Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов С.В. Основы теории цепей (4-е изд., 1975) (1152146), страница 8
Текст из файла (страница 8)
— Ы13!р, = 3'1+ ~', Е1!Ы11 = /51; С5 3 ! 1 Ы21!у! + ЫЗЗЧ~З ' ЫЗрЧ53 ' ' ' ЫЗЗЧ'у у+! =У'2+ ~ ЕЗ,Ы21=1„ ! л2 (1-33) Ы~Л~ ЫЗЗЧ'2 + Ыгуч у Ыгуч53 у — , '! Р+ ~З г \з ЕууЫр! (су 1=! !лу ЫЗЗЧ51 ЫЗ32РЗ вЂ” ° Ыу 5рр ° + Ыуу'Ь = у+! =13+Х 34 или в более общей форме для любого узла!р при р,-, = 0 !! -'; ! а (-! а -!- ! ~~.'„кигтр ~.', Ыг~% = уг+ ~„Е!>Я!э = (,р. (1-ЗЗа) !та 1 я я !к Р В этих уравнениях, так же как и в уравнениях (1-30), прово- димость Хй!а = др„(с двумя одинаковь!ми индексами) представ- ляет собой суммарную проводимость ветвей, присоединенных к узлу и называется собственной узловой проводи- м о с т ь ю этого узла; проводимость ййр — — др, с двумя различными индексами равна сумме проводимостей ветвей, соединяющих между собой РассматРиваемые Узлы! и Р, и называетсЯ о б щ е й У з л о- н ой и р о в од и мост ь ю этих узлов, Правая часть каждого из уравнений содержит алгебраические суммы произведений э.
д. с. на соответствующие проводимости для всех ветвей, присоединенных к узлу р, Т вЂ” С н узловой ток Уг, равный алгебраиче- -3 2 ',! и 5 ской сумме токов всех источников тока, присоединенных к тому же узлу. гх г х ю В свою очередь ток /,„равен алгеб- А~ г А~ гь 'г ~т, раическо!1 сумме Ур и токов, определяемых источниками э. д. с., которые Е! Ез Еа присоединены к узлу р. Прп этом следует иметь в виду, что для замкнутых поверхностей рис !-2!. сумма всех )аловых токов, как это вьпскает из перво~о закона Кирхгофа, равна нулю. К узловым токам можно отнести и уже известные в каких-либо ветвях гокп.
Проводимости таких ветвей в выражения вида дарг и и„, не входят. Решив уравнения (1-33), можно определить йотенциалы узлов, а зная потенпиалы, легко найти токи во всех ветвях по закону Ома (1-12). Некоторые замечания о составлении узловых уравнений. Выше было показано, что уравнения (1-33) справедливы соответственно для по!енциалов узлов 1, ..., д схемы при ~рт, — — О.
При этом узловой определитель, составленный из коэффициентов системы уравнении (1-33), й!и д21 — ам ь".и!; Дм ига ! — И!д ° ° Иха ~! (1-34) Д!у! ,'! — й!, д симметричен относительно главной диагонали, поскольку проводимости ветвей между каждой парой узлов связаны соотношениями д,р — дрг Каждая диагональная проводимость дрр в определителе (1-34) мы:с-ас:хээпт::::- 1 3 1 1 1 Рис 1.22. Например, для мостовой схемы с одним источником напряжения (рис. 1-22, а) можно написать при 2рз = — 0 систему уравнений для узлов 1, 2 и 3; (д1 + аз+ д13) 1Р1 — д121РЗ вЂ” п13~Рз = Е,дз, к11'31+(Я~1+кзз+Йз) ЧЪ кзз'гз 0 ЙЗЗЧ1 ИЗЗУ+ (кз1+ Кзз+ Яз) 133= 0.
