Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов С.В. Основы теории цепей (4-е изд., 1975) (1152146), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Сначала выбирается дерево, содержащее ветви с исзочниками э. д. с. схемы и без источников э.д.с,, но не содержащее источников тока. Так, на рис. 4-!9, а показана мостовая схема и для построения графа этой схемы выбрано дерево из трех ветвей (рис. 4-19,б) с произвольными положительными напРавлениЯми напРЯжений О„О,, и Оа Затем напРЯжениЯ ветвей связи выражаются через напряжения ветвей дерева, а токи ветвеи дерева — через токи ветвей связи; в результате получаются уравнения О,=--и,-О;, 0,=-0,+б,,; (7,= — О,+ия; (4-16) токи ветвей связи (4-14) и токи ветвей дерева г .
) 7 ! / =7 — 7а. (4-15) Наконец, напряжения на ветвях дерева выражаются через сопротивления, токи и э, д. с. ветвей: О, = — Л,), — Е„(',=-Я,/, — ~,, б,= 2,),, (4-16) 165 Последовательность построения узлов н ветвей графа соответствует последовазельностц записи уравнений (4-13) — (4-16). На рис. 4-19, в изображен граф для заданной мостовой схемы, полностью удовлетворяющий приведенным системам уравнений. хг,„тг аг г г, 4 Хг и) ьг д) д) Рис. 4-19.
Для иллюстрации построения графов методом узловых потенциалов и методом контурных токов выберем схему, показанную на рис. 4-20, а. Пользуясь методом узловых потенциалов, запишем для атой схемы уравнения. Фз)' — 4 У'з=Л Ф1) 4+сгз1 зз ФЗУ 0 — Фз) ь+ Фзу зз = Е1 з (4-17) где ум=у„+ У41 Узз- — Уз-,14 —;Уь1 )м — )з+ )ь+)ь 166 Из уравнений (4-17) находим: Ув фг=,--у+ т — Фз', зг гг «в ', г(в Фз='у Е+р Фг и зз Уа Уэ Фз =- у- Фг + у- Ф.; (4-18) уравнениям (4-18) удовлетворяет граф, показанный на рис, 4-20 б.
1)одьзуяс ь методом контурных токов, запишем для схемы рнс, 4-20, гг уравнения Лвз7з — Яз7з = УЛ„ — Яз7в+ Лзз7з — Яв7в = 0; — г.з7з+ Ем7, = — Е, (4-19) де г„=г, + г, + 2з; г,в=к, + гв + г,; г„= г, + К,. Из этих уравнений получим: ~вв вв 2 в Е (4-20) ф;, Уг Уз~Уз (зз У,/УэУг Е э) 1б7 На рис. 4-20, в построен граф, удовлетворяющий уравнениям (4-20).
Таким образом, в зависимости от применяемого метода для составления уравнений получаются различные графы для одной и той же схемы. При этом легко убедиться в том, что гв Ез Хз графы, построенные на осно- у Г-1 Г~г. Г 1 ~ Е ванин законов Кирхгофа, ~ г в~ г, ~ гз ~ сложней графов, построенных на основании уравнений для контурных токов или — а) узловых потенциалов. Преобразовании графов и г ' 'г МЬ нх связь с преобразованиями электрических схем. для получения правил преобразования графов рассмотрим ряд примеров. а 7'г гв/аз,, Исключим из системы зlззз е Уравнений (4-1!) ток 7„а нз системы уравнений (4-12) а,ггвв гв аз/гвв гз азггзз хз П "отенциал ф; в результате а) — — з з — — --з .звз- образований получим: ' = 2„;..„' К„- Л„К,, ~'1 ~С фг=, у Ф~+Ер -+ г, 7 (4-21) Г1олучениым уравнениям соответствуют графы, показанные на рис. 4-21, Из сравнения первых из уравнений (4-11) я (4-21), а также сопоставления графа, приведенного на рис.
