Действительные токи ветвей определятся как алгебраические суммы токов„вызываемых каждой э. д.
с. Если схема содержит нс только источники э. д, с., но и источники тока, то следует найти составляющие токов, вызываемые каждой э. д. с. и каждым источником тока, после чего определить действительные токи ветвей путем алгебраического суммирования этих составляющих. Так как принцип наложения следует из общих свойств линейных уравнений, то его можно применять для определения любых физических величин, которые связаны между собой линейной зависимостью. В применении к электрическим цепям можно определять не только токи по заданным э.
д. с. и сопротивлениям, но и иапря-жа)Н)Н ~Ю=Вада)Н4ЫМ танки:зн - - Винят)язН=ОдиаКΠ— ' этим принципом нельзя пользоваться для вычисления мощное~ей, так как мощность — квадратичная функция тока или напряжения. 1-1апример, мощность в сопротивлении г, (рнс. 2-1) определяется по формуле гг (Е ~) Я(к) 1 Щ) 11)~к~)з г (~' 1 г )з Если мощность в том же сопротивлении г, можно было бы считать равной сумме мощностей, обусловленных частичными ~оками 1, 'и 1ы то получили бы совсем другое значение гх (У;)з + г, (!1)з. Гг ь г4 Рис. 2-2.
Пример 2мп На рис. 2-2, а показана мостовая схема с источником э. д. ж Е = о В и источником тока з = 1 А. Сопротивления указаны иа схеме. Пользуясь принципом наложения, определить токи во всех нетвях. Р е ю е и и е. Для определения токов н ветвях с применением принципа наложения надо рассчитать тохи в двух схемах, изображенных на рис. 2-2, б и в, В схеме рис. 2-2, б ток l равен нулю (точки Ь и г) разомкнуты), а в схеме рис. 2-2, а э.
д. с. раааа нулю (точки а и с соединены проводником без сопротивления). Токи в вегвях схемы рис. 2-2, б Е,, Е Е=Е= '; Г=У;=— 1 1 гг+ге ' ' ге+та 3 — 3 Токи в ветвях схемы по рнс. 2-2, а, где сопротивления б и гм а также гз и гз соединены параллельно, у" =; 11=- '=.,+'' "= "+"' я'ге Токи в ветвях заданной схемы (рис. 2-2, а) рввны алгебраическим суммам токов в соответствуюших ветвях схем рис. 2-2, б и в: гт+ ге Аналогично !з = !' + !е = = ) 4 А' !з= !( — г( = — О 4 А' 1~= !', + 1; = 1,4 А 2-2. Свойство взаимности Пользуясь методом контурных токов, установим еще одно важное свойство линейных электрических цепей — с в о й с т в о в з аимности или,какегоиногданазывают, принцип в за нмности.
Сущность этого свойства заключается в следующем, Пусть в схеме произвольной конфигурации единственный источник э. д, с. Е действует в ветви с сопротивлением г» в направлении от точки Ь Гг и! Рис. 2-3. к точке а (рис. 2-3, а) и создает в ветви с сопротивлением г, ток 1о направленный от точки й к точке с. Тогда такой же единственный источник э.
д. с. Е, = Е», включенный в ветвь с сопротивлением г, и действующий в направлении от с( к с (рис. 2-3, б), создаст в ветви с сопротивлением г» ток 1», направленный от Ь к а и равный току 1п На рис. 2-3, а йзображены ветви аЬ и сй с сопротивлениями г и гь а остальная часть схемы, не содержащая источников энергии, условно показана в виде прямоугольника с буквой П (пассивная). Для доказательства свойства взаимности обратимся к выражению (1-59), определяющему ток в любом контуре. Пусть ветвь сй является частью контура (, а ветвь аЬ входит в состав другого контура г! (рис. 2-3, а) и, как указано, других источников э.
д. с., кроме Е», эта цепь не содержит. Контуры выберем так, чтобы ветви аЬ и сй вошли каждая в один контур, соответственно д н !. Тогда ток 1, в контуре 1, равный току ветви дс, определится выражением 1г = Е»1!г»1ЕК ~. (2-3) Если источник э. д. с. Е» переставить в ветвь сс( контура (рис. 2-3, б), то после этого ток 1» в контуре а, т. е. ток в ветви аЬ, определится выражением 70 длгебраическое дополнение вида Р„получается из определиля Р ~ > путем вычеркивания в нем столбца 1 и строки у и умножения получаемого определителя на ( — 1)"д, а алгебраическое дополнение вида Р,, — вычеркиванием столбца у и строки 1 и умноже„ием получаемого определителя на ( — 1)д".
Так как в контурных уравнениях общие сопротивления гд, н г,д равны друг другу, т. е. г ° — гм к» = гса и т. д., то и Р,д =- Рдд (отличаются только тем, гд„ что строки Р, являются столбцами Р,, и наоборот). Следовательно, при равенстве э. д, с. Ед =- Е~ токи в ветвях сн' (рис. 2-3, а) и аб (рис, 2-3, б) равны друг другу. Отметим, что свойство взаимности справедливо не только для токов, но и для напряжений, и его можно также обосновать, пользуясь законами Кирхгофа или методом узловых потенциалов. 2-3. Входные и взаимные проводимости и сопротивления ветвей; коэффициенты передачи напряжений и токов Пользуясь принципом наложения, напишем уравнение для тока в любой ветви, например Й, линейной электрической цепи в виде 1»=-а»»Е»+й»»Е»+...+у»»Е»+...+а, Е . (2-5) В этом уравнении, составленном согласно указаниям в 9 2-1, ток 1» в отличие от уравнения (1-59) обозначает ток ветви й, а Е„ Е, и т.