(1-35) Этой системе соответствует определитель (аЗ+а +й13) — аз а 13 — Я21 (ЯЪ+Д11+Яз) — Кзз Й31 кзз (Д31+кзз+аз) (1-35) ДЮ— Если вместо четвертого узла заземлить третий узел (рпс. 1-22, о), то для тех же узлов (1, 2 и,3) при 1рз = 0 получаются следующие независимые уравнения: (ЙЪ1+ 422+013) ф1 й11ЛЗ й2ЛЗ= Ез|1 — агЛ1+ (к11+ Язз+ Яз) 'Й азсрз = О' — ЯЗЛ1 Иззсгз Д2%3 =О (1-3?) 36 ветствующему узлу. Поэтому число слагаемых определителя (1-34) в раскрытой форме при записи в буквенных обозначениях резко возрастает главным образом за счет диагональных членов. Однако иногда заранее можно уменьшить число слагаемых, заменив узловое уравнение для узла, к которому присоединено максимальное число ветвей, уравнением для узла, в котором 1рз„ == О. где вместо потенциала грз входит неизвестный потенциал чг.
Опре- делитель последней системы уравнений (Яг+Яы+Яы) Ягз Яг — Я (Я +Я +Яз) — Яз Язг Язз Яз (1-38) Сравним выражения (1-36) и (1-38). В определителе (1-36) только произведение диагональных членов дает 2? слагаемых, а из общего числа, равного 38 слагаемым, 22 члена попарно равны по абсолютному значению и обратны по знаку и поэтому сокращаются. В определителе (1-38) всего 18 слагаемых, из которых два равны по абсолютному значению н имеют противоположные знаки и сокращаются. Оставшаяся сумма 16 слагаемых, естественно, равна определителю, найденному по уравнению (1-36). Отметим еще, что уравнения (1-38) позволяют проще, чем уравнения (1-36), определить напряжения Угз = чг„Узз = грз и Узз = =- — Чгз. Действительно, числители выражений для этих напряжений получаются сразу с несокращающимися членами из определителя (1-38) путем замены соответствующих столбцов правыми частями уравнений (1-37): (7гз=- Чгг Чгз = ЕгЯг +гг = '<„> ггЯз (Ягг+ Язз+Яз) + ЯзЯзггг ' (7зз=ггг ггз=ЕгЯг,гг =- сп (Йзйм ЯгЯзг) гггз Е~~ (1-39) (7зг = Чгз гйз = ЕгЯг г6) =- ~~гзг(ЯзгЯзз+ Язг (Язг+ Язз+ Яз)) гггз ~~зг (Я,+Я„+Я,з) и„— Я„из,+Я,и„=Е,Я,; Язг(г гз+ (Ям+ Ягз+Яз) (гзз+Яз(узз=О Язг(7гз Язз(узз+ Яз(узз = О.
Этн уравнения полностью совпадают с уравнениями (1-37), в ко- 37 где алгебраические дополнения Рго Р„и Ргз получаются из (1-38) вычеркиванием первой строки и соответственно первого, второго и третьего столбцов и "умножением полученных миноров соответственно на ( — 1)' '', ( — 1)' "' и ( — 1)' ''. Здесь следует подчеркнуть, что уравнения (1-37) при грз = О (рис. 1-22, б) можно получигь из уравнений (1-35) при гр, = О (рис.
1-22, а) путем замены потенциалов ср„грг и грз через напряжения Угз, (.',з и (7зг, соответствующие ветвям с проводимостями Я,,„Яз, и Я, (рис. 1-22, в). Действительно, если в уравнениях (1-35) заменить ягг = (угз + Узз, грз = (узз + Узз, грз = ггзз (при срз = О), то получится: Таким образом, уравнения, составленные относительно неизвестных напряжений на зажимах ветвей, не зависят от того, какой узел в схеме заземлен Аналогичные соотношения справедливы и для узловых уравнений в спучае более сложных схем. Действи|ельно, например, для Хг=ГгР! Рис. )-23. узлов 1, 2, 8 и 4 схемы рис.