4-17, б, с показанным на рис, 4-21, а следует, что операция исключения контурного тока 7, из системц контурных уравнений приводит к устранению контура в заданной схеме (рис. 4-17, а) и узла с током 7з в графе рис. 4-17, б. В результате исключения этого узла получается в графе (рис. 4-21,а) простейший контур, состояншй из петли с передачей, равной произведению передач ветвей 272м и 212„, и ветви от источника тока ~Ь б) Рис. 4-21, .7 с передачей, равной произведению передач ветвей — 7,7У„ и Л,'2м. Исключение потенциала ф, в графе на рис.
4-17, в приводит к аналогичному результату, что непосредственно следует из сравнения графов рис. 4-17, в и рис. 4-21, б. Таким образом, решение уравнений соответствует преобразованию соответствующих графов. Такие простейшие преобразования уравнений и графов показаны в табл. 4-1. Исключение неизвестных из системы уравнений автоматически приводит к исключению соответствующих узлов в графе.
Например, исключив из системы уравнений (4-17) или (4-18) для схемы рис. 4-20, а и графа, показанного па рис. 4-20, б, потенциал ф„получим: г» ° ~4~ 5 Ф~=--.— .~ зо " Ф~+ —,— М ки ' ника ' ки~'м ув,' 1» «ь~ а Этим уравнениям соответствует граф, изображенный на рнс. 4-22, не имеющий узла с потенциалом ф,.
При этом исключение второго узла привело к тому, что в узлах с потерщиалами ф, и ф, появились не~ли с передачами, ьравныйи произведениям передач всп~еи, кото ' 168 Т а ба идя 4-1 Пресвгейише преобразования графов Уравненггв преобразования графа Заданныг граф Эквнваленгнир граф х,=схн+йхз=(с+а) хи ха=-ах,+Ьх,=(а+Ь) х, хз=ахг; хз=Ьхв; хз = аЬхг а Ъ Х ° в е н -в хе хг аЪ хе = ах„+ Ьхн хз — — схе=асхг+Ьсхв рые непосредственно примыкают к первому и третьему узлам, а также изменились передачи ветвей между узлами ф, и ф,.
Прежде чем перейти к расчету режимов в линейных цепях прн помощи графов, необходимо дать определения: пути, передачи пути, контура и передачи контура в сигнальных графах. Рис. 4-22. — П=У-*-ъ= непрерывная последовательность ветвей (в указанном направлении), вдоль которой каждый узел встречается ие 'более !б9 а х! с а а+Ъ хг < )вхг хв = ахз; х, = Ьха = — аЬхв, хе=ох =осла одного раза; п е р е д а ч а п у т н П вЂ” произведение передач ветвей вдоль этого пути (пмеющего определенное направление); к о н т у р — простой замкнутый путь (нмеющий определенное направление), который начинается и заканчивается в одном и том же узле и вдоль которого любая другой узел этого контура встречается нс более одного раза за один обход контура; и е р е д а ч а к о нт у р а й — произведение передач ветвей в этом контуре.
В приведенных выше примерах были показаны некоторые преобразования графов, вытекающие преимущественно из простых преобразований системы контурных и узловых уравнений схемы, Поскочьку метод графов может быть применен для анализа и других систем (не электрических), то рассмотрим еще один случай преобразования в более общей форме. ат - а хв Ь,тв г хв аЬ хг а аЫ Г -Ьс в') Рвс.
4-23. На рис. 4-23, а изображен граф с четырьмя ветвями и одним контуром. Исключая из этого графа узел с сигналом х, прн помощи равенства ха = ах, + сх„получаем для узлов х, и х4 уравнения х,=Ьх,=аЬх,+Ьсх;, х~=~(х,. (4-22) Этим уравнениям соответствует граф, приведенный на рис. 4-23, б. После подстановки значения ха из первого уравнения системы (4-22) во взорое определяется сигнал х4 =- х1 аьа 4 1 — Ьс 1 (4-23) Таким образом, исключение петли приводит к графу (рис. 4-23, в) с одной ветвью, передача которой равна аЫ((1 — Ьс), где произведение аЫ равно передаче пути П„между узлами с сигналами х, и х4, а произведение Ьс равно передаче контура 7., Расчет коэффициента передачи при помощи графов.
