Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов С.В. Основы теории цепей (4-е изд., 1975) (1152146), страница 10
Текст из файла (страница 10)
1-27, а ветви с токами 14, 1, и 1„соединяющие узлы 1, 2, 3, 4 выбраны в качестве ветвей дерева; тогда ветви с токами 1„1, и 1, будут ветвями связи. На рис. 1-27, б элементы ветвей дерева изо. бражены сплошными линиями, а элементы ветвей связи — пунктир ны61и. Из приведенной схемы видно, что при выбранном деревв токи в ветвях связи (1„1„, 1,), совпадающие с контурными токами равны действительным токам этих ветвеи. Это правило распростра няется на любую схему. Для схемы рис.
1-2?, а по первому закону Кирхгофа 11 — 14 — 12 — — О; 16+ 12 — 11 == О; !в+ 16 — 12 = О. (1-о!,' На основании второго закона Кирхгофа г111+ г616+ г414 = Е1 — Е,; 11'1+ гв!в — г616= — Ез' гз1з — г414 — гв!4 — Ев+ Ез (1-52) Пользуясь уравнениями (1-51), исключим из уравнений (1-52) токи 1„16 п 1, всех ветвей дерева, общих для нескольких контуров; в результате получим: (г1+ г, + гв) 11 — г61, — г412 =- Е1 — Е,; — г611+ (гз+ гв+ гв) 12 — гв12= — Е ' (1-53) — гв!1 — гв12 + (гз + гв+ гв) 1з = Ез + Ев 14 11 ~3' 16 11 12 14 12 13' (1 о4) 45 В соответствии с уравнениями (!-53) можно принять, что каждый из ~оков 1,, 1, и 12 замыкается через соответствующую ветвь связи в одном из контуров (рис. 1-27, а н б) и назвать такие токи к о н т у р н ы м и.
Напряжения на сопротивлениях любого контура равны алгебраической сумме напряжений, обусловленных зоками своего н смежных контуров. Например, в контуре из сопротивлений г„г, и гв разность э. д. с. Е, — Е, равняется сумме трех напряжений: от собственного контурного тока 1, на всех сопротивлениях этого контура и от токов 1, и 12 соответственно на сопротивлениях гв и г,. Действительные токи в ветвях дерева, общих для нескольких контуров, равны алгебраическим суммам контурных токов: Для эгой же схемы можно получить и другие взаимно независимые уравнения. Например, выберем другое дерево из первой, пятой я шестой ветвей (рис.
1-27, в); тогда вторая, третья и четвертая ветви будут ветвями связи, действительные токи в которых совпадают с контурными. Применив в этом случае второй закон Кирхгофа для контуров 2-3-4-2, д-1-2-4-3 и 2-4-1-2, получим уравнения с контурными токами 1„1, и 1„замыкающимися через ветви деревьев по ветвям связи. Токи в ветвях дерева однозначно определяются через токи ветвей связи (совпадающие с контурными) по формулам 1з=1з+1з, 1з=1з-1з и 1з=1з+1з-1з. Выражение для тока 1з получено по первому закону Кирхгофа для действительных токов, примененному к поверхности Яз, след которой показан на рис. 1-27, в пунктиром.
Таким образом, система взаимно независимых уравнений определяется структурой выбранного дерева и соответствующими ветвями связи. Ниже будет показано, что мостовая схема рис. 1-27, а имеет 16 деревьев; поэтому для такой схемы можно написать 16 систем независимых уравнений, каждая из которых содержит в качестве неизвестных три тока, замыкающиеся по ветвям связи через ветви выбранного дерева. Из'приведенных примеров следует, что для определения токов в ветвях этим методом нужно ввести в расчет контурные токи и решить совместно систему уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа; число этих уравнений меньше числа неизвестных токов вствсй на число узлов схемы без одного (у — 1).
При замене токов в ветвях контурными зоками первый закон Кирхгофа всегда удовлетворяется, так как каждый контурный ток в одной из ветвей контура направлен к уэлч, а в другой — от того же узла. Например, для узла 4 (рис. 1-27, ьй по первому закону Кирхгофа для токов ветвей получим: 14 1 1 о или для контурных токов (1з 1з) (1з — 1з) — (1з — 1з) = О.
Если схема содержит не только источники э. д, с„но и источники тока, то можно принять ток каждого из источников тока замыкающимся по любым ветвям дерева, составляющим с ветвью нсточниса тока — ветвью связи замкнутый контур. Падение напряжения, вызванное током такого источника на каждом из сопротивлений контура, учитывается при записи левой части уравнений по втоРому закону Кирхгофа. Однако эти напряжения можно также учесгь с обратным энаьом в..правой части уравнений, 47 В качестве примера рассмотрим схему на рис.
