Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов С.В. Основы теории цепей (4-е изд., 1975) (1152146), страница 6
Текст из файла (страница 6)
24 (1-19) алгебраическую сулгму токов в ветвях, а в другой части— алгебраическую сумму токов, обусловленных источниками токов: Х1 =ХУ, (1-19 а) где 1 — ток одной из ветвей, присоединенной к рассматриваемому узлу, а l — ток одного пз источников тока, присоединенного к тому же самому узлу; этот ток входит в уравнение (1-19а) с положительным знаком, если направлен к узлу, и с отрицательным, если направлен от узла. Второй закон Кирхгофа применяется к контурам электрической цепи и формулируется следующим образом: в любом замкнутои контуре алгебраическая сумма напряжений на сопротивлениях, входящих в эпют контур, равна алгебраической сумме э. д. с., т. е.
(1-20) В этом уравнении положительные знаки принимаются для токов и э. д, с., положительные направления которых совпадают с произвольно выбранным направлением обхода рассматриваемого контура. Часто применяется другая формулировка второго закона Кирхгофа: в лгобом контуре алгебраическая сумма напряжений на зажимах ветвей, входящих в эогот конпгугр, равна нулю: Ъ П/=0.
(1-20 а) Прн этом положительные направления для напряжений на зажимах ветвей выбираются произвольно; в )равггенигг (1-20а) положительные знаки принимаются для тех напряжений, положительные направления которых совпадают с произвольно выбранным направлением обхода контура. В теории электрииеских цепей решаются задачи двух типов. К первому типу относятся задачи а н а л и з а электрических цепей, когда, например, известны конфигурация и элементы цепи, а требуется определить токи, напряжения и мощности тех или иных участков. Ко второму типу относятся обратные задачи, в которых, например, заданы токи и напряжения, а требуется найти конфигурацию цепи и выбрать ее элементы. Такие задачи называются задача и с п н т е з а электрических цепей.
Отметим, что решение задач анализа намного проще решения задач синтеза, В практической электротехнике довольно часто встречаются задачи анализа. Кроме того, для овладения приемами синтеза цепей необходимо предварительно изучить методы их анализа, которые преимущественно и будут в дальнейшем рассматриваться. Задачи анализа могут быть решены при помощи законов Кирхгофа. Если известны параметры всех элементов цепя и ее конфигу- Рация, а требуется определить токи, то при составлении уравнений гкгзнконаэг4~нрхгофа- рвкомепдувгся=прггдерживахьен =гвнвй=~<кле —— 25 довательности: сначала выбрать правления токов во всех везвях вить уравнения для узлов на ос произвольные положительные иаэлектрической цепи, затем состановании первого закона Кирхгофа и, наконец, составить уравнения для контуров на основании второго закона Кирхгофа.
Пусть электрическая цепь содержит в ветвей и б узлов. Покажем, по на основании первого и второго законов Кирхгофа можно составить соответственно у — 1 и в— — у + 1 взаимно независимых уравнений, что в сумме дает необходимое и достаточное число уравнений для определения в токов (во всех ветвях). им в а низ б) Рис. !лв. На основании первого закона Кирхгофа для у узлов (рис. 1-17) можно написать у уравнений: 1м+ 1~и+ +-1ге г ° ° +1ы=б,' 1л+1и + +1~ + .
+1и =б' (1-21) 1из+ 1ии+ ' '+ 1ии+ ' '+1и-ь и Так как любая ветвь связывает между собой только два узла, то ток каждой ветви должен обязательно вой)и в эти уравнения два раза, причем 1, =- — 1иб 1ди == 1м н т д. Следовательно, сумма левых частей всех у уравнений дает тождественно нуль. Иначе ~оворя, одно из у уравнений может быть цолуяйио †как вЂвследствие остальных — у- — 4- уравнеци(ь илц чнын= 2б взаимно независимых уравнений, составленных на основании первого закона Кирхгофа, равно у — 1, т. е.
на единицу меньше числа узлов. Например, в случае цепи по рис. 1-18, а с четырьмя узлами 1,+!в+!з= — О; — 1з — 14+ !в=Π— 1,— 1,+1,=О; — 1,+ 14- 1.=0. для узла ! для узла 2 для узла 3 для узла 4 (1-21а) гзг г1зз = гзз1зз Езз~ ггз — ч з =- гзз1зз — Ез~,' грр Ч з = газ(зз Ез (1-22) грр — га, = — гзз!рз — Ерз.