Прежде чем получить общую формулу. для апр(цгедевия коэффициента передачи линейной электрической цепи произвольной конфигурации при по- 170 , щи графов, рассмотрим несколько достаточно общих примеров на определение козффициента передачи. Иа рис. 4-24 изображен четырехконтурный граф, часть узлов которого для упрощения обозначена цифрами, с контурными перед ачами: Е~ =- Ы, ~-з = — сй; Ез = дд и Ьз =- е)'. Сигнал распространяется из узла х,. Требуется определить коэффициент передачи хз/хз.
для узлов 1, 2, 3, 4, 5, 6 справедливы уравнения х,=ахи+(хз; хз=Ьх,+йхз; х, = — схз+ ахи; х, = охи+(хз; хз = ехз' х, =йхз. Рис. 4-24. Искомый козффициент передачи определим, постепенно исключив остальные неизвестные, начиная с х„из системы уравнений. Иначе говоря, хи= ~(хз+~хз = ~хз+Йхз откуда хз — — Йхз! (! — ~,з) .
Затем из уравнения х,=схз+ — =сх, +— ялкз Езхз з — з ! Š— з ! 1 определим хз с (1 ~ з) хз/(! Сз Гз) и т. д. В результате получим связь между х, и х„в виде 1 — (Ез~-Ез+ 1.,+Ез)+14;+ЕкЕз+ЕзЕз (Ез+ 1з+Ез) + ЕзЕз откуда х, а 11 — (Ез+Ез+1 з) + Езт.з! к, ! — (Ез+Ез+Ез+Ез)+ЕзЕз+ЕзЕз+ЕзЕз' Искомый коэффициент передачи хз Ьхз аа(! — (Ез+Ез-~-Ез)~Ез1з! — %. -' хз-."=+= — Фз+Ез'Ф М+зйй=Мз~+ччьх+Г: 171 Числитель этого выражения равен произведению передачи пути П, = ай на определитель Р, = 1 — (1., + Е,з + Е,) + Р,Е,„который получается вычитанием из единицы передачи всех контуров, не касающихся пути с передачей П„и суммированием произведения контурных передач не касающихся друг друга контуров Ез и 1, и пути с передачей П,. Знаменатель в этом случае равен определи- Ег х а г Ь г с Ф а г е хг з Рис.
4-25. телю графа рис. 4-24, который получается вычитанием из единицы всех передач контуров графа и суммированием с полученной разностью попарных произведений передач всех не соприкасающихся друг с другом контуров. В качестве второго примера рассмотрим граф, показанный на рис. 4-25, для которого нужно найти коэффициент передачи сигнала из первого узла в шестой, т. е. найти отношение хз/хз. Запишем уравнения для узлов 2, 3, 4, б и 6: хз = ах, + йх,; хз — -- Ьх, + дхз; х, =- схз + )хз; хз = з(хз; х, = ех,.
Исключив из этих уравнений неизвестные сигналы в узлах графа, начиная от его конца, получим: хз а (1 — (.,— Е,) хз 1 (Ез+Ез+Ез)-)-~ЕзЕз ' Поскольку х, = ес(хз и х, = сх, + Ес(х„то еасхз еасб (1 — Е,) ес(сбхз хз= ! Наконец, або!ех, х— 1 — (1.,+Ее+Ее)+ЕзЕз или окончательно хз абсс(еР, (4-25) (( з + Ез т Е з) т ЕзЕз Числитель полученного выражения (4-25) равен произведению передачи пути от узла х, к узлу х, на определитель Р„т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