1-21. На основании второго закона Кирхгофа «41 +г,!ь — «4!4 — — Š— Е;, гз1г гв1в «4!4=Ее — Е» (1-55) гз)з - гв14 - гь1ь = б. Пользуясь первым законом Кирхгофа, исключим из этих уравнений токи 1„1, и 1,; в результате после группировки слагаемых получим: (Гз+ГЬ+ «4) 14 гь!3+Г414+ «41 +Ге/ =Ез Е4, (Ге+14+ «4) 1з+ «41з+ «41» +«41 =Е, — Е;, (1-5б) (г, + ге+'ь) !з+ г,1, — Гь14 — Ге!= 0.
Из этих уравнений следует, что в рассматриваемом случае ток 1 как бы замыкается по ветвям с сопротивлениями гь и г„дополняьощими ветвь с источником тока 1 до замкнутого контура. Рис 1-28. Обозначив в уравнениях (1-5б) составляюц1ие напряжений «41 и «,-1 соответственно через Е„и Езм мо кно переписать их иначе: (г, + гь+ г,) 14+ «4!з — гь1з = — Ез — Е, — Е» — Е ь', «414 + (Гг+ Ге+ «4) 14+ гв!з = Ез — Е» — Езь (1-57) — г,1, + г, 1, + (гз + Г, + гь) 1, = Е,ь.
Здесь следует отметить, что перенос слагаемых г»1 и ГЬ1 из левой в правую часть уравнений (1-57) и замена эти х напряжений на схеме э. д. с. Е„ я Е„ иллюстрирует применение так называемой теоремы о компенсации, изложенной более подробно в 8 2-6, Уравнениям (1-57) соответствует эквивалентная схема (рис. 1-28, а), на которой источник тока 1 заменен источниками э. д с. Е„ = †-- г41 и Е„ = «,„1, при этом токи в ветвях с сопротивлеииЯми г, ~4 гд не Равнзз соответсгвУюшнм токах» в ветвич-задаииой— схемы (рис. 1-2!) и отличаются от них на ток / источника тока. Иначе говоря, после определения контурных токов Т„4, и 7, необходимо для вычисления токов 1, и !, в ветвях заданной схемы (рис. 1-21) записать уравнения по первому закону Кирхгофа именно для заданной схемы: У, = — Т, — 1, — У и Т, = 1, — !, + /.
Аналогично можно показать, что если принять ток у замыкающимся по ветви с сопротивлением г„, то получится новая эквивалентная схема (рис. 1-28, б); контурный ток 1, в эквивалентной схеме не равен дейсчвительному току !, в заданной схеме (рис. 1-21) и отличается от него на ток l. Замена источника тока l двумя эквивалентными источниками напряжения Е„и Е„- (рис. 1-28, а) основана на предварительном Рис 1-29. преобразовании одного источника тока, включенного к узлам ! и 4 (рис. 1-21) двумя источниками тока, включеннымн к узлам ! и 3, 3 и 4, Покажем справедливость такого преобразования для более общего случая.
На рнс. 1-29, а изображена часть разветвленной схемы с одним источником тока У, присоединенным к узлам 1 и 4. Режим в этои схеме, очевидно, нс изменится, если вместо одного источника тока У, присоединенного к зажимам ! и 4, включить три источника тока соответственно к узлам ! и 2, 2 и 3, 3 и 4, поскольку токи !,, и 1;, в ветвях присоединения к узлам 2 и 2', 3 и 3' равны нулю (рис, 1-29, б). Переход от схемы рис. 1-29, б к эквивалентной схеме Рис. 1-29, в, где Е„= ге!; Е„= г,у; Е„= г,У, Уже не тРебУет особых пояснений. Таким образом, применяя метод контурных токов для расчета — реигима пепи-,— можно- пречваритечьио заменить- источники тока 49 эквивалентными источниками э.
д. с., а затем ввести контурные токи и на основании второго закона Кнрхгофа составить систему уравнений для их определения. Действительные токи в ветвях без эквивалентных источников э. д. с., заменяющих источники тока, определяются по первому закону Кпрхгофа суммированием контурных токов; в ветвях заданной схемы, в которых иа эквивалентной схеме включены источники э. д. с., учитываются н токи источников тока. При расчете электрических цепей изложенным методом всегда стремятся к тому, чтобы число контурных токов, замыкающихся через каждую из ветвей, было по возможности минимальным. С этой целью обычно выбирают каждый контур в виде я ч е й к и (на рис. 1-27, а три ячейки с контурными токами 1„1, и 1,), руководствуясь указанным выше правилом выбора независимых контуров (дерева и ветвей связи) при составлении уравнений на основании второго закона Кирхгофа.
Положительные направления контурных токов можно выбирать и произвольно, т. е. независимо от положительных направлений токов в ветвях. Установим теперь более общие, необходимые для дальнейших выводов соотношения между контурными токами, сопротивлениями и э. д. с. цепи произвольной конфигурации. Для схемы, имеющей к независимых контуров, уравнения, аналогичные (1-53), запишутся в виде гм1~+ ги1а+ +гм1~+...+гы1к = Е; ги1з -г ггпу + ° + гм1~ +. ° + г- /к = Ез (1-58) гц1, + г„1, +...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