где гр, — — гзр — сопРотивление ветви, соединающей Узлы Р и 11; Ер, — суммарная э. д. с, действующая в ветви р — у в направлении от р к у; Ч „и взз — потенциалы узлов р н р. В этих уравнениях суммарное число неизвестных токов а ветвей и потенциалов у узлов равняется в + у. Не изменяя условий задачи, можно принять потенциал одного из узлов равным любой величине и, в частности, нулю. Если теперь из системы в уравнений (1-22) исключить оставшиеся неизвестными У вЂ” 1 потенциалов, то число уравнений уменьшится до в — р + 1. Но исключение потенциалов из урзвпеиий (1-22) приводиз к уравнениям, связывающим э.
д. с. исзочпиков с напряжениями на сопротивлениях т. е. к уравнениям составленным на основании второго за койаКи р хгофаз, 27 Суммируя эти уравнения, получим тождество О =- О, следовательно, из этих четырех уравнений только три независимые. Так как беспредельное накопление электрических зарядов не может происходить как в оздельных узпах элекзрической цепи, так н в любых ее часгях, ограниченных замкнутыми поверхностями, то первый закон Кирхгофа можно применить не только к какому- либо узлу, но и к любой замкнутой поверхности (что уже было отмечено выше). Например, для поверхности 5 (рис.
1-18, а), как бы рассекающей электрическую схему на две части, справедливо уравнение 1, — 1, — 1, — 1в = О, что можно также получить из уравнений (1-21а) для узлов д и 4. с1то~у установить число взаимно независимых уравнений, вытекающих из второго закона Кирхгофа, напишем для всех в ветвей схемы (рис. 1-17) а уравнений на основании закона Ома: (1-24) 28 Таким образом, число взаимно независимых уравнений, которые можно составить на основании второго закона Кирхгофа, равно в — у+1. В качестве примера напишем уравнения, связывающие потенциалы узлов с токами и э. д.
с. для схемы рис. 1-!8, ьп грь — <рз =- гз|з — Ез' грь — грз — — гьГь — Е;, <р, — ~р, =. г,|з — Е,; р, — срз =- г.|4 — Еь, '(1-22а) (Ь вЂ” 'Гв=гь|ь' грз — ьрз= — Ев. Складывая третье и четвертое уравнения и вычитая полученную сумму из первого, получаем: гв|в+ «ьГз гз|з= Ез+ Еь — Ез. (1-23) Если применим второй закон Кирхгофа (1-20) к контуру |-4-2-| (при обходе вдоль контура по иаправленшо движения часовой стрелки), то получим это же уравнение.
Аналогичным путем можно получить уравнения для остальных контуров: для контура Г-3-2-1 гь Гь — гз |з = Еь — Ев — Ез,' для контура 2-3-4-2 гьУь+ гв| а — — Еь+ Ев. Совместное решение любых трех уравнений (1-21а) и уравнений (1-23) и (1-24) дает значения токов во всех ветвях электрической цепи, показанной на рис. 1-18, а. Если в результате решения этих уравнений получится отрицательное значение для какого-либо тока, то это значит, что действительное направление противоположно принятому за положительное. При записи уравнений по второму закону Кирхгофа следует обращать особое внимание на то, чтобы составленные уравнения были взаимно независимы.
Контуры необходимо выбрать так, чтобы в ннх вошли все ветви схемы, а в каждый из контуров — возможно меньшее число ветвей. Контуры взаимно независимы, если каждый последующий контур, для которого составляется уравнение, имеет не меньше одной новой ветви и не получается из контуров, для когорых уже написаны уравнения, путем удаления из этих контуров общих ветвей. Например, контур |-3-4-2-| (рис. 1-18, а) можно получить из конгуров |-3-2-| и 2-3-4-2 путем удаления ветви 2-3.
Г1оэтому уравнение для контура |-3-4-2-| является следствием уравнений (1-24) и получается пузем их суммирования. Вторым законом Кирхгофа можно пользоваться для определения папря>кения между двумя процзвояьнььми точками схемы, В этом случае необходимо ввести в левую часгь уравнений (1-20) искомое напряжение вдоль пути, как бы дополняющего незамкну- — -тый — контур-до-замкнутого; Нанри мер-,-для определения-панряжекия— У„(рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