1-23, а и б при фз = 0 запишем следующие )равнения: (Иг+агз+а ) Рг — аггф — И фз=Егйг=уз; ) — йзгфг+ Ж+ йзг+ йггз) ф — й зфз= 0' Ыззфг 1 (Язз+Язг+Ыз) 'Рз Ыззфз=- Π— д„фг — д,„<рз-(-(д,„+багз+:з) Р,=О. (1-40) (йгг+йгз+йггз) йггз 0 йггз — Изг (й+Кзг+йгзг) йзз 0 0 — Изз (йзг+Ызг+йз) — Ягг Язг 0 ьгзз (Кзг + йзз + кз) (!-41) Для той же схемы и при том же заземленном узле фз = 0 можно составигь независимые узловые уравнения для других узлов, например для 2, 3, 4 и 5, в следующем виде: Цггфг+(аз+Вг„+дг,) Р,— Хгзфг=о; ззг'Рг+(зз г з,'гг 1 ззг) <Рз Ягзгзг=о: з~ггггг зегфз ~ (зг+з~гг+згз) ггг Π— — — (ья ~зц .=и ц — д уз==-я~аз==-.г (1-42) 38 Этим уравнениям соответствует определитель узловых прово- димостеи Полученным уравнениям соответствует определитель йм (зз+ззз+ьзо) зи О кзг (яо+ Ьзз+ Ызз) (зз4 рЬ) —.
— О азо (а! аз!, зззо) (1-43) Определители (1-41) и (1-43) в раскрытой форме равны между собой и содержат по 45 слагаемых. Однако в определителе (1-41) окончательный результат получается после сокращения 7б попарно равных по абсолюзному значению и противоположных по знаку членов, а в определителе (1-43) только 1б таких слагаемых Иначе говоря, если в определителе (1-4!) общее число членов (до сокращения) равно 121, го в определителе (1-43) таких членов б! Особо подчеркнем, что определители (1-41) и (1-43) легко получаются из определителя, составленного для зависимой системы уравнений, т е записанной для всех узлов схемы Действительно, для схемы рис 1-23 определитель системы узловых уравнений для всех пяти узлов ~йз ' й и- йг — йз о йз — й йз Мз+я ~+й) Оз о — й р(з'1= о Юз Мз+й 1йз йз — й им> Н вЂ” Мзз а — йзы!й-ьюл — й — й — й — М вЂ” й мз -ь й -ь й+ кд Этот определитель соответствует н е о п р е д е л е н н о й )зловои магрице (отмечено индексом «н»), т е полной системе уравнений с пятью неизвестными узловыми потенциалами, сумма элементов такого определителя по строкам и столбцам равна нулю Определитель (1-41), соответствующий системе независимых уравнении (1-40), получается из (1-44) вычеркиванием пятой сзроки и пятого стозбца, а определитель (1-43), соответствующий уравнениям (1-42), получается из (1-44) вычеркиванием первой строки и пятого столбца Все это и определяет основные соотношения между параметрами схемы, узловыми уравнениями и соответствующими определителями, которые следует учитывать при анализе цепей методом узловых потенциалов Если в цепи имекпся ветви с идеальными источниками э д с, а сопротивлениями этих ветвей можно пренебречь, то при составлении уравнений (1-33) получается неопределенность, поскольку проводимости таких ветвей бесконечно большие Такое затруднение преодолевается путем переноса заданнои э д с из ветви с нулевым сопротивлением через соответствующий узел в другие ветви, присоединенные к тому же узлу и имеющие конечные значения сопротивлений В результате такого преобразования токи во всех ветвях заданной схемы не изменяются Для иллюстрации рассмотрим схему (рис 1-24, а), у которой в ветви 2-4 сопротивление равно нулю, а э д с равна Е Если в="ан ветвь; нРггеоелнненнХ кгг — нанРггчвР=,-н -УйчУ 2; —:нклю и ь— источник напряжения с э.
д. с., равной Е и направленной от узла 2 (на рис. 1-24, а эти э. д. с. изображены пунктиром), то токи во всех ветвях останутся без измене/ ния, поскольку разности потенциалов между точками'1', 3', 4' будут, так же как в заданной схеме, ,м равны нулю, Теперь потенциалы узлов 2 и 4, очевидно, одинаковы г с г с и их можно объединить в одну точ- ку (рис. 1-24, б). Для полученной г' схемы с тремя узлами (вмссто чегг тырех) можно составить два неза- ~ г г висимых уравнения вида (1-33), из ) которых определяются искомые потенциалы двух узлов, а затем по Рис.
\-24. закону Рма токи во всех ветвях схемы (рис. 1-24, б), после чего легко найти ток в ветви с сопротивлением г = О (рис. 1-23, а) по первому закону Кирхгофа. Рассмотренную и аналогичные ей задачи можно решить и без предварительного переноса э, д. с. через узел схемы в другие ветви. Действительно, если принять в за- г данной схеме (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