д. — э. д. с. соответственно в первой, второй и так далее ветвях. При этом, если положительное направление для тока 1» выбрано совпадающим с направлением э. д. с. Е„, то составляющие токов в той же ветви вида п»дЕо создаваемые э. д. с. других ветвей, могут иметь отрицательные знаки. В уравнении (2-5) множители при э. д. с. имеют размерность пРоводимости.
Поэтому каждый нз множителей с двумя одинаковыми нндексамн вида у»» называется в х о д н о й п р о води м ос т ь ю в е т в и 6, а величина, обратная входной проводимости,— входным сопротивлением г»» той же ветви. Любой нз множителей с двумя различными индексами а»„называется в з а и м н о й проводимостью ветвей Ь и т, а величина, обратная взаимной проводимости, — взаимным сопротивлением.г„тех же ветвей, Численные значения входных и взаимных проводимостей и сопротивлений ветвей могут быть определены следующим путем.
ПриРавняем в рассматриваемой схеме все э. д. с., кроме Е», нулю, Т огда ток. 1» — — Е»й»», откуда (2-6) а»»=1»!Е» =11г»». Следовательно, входная проводимость любой ветви определяется отношением тока к э. д. с. в этой ветви при равных нулю э. д.
с. в осядь»я»дх ветвях, а входное сопротивление ветви обратно входной †проводимостей 71 Электродвижущая сила Ею включенная в ветвь Ь, вызывает в общем случае токи во всех ветвях и, в частности, в ветви т. Ток в ветви т определяется по уравнению, аналогичному (2-5), при равных нулю, всех э. д. с., кроме Е„, т. е. /; =ЕзЯюз откуда гг Я„,з — — /„,/ń— — — 1/'г з. (2-7) Отметим, что яз — — я „, как зт) р) это непосредственно следует из свойства взаимности.
Рис. 2-4. Таким образом, взаимная про- водимость двух любых ветвей определяется отношением тока в одной ветви к э. д. с. в другой при равных нулю э. д. с. в остальных ветвях, а взаимное сопротивление двух ветвей обратно взаимной проводимости тех же ветвей. Входные и взаимные проводнмосги и сопротивления ветвей можно рассчитагь или определить экспериментально. Определение входных и взаимных проводимостей и сопротивлений ветвей расчетом покажем на примере схемы рис. 2-4, а. Приравняем э. д. с.
Е, и Ез нулю (рис. 2-4, б). Тогда токи в ветвях /, Ег Ег (гз+гз) Е гз+гз гг+гзгзг(гз-'-гз) гггг+ г из+ гзгг Р ' (2 8) /з=Е,гз/р; 1;=Е,г,/р, где о = Гзгз + Гзгз + гзгы Из выражений (2-8) определим: Ям =/1/Е, =(г, + гз)/р=1/гм; Ям = /3/Ез= гз/Р =- 1/гзз, Язз = /3/Ез — — Гз Р = 1/гз1. Аналогично рассчитываются входные и взаимные проводимости и сопротивления второй и третьей ветвей: г~-~- гз 1 гз+ гз 1 азз Язз Язв = гз/Р =Язз = 1/гзз' Ям =Ям = 1/ги' Язз =Язз =-1/гзз Из полученных выражений следует, что для схемы рис. 2-4 вход- ные и взаимные проводимости ветвей связаны между собой соотношениями Ям=Язз+Яз~, 'Язз=-Язз+Язз' Язз=Язз+Язз. Если взаимные проводимости найдены, то легко определить токи во псех=петвях п~и=Жобых хзПйчепиях э. д.
с. Так, дтй сксмы1= 72 рис, 2-4,а 1г =- Мзз+Язг) Ез+ЯззЕз — ДззЕз' 1.==(а +а )Вз+и: Е +И.Е', 1з = (кзз+ кзз) Ез+ ьззЕз — кззйз. Часто взаимные проводимости считают алгебраическими величинами. В этом случае в уравнениях, записанных по принципу наложения, отрицательные знаки получаются у тех слагаемых, для которых взаимные проводимости имеют отрицательный знак. В общем случас входная проводимость некоторой ветви равна сумме взаимных проводимостей данной ветви и каждой из остальных ветвей, присоединенных к одному из двух узлов, к когорым присоединена эта ветвь. ~с г, Рис.
2.5. Рис. 2-6. Например, входная проводимость гзп первой ветви (рис. 2-5) равняется сумме проводимостей я„з и багз или дзз, дзз и д„„т. е. Яы Язз+взз кзз+Яы+кгз' Эти соотношения непосредственно следуют из первого закона Кирхгофа и свойства взаимности и могут быть применены для расчета электрических цепей.
Например, для определения токов 1,, 1, и 1з(рис. 2-5) достаточно знать взаимныс проводимости ггзз, д„. и дз, так как )з=(Д1з+Дгз) Ез — дгзЕз; 1з = (ьзз+йзз) Ез ЯыЕВ 1з =ЯззЕз+ ьззЕз. Энакп у составляющих каждого из токов учитываются по принципу наложения. Экспериментальное определение входных и взаимных проводимостей и сопротивлений рассмотрим на примере произвольной цепи, из которой предварительно исключены все источники э.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
